Cálculo e Geometria Analítica IA - Resolução Segunda Verificação 2003-2

Cálculo e Geometria Analítica IA - Resolução Segunda Verificação 2003-2

Quest~ao 1. (1.5 pontos) Calcule

Solu c~ao : (a) Temos uma indetermina c~ao do tipo 0=0, aplicando a Regra de L’Hopital

(b) Temos um indetermina c~ao do tipo 1=1. Seja

Ent~ao

Indetermina c~ao 1=1 ) Regra de L’Hopital:

1=x

e assim

Quest~ao 2. (1.0 ponto) Cada gura abaixo mostra o gr a co de uma fun c~ao f. Em cada caso, veri que se (0;0) e ou n~ao ponto de in ex~ao do gr a co de f. Justi que suas respostas.

(I) O gr a co de f e concavo para baixo no intervalo (−1;0). O gr a co de f e concavo para cima no intervalo (0;+1). Ent~ao (0;0) e ponto de in ex~ao .

(I) O gr a co de f e concavo para baixo no intervalo ( 1;0). O gr a co de f e concavo para cima no intervalo (0;+1). Ent~ao (0;0) e ponto de in ex~ao .

(I) O gr a co de f e concavo para baixo no intervalo ( 1;0). O gr a co de f e concavo para baixo no intervalo (0;+1). O ponto (0;0) ent~ao n~ao e ponto de in ex~ao .

(IV) O gr a co de f e concavo para baixo no intervalo ( 1;0). O gr a co de f e concavo para baixo no intervalo (0;+1). Ent~ao (0;0) e ponto de in ex~ao .

(a) Determine os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento de f, bem como os seus extremos relativos (locais). (b) Veri que a existencia de ass ntotas verticais e horizontais do gr a co de f; em caso a rmativo, escreva a(s) equa c~ao (~oes) da(s) ass ntota(s). (c) Esboce o gr a co de f sabendo que f′0(x) > 0 em ( 1;1) e f00(x) < 0 em

( 1; 1)⋃ (1;+1). Indique, no gr a co obtido, todos extremos relativos, todos os pontos de in ex~ao e todas as ass ntotas.

como o denominador e sempre positivo, n~ao se anula. x = 0 e o unico valor que anula o numerador.

0 − − − − − − − − −+ + + + + + +sinal de f’(x)

Assim

Assintotas verticais: n~ao existem pois f(x) e uma fun c~ao racional cujo denominador n~ao se anula, e portanto e uma fun c~ao cont nua em ( 1;+1).

5/4 5assint. horiz.y = 5 pontos de inflexao minimo relativo

Quest~ao 4. (1.5 pontos) Um triangulo is osceles situado acima do eixo x tem um de seus v ertices na origem, base paralela ao eixo x, e demais v ertices na par abola y = 16 x2. Calcule a area do maior triangulo nessas condi c~oes .

Solu c~ao : Area do triangulo = base x altura /2 :

−4/sqrt(3) 4/sqrt(3) + + + + + +− − − − −− − − − − −sinal de f’(x) e pelo teste da derivada primeira (TDP) x = 4=√ 3 e um ponto de m aximo local.

de m aximo absoluto em (0;4).

unidades de area.

(a) Determine os extremos absolutos de f em (0;+1), caso existam.

(b) Use o item (a) para mostrar que x > ln(x)

pois ln(x) ! 1. Ent~ao , n~ao existem m aximos absolutos em (0;+1).

Entretanto f 1

e assim

para todo x > 0.

Quest~ao 6. (2.0 pontos) Determine:(a) ∫ xekxdx, onde k e uma constante;(b)

Z t

xekxdx = Z x(1)dx =

dv = ekxdx ) v = ekx implica Z xekxdx = xekx

Z ekxdx k = xekx k ekx

Z du u = ln juj

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