Cálculo e Geometria Analítica IA - Resolução Terceira Verificação 2003-2

Cálculo e Geometria Analítica IA - Resolução Terceira Verificação 2003-2

dx(b)

e obtemos, sucessivamente,

onde C e uma constante real qualquer. (b) Evitando zero no denominador, fazemos a substitui c~ao :

obtendo

(a) Fa ca um esbo co da regi~ao R, no primeiro quadrante, limitada pela curva e reta dadas acima e o eixo Y, identi cando claramente todos os pontos de intersec c~ao . (b) Calcule a area da regi~ao R. (c) Escreva a integral que calcula o volume do s olido de revolu c~ao gerado pela rota c~ao da regi~ao R em torno do eixo Y. (n~ao calcule) y = x

y = 2/ (x+1)1 x R

Pontos de intersec c~ao entre a curva e a reta:

e resolvendo a equa c~ao do segundo grau obtemos x = 1 e x = 2, e apenas o primeiro valor interessa. Intersec c~ao da curva com o eixo Y:

Intersec c~ao da reta com o eixo y : x = 0 (origem) (b) Calculando em x:

Calculando em y:

(c)

2 dy

Quest~ao 3. (2.0 pontos) (a) Determine a equa c~ao da par abola que possui v ertice em (1;2) e diretriz x = 1. (b) Esbo ce o gr a co da hip erbole 9y2 4x2 36y 24x = 36, indicando seu centro, v ertices, focos e ass ntotas.

e assim

2 − sqrt(13)

2 + sqrt(13)F2

Quest~ao 4. (2.0 pontos)

(a) (0.5 pontos) A integral ∫ e uma integral impr opria ? Justi que.

(b) (1.5 pontos) Calcule a area da regi~ao determinada pelo gr a co de

sua ass ntota vertical e os eixos coordenados.

Solu c~ao : (a) SIM. O denominador do integrando e zero quando x = 2; ou, de outra forma, a fun c~ao n~ao e cont nua em x = 2. (b) Temos

Z b

vide esbo co abaixo:

x y x = 2 2y = 1 / sqrt( 2 − x)

Quest~ao 5. (2.0 pontos)

R x et2 dt

(2) Observamos que numerador e denominador tendem a zero ao x ! 2.

R x et2 dt d dx hR x et2 dt

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