Steinbruch Matrizes Determinantes Sistemas

Steinbruch Matrizes Determinantes Sistemas

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Matrizes,Determinantese Sistemas de EquaçõesLineares

AlfredoSteinbruch

Professor de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (de 1953 a 1980) e da Pontifícia Universidade Cat6lica do Rio Grande do Sul (de 1969 a 1978)

McGraw-Hill São Paulo

Rua Tabapuã, 1.105, Itaim-Bibi CEP04533

Rio de Janeiro e Lisboa e Porto e Bogotá e Buenos Aires e Guatema14 e Madrid e Mhk:o e New York e Panamá e San Juan e Santiago

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PREFÁCIOIX
Matrizde ordemm por n1
Diagonal principal e diagonal secundária2
Matriz diagonal e matriz unidade• . . . . . . • . • . . . • . . • 2
Matriz zero• . . • • • • • . . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . • • . . . 3
Matriz oposta de uma matriz• . . . . . . . . . . . . • . . . 3
Matriz triangular superior e matriz triangular inferior4
Igualdade de matrizes• . . . . . . . . . . . . . . . 4
Adição de matrizes . •• . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Produto de uma matriz por um escalar• . . . • . . . . . . . . . . . . 5
Produto de uma matriz por outra6
Matriz transposta. • • • . • • •• • • . . . . . . . . . . . • • . . • . . . . . . . 1
Matriz simétrica• • • . • . . • . • • • . • . . • • . . • • • • . • • • • • . . . . . 12
Matriz anti-simétrica • . • •• . . • • • • • . • . • . • . . . • • . • • . . 13
Problema.s14

Capítulo 1 - MATRIZES

Capítulo 2 - DETERMINANTES

Classe de uma permutação. •• . . . . • . . . • . . . . . . . 26
Termo principal e termo secundário• . . . . . . . . . . . 27
Determinante de uma matriz• • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

. Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2! e de 3! ordem 28

Cálculo do determinante de 2! ordem. •• . . . . . . . . . • 29

Vil

VIII Matrizes,Determinantese Sistemasde Equações Lineares

linha ou por uma coluna• . • • . . • . . . . • • . • . . . . . . . . . • . . . 32
Propriedades dos determinantes• . . . . . . • • . • • . . . . . . • . . . . 35
Cálculo de um determinante de qualquer ordem42
Problemas• . • . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . 45

Desenvolvimento de um determinante de ordem n por uma

Matriz inversa de uma matriz• . • • . . . . . . • . • • . . . •
Matriz singular• . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . .
Matriz não-singular• . • . • . . • • • . . • . . . . . . . . • • . .
Propriedades da matriz inversa• . . . . • • . • . . . . . .' • . • . •.
Operações elementares• • • • • . . . . . . • • . . . • • • . . . . . • • . . . .
Eq 'valA . d .UI encla e matrizes• . • . . • . . . . • . . . • • . . . . . . . . • .

Capítulo 3 - INVERSÃO DE MATRIZES

Matriz ortogonal• . • . . . . . • . • . . • . • . . . . . . . • . . . . .
Problemas .•..••..•....••......••...•..

Inversão de uma matriz por meio de operações elementares ••.•••

Equação linear• . . . . . . 70
Sistemas de equações lineares. • . • •• . • . . • • • . • • • . . . . . . . 71
Sistemas equivalentes•.•.••. • • . • • • . . . . • . . • . . • . • . 73
Estudo e solução dos sistemas de equações lineares. • • •73

Este livro foi escrito com um objetivo: proporcionar a estudantes os conhecimentos mínimos de matrizes, detenninantes e sistemas de equações lineares, conhecimentos que são indispensáveis para estudar e compreender os conteúdos de várias disciplinas dos Cursos de Engenharia, Administração, Economia, Matemática, Física, Computaçãoetc.

Para cumprir com a sua finalidade, o livro "MATRIZES, DETERMINANTESe SISTEMASDE EQUAÇÕESLINEARES" tem três características principais:

1) unidade de tratamento na solução de problemas diferentes. Assim, sem descuidar de casos particulares, o cálculo de determinantes de qualquer ordem, a inversão de matrizes e a solução de m equações lineares com n variáveis, quaisquer que sejam m e n, são feitos utilizando processos análogos;

2) linguagem simples, didática (sacrificando, muitas vezes, o rigorismo em benefício da clareza) e acessível a estudantes de qualquer Curso de nível superior;

3) ênfase na parte prática, contendo 168 problemasresolvidos e propostos, estes com respostas ou roteiros para a solução.

X Matrizes, e Sistemas de Equações Lineares o autor ficará compensado do seu trabalho se este livro contribuir para facilitar a estudantes a compreensão das disciplinas do seu Curso que tenham matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares como pré-requisito.

Críticas, sugestões para a melhoria deste livro, assim como informações sobre eventuais erros, serão bem recebidas no endereço do autor*.

Alfredo Steinbruch

* Rua Vieira de Castro, 275/601- Fone (0512) 31-3288 90.040 - Porto Alegre - RS - BR

1.1 - MATRIZDE ORDEM m POR n

Chama-se rIUltrizde ordem m por n a mo quadro de m x n elementos (em geral, números reais) dispostos em m linhas e n colunas.

a l alZ aln a:H a22 ~n

• A matriz na qual m 'i' n é retangular,se representa por A(m,n)e se diz de ordem m por n ou m x n.

• A matriz na qual m = n é quadrada, se representa por An(ou A(n,n»' e se diz de ordemn.

• Cada elemento de uma matriz A está afetado de dois índices: O primeiro índice indica a linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence.

2 Matrizes,Determinantese Sistemasde Equações Lineares

Fixando,a seguir,parai o valor2 e fazendoj variarde 1a 3, obtém-se:

istoé: ~1

• A matrizde ordemm por 1 é uma matriz-eoluna ou vetor-eoluna e a matriz. de ordem1porn é uma matriz-linha ou vetor-linha. Exemplos:

1.2 - DIAGONALPRINCIPALEDIAGONALSECUNDÁRIA

• Numa matrizquadradaA = [aij], de ordemn, os elementos em que i =j, constituemadiagonal principal. Assim,a diagonalformadapeloselementosalI' a22'..., ~ é a diagonalprincipal.

• Numa matriz quadrada A = de ordem n, os elementos em que i + j = n + 1, constituema diagonal secwuiária. Assim, a diagonalformada pelos

elementosa1n, ~ n-1' ~ n-2' ••• 8n1 (1 + n = 2 + n-l = 3 + n-2 == n + 1) é a

diagonalsecundária.

1.3 - MATRIZDIAGONALE MATRIZUNIDADE

• A matrizquadradaA = quetemos elementos = Oquandoi >F j é uma matriz diagonal:

Matrizes 3 all O O O az2 O

O O 8nn

• A matrizdiagonalque tem os elementos = 1parai = j é umamatrizunidade. Indica-sea matrizunidadepor~ ou simplesmenteporI:

1.4 - MATRIZZERO

Uma matriz zero é a matrizcujos elementossão todos nulos. Indica-sea matriz zero porO.

1.5 - MATRIZOPOSTADE UMA MATRIZ

Matriz oposta de uma matriz A = é a matriz B = [bij] tal que bij = Indica-sea matrizopostade A por-A. Exemplo:

4 Matrizes. Determinantes e Sistemas de Equações Lineares

1.6 - MATRIZTRIANGULARSUPERIOREMATRIZ TRIANGULARINFERIOR

A matriz quadrada A = [aijl que tem os elementos 8;j = Opara i> j é uma ma- triz triangular superior e a matriz quadrada B = [bijl que tem os elementos bjj = O para i < j é uma matriz triangular inferior. Exemplos:

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