curso prático-algebra linear

curso prático-algebra linear

(Parte 1 de 8)

Sumario

1.1 Introducao e Exemplos7
1.2 Propriedades12
1.3 Exercıcios13

1 Espacos Vetoriais 7

2.1 Introducao e Exemplos15
2.2 Intersecao e Soma de Subespacos17
2.3 Exercıcios20

2 Subespacos Vetoriais 15

3.1 Introducao e Exemplos23
3.2 Geradores24
3.3 Exercıcios27

3 Combinacoes Lineares 23

4.1 Introducao e Exemplos31
4.2 Propriedades34
4.3 Exercıcios35

4 Dependencia Linear 31

5.1 Base37
5.2 Dimensao38
5.3 Dimensao de Soma de Subespacos Vetoriais41
5.4 Coordenadas45
5.5 Exercıcios47

5 Base, Dimensao e Coordenadas 37 3

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

Álgebra Linear

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

4 SUMARIO

6.1 Introducao, Exemplos e Propriedades51
6.2 Exercıcios56

6 Mudanca de Base 51 7 Exercıcios Resolvidos – Uma Revisao 59

8.1 Introducao e Exemplos71
8.2 O Espaco Vetorial L (U, V )73
8.3 Imagem e Nucleo79
8.4 Isomorfismo e Automorfismo85
8.5 Matriz de uma Transformacao Linear87
8.5.1 Definicao e Exemplos87
8.5.2 Propriedades89
8.6 Exercıcios Resolvidos93
8.7 Exercıcios97

8 Transformacoes Lineares 71

9.1 Definicao, Exemplos e Generalidades105
9.2 Polinomio Caracterıstico1
9.3 Exercıcios114

9 Autovalores e Autovetores 105

10.1 Definicao e Caracterizacao115
10.2 Exercıcios123
1.1 Exercıcio131

1 Forma Canonica de Jordan 125

12.1 Produto Interno133
12.2 Norma136
12.3 Distancia138
12.4 Angulo139
12.5 Ortogonalidade140
12.6 Processo de Ortonormalizacao de Gram-Schmidt145
12.7 Complemento Ortogonal149

12 Espacos Euclidianos 133

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

12.8 Isometria150
12.9 Operador Auto-adjunto153
12.10Exercıcios156

SUMARIO 5

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

6 SUMARIO

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

Capıtulo 1 Espacos Vetoriais

1.1 Introducao e Exemplos

Neste capıtulo introduziremos o conceito de espaco vetorial que sera usado em todo o decorrer do curso.

Porem, antes de apresentarmos a definicao de espaco vetorial, passemos a analisar em paralelo dois objetos: o conjunto formado pelas funcoes f : R → R, denotado por F(R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem m com coeficientes reais que denotaremos por Mm(R), ou simplesmente, por Mm. A soma de duas funcoes f e g de F(R) e definida como sendo a funcao f + g ∈

Note tambem que se λ ∈ R podemos multiplicar a funcao f pelo escalar λ, da seguinte forma (λf)(x) = λ(f(x)), resultando num elemento de F(R).

Com relacao a Mn podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n, A = (aij)n×n e B = (bij)n×n, colocando A + B = (aij + bij)n×n, que e um elemento de Mn.

Com a relacao a multiplicacao de A = (aij)n×n por um escalar λ ∈ R, e natural definirmos λA = (λaij)n×n, o qual tambem pertence a Mn. O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adicao de seus elementos e multiplicacao de seus elementos por escalares, tem comum? Vejamos:

Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos numeros reais que, com relacao a quaisquer funcoes f,g e h em F(R) e para todo λ,µ ∈ R, sao validos os seguintes resultados:

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

8 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS

Agora, com relacao a quaisquer matrizes A,B e C em Mm e para todo λ,µ ∈ R, tambem sao validos os seguintes resultados:

Podemos ver que tanto o conjuntos das funcoes definidas na reta a valores reais como o das matrizes quadradas quando munidos de somas e multiplicacao por escalares adequadas apresentam propriedades algebricas comuns. Na verdade muitos outros conjuntos munidos de operacoes apropriadas apresentam propriedades semelhantes as acima. E por isso que ao inves de estudarmos cada um separadamente estudaremos um conjunto arbitrario e nao vazio, V, sobre o qual supomos estar definidas uma operacao de adicao, isto e, para cada u,v ∈ V existe um unico elemento de V associado, chamado

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

1.1. INTRODUC AO E EXEMPLOS 9 a soma entre u e v e denotado por u + v, e uma multiplicacao por escalar, isto e, para cada u ∈ V e λ ∈ R existe um unico elemento de V associado, chamado de o produto de u pelo escalar λ e denotado por λu.

Definicao 1.1 Diremos que um conjunto V como acima munido de uma adicao e de uma multiplicacao por escalar e um espaco vetorial se para quaisquer u,v e w em V e para todo λ,µ ∈ R sao validas as seguintes propriedades:

EV2 u + (v + w) = (u + v) + w para quaisquer u,v,w ∈ V ; EV3 existe um elemento 0 ∈ V tal que 0 + u = u para todo u ∈ V ; EV4 para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0; EV5 λ(µu) = (λµ)u para quaisquer u ∈ V e λ,µ ∈ R; EV6 (λ + µ)u = λu + µu para quaisquer u ∈ V EV7 λ(u + v) = λu + λv para quaisquer u,v ∈ V e λ ∈ R; EV8 1u = u para qualquer u ∈ V.

Observacao 1.2 O elemento 0 na propriedade EV3 e unico, pois qualquer outro 0′ ∈ V satisfazendo a mesma propriedade EV3 entao, pelas propriedades EV3 e EV1 terıamos 0′ = 0 + 0′ = 0′ + 0 = 0, isto e, 0 = 0′.

Observacao 1.3 Em um espaco vetorial, pela propriedade EV4, para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0. Na verdade, para cada u ∈ V existe somente um elemento v ∈ V com esta propriedade. De fato, dado u ∈ V se v e v′ em V sao tais que u+v = 0 e u + v′ = 0 entao, combinando estas equacoes com as propriedades EV1,EV2 e EV3, obtemos v = v +0 = v +(u+v′) = (v +u)+v′ = (u+v)+v′ = 0+v′ = v′, isto e v = v′. Denotaremos v por −u e u − v por u + (−v).

Observacao 1.4 As quatro primeiras propriedades referem-se apenas a operacao de adicao e sao conhecidas, respectivamente, por propriedade comutativa, propriedade associatividade, existencia do elemento neutro e existencia do elemento inverso.

A quinta e a oitava propriedades sao exclusivas da multiplicacao por escalar e tambem podem ser chamadas de associatividade e elemento neutro da multiplicacao, respectivamente.

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

Álgebra Linear - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo

10 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS

A sexta e a setima propriedades relacionam as duas operacoes e sao ambas conhecidas por distributividade.

Um outro exemplo de espaco vetorial, alem dos dois apresentados no inıcio do texto, e o conjunto dos vetores como apresentados em Geometria Analıtica munido da adicao e da multiplicacao por escalar. Dessa forma, o adjetivo vetorial utilizado na definicao acima deve ser entendido de uma forma mais ampla, sendo uma referencia aos elementos de V independentemente de serem ou nao vetores.

(Parte 1 de 8)

Comentários