Disciplinas de Mestrado e Doutorado em Matemática

Disciplinas de Mestrado e Doutorado em Matemática

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Disciplinas em Mestrado e Doutorado em Matemática

Disciplinas Básicas para Mestrado

Álgebra

Teoria dos grupos: conceitos básicos, automorfismos; teoremas de Sylow; teorema de Cayley; grupos livres e somas diretas. Teoria dos anéis: corpo de frações de um domínio de integridade; anéis principais e euclidianos; anéis de polinômios sobre corpos e sobre anéis comutativos. Módulos:definições; produtos diretos e teoremas de estrutura.

• Herstein, I. - Tópicos em Álgebra • Jacobson, N. - Basic Algebra I

• Lang, S. - Algebra

• Cohn, P.M. – Algebra

Topologia

Espaços topológicos e continuidade; conexidade e compacidade; axiomas de separação; completividade; espaços de funções.

• Munkres, J.R. - Topology: a first course • Nagata, A. - Modern General Topology

• Lima, E.L. - Elementos de Topologia Geral

Função de uma Variável Complexa

Funções analíticas; integração complexa; teoremas de Cauchy; teoria dos resíduos; funções harmônicas; convergência no espaço das funções analíticas.

• Conway, J.B. - Functions of one Complex Variable • Ahlfors, L.V. - Complex Analysis

• Marsden, J. - Basic Complex Analysis

Equações Diferenciais Ordinárias

Fundamentos: existência, unicidade, dependência de parâmetros; teoria geométrica e qualitativa; estabilidade e aplicações.

• Sotomayor, J. - Lições de E.D.O. • Hale, J.K. - Ordinary Differential Equations

• Hirsch-Smale - Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra

Não Obrigatórias Álgebra Linear

Espaços vetoriais e transformações lineares; determinantes; formas canônicas racionais e de Jordan; espaços com produto interno; transformações simétricas, ortogonais, hermitianas e normais; formas bi lineares e quadráticas; aplicações.

• Herstein, I, Tópicos em Álgebra Hoffmann, • K & Kunze, R, Álgebra Linear

• Greub, W, Linear Algebra

Cálculo Avançado

Aplicações de Rn em R; derivadas direcionais; gradiente; máximos e mínimos locais; aplicações de Rn em Rp; diferenciabilidade; máximos e mínimos condicionados; integrais de linha e de superfície; teoremas de Green, Gauss e Stokes; aplicações.

• Fleming, W, Functions of Several Variables • Fulks, W, Advanced Calculus

• Lima, E.L, Curso de Análise vol. I

• Spivak, M, Calculus on Manifolds

Análise na Reta

Números reais; Propriedades e completeza; Abertos e fechados na reta; Funções reais continuas: caracterizações por abertos, por limites, por sequências; Funções deriváveis na reta; Principais teoremas e o teorema do valor médio; Integral de Riemann e o teorema fundamental do cálculo; Sequências de funções: convergências simples e uniforme; Teoremas de Arzela-Ascoli e de Weirstrass e aplicações.

• Djairo Guedes de Figueiredo - Análise I, volume 1, 2a Edição, Rio de Janeiro,

• Elon Lages Lima, Análise Real, volume 1, 7a Edição, coleção Matemática

Universitária, IMPA, 2009. • Elon Lages Lima, Curso d Análise, volume 1 - Projeto Euclides, IMPA, 1976.

• Walter Rudin, Principales of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw- Hill, 1976.

Disciplinas de Mestrado Intermediárias

Algebra 2

Álgebra Linear sobre anéis comutativos. Módulos. Decomposições. módulos livres e projetivos. Dualidade e módulos projetivos.

MacDonald, B. - Linear Algebra over commutative rings.

Geometria Diferencial

Geometria diferencial local de curvas no plano e no espaço; tópicos de geometria global de curvas planas.Superfícies regulares no espaço: mudança de parâmetros; plano tangente; orientação; la. e 2a. formas fundamentais; isometrias e aplicações conformes; aplicação normal de Gauss; o teorema Egregium de Gauss; equações de compatibilidade; transporte paralelo; geodésicas; teorema de Gauss-Bonnet local e aplicações.

• Carmo, M.P. - Differential Geometry of Curves and Surfaces • Klingenberg, W. - Introduction to Differential Geometry

• Spivak, M. - A Comprehensive Introduction to Differential Geometry

Variáveis Diferenciáveis

Variedades diferenciáveis; variedades com bordo; espaço tangente; aplicações diferenciáveis; valores regulares; imersões; mergulhos e subvariedades; submersões e transversalidade; partição da unidade; métricas riemannianas; orientabilidade; campos de vetores.

• Lima, L.E. - Variedades Diferenciáveis • Spivak, M. - Calculus on Manifolds

• Milnor, J. - Topology from the Differentiable Viewpoint

• Brickell, F. and Clark, R.S. - Differentiable Manifolds

• Warner, F. - Foundations of Diff. Manifolds and Lie Groups

• Boothby, W. - An Introduction to Diff. Manifolds and Riemannian Geometry

Topologia Algébrica

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