Mineralogia

Mineralogia

(Parte 4 de 7)

2 texto completo em: DANA, J. D, & HURLBULT, C. S. Manual de Mineralogia /// Trad. De Rui Ribeiro Filho. Rio de Janeiro, LTC - Livros Técnicos e Científicos, 1969, 1o ed.

arestas e em uma direção paralela a esta aresta escolhida conforme visto na figura 2.5. A distância constante entre os nós de uma fila é uma característica importante dessa fila, que se designa por parâmetro de fila. A figura indica 2.5 oito desses movimentos de translação.

Figura 2.5 – Pontos em uma plano, arranjados regularmente formando uma rede. A célula unitária quadrada pode ser usada para gerar a rede completa.

Há várias maneiras de se escolher uma célula unitária para esta rede, uma delas seria o quadrado, mostrado no lado esquerdo superior da figura 2.6. Outras maneiras de se escolher uma célula unitária são apresentadas na figura 2.6. Geralmente, mas nem sempre, a célula escolhida para uma rede é um paralelogramo. A célula unitária a é dita primária ou reduzida, pois é a que possui as menores distâncias que separam os nós desse plano. Quaisquer outras redes que se definam naquela distribuição de nós são ditas secundárias, tais como as células b e c.

ab
ed c

Figura 2.6 – Diferentes maneiras de se escolher uma célula unitária para uma rede.

Nas redes primárias nunca há nós exteriores às interseções que as definem, enquanto que nas redes secundárias isto poderá acontecer. Quando não há nós fora das interseções as filas denominam-se conjugadas, tais como as células a, b e c. Já no caso de possuírem nós exteriores às suas interseções, as filas são ditas não-conjugadas, tais como nas células unitárias d e e. A célula f é equivalente à célula a, pois é idêntica a esta em tamanho e forma. Nas redes conjugadas cada ponto é compartilhado por quatro células adjacentes, como as células possuem quatro vértices, os números de pontos associados a ela é 4 x ¼, ou 1 ponto isto é, o equivalente a um ponto “pertence” a cada célula unitária. Numa rede definida por filas não-conjugadas, cada malha abrange, além de quatro nós nos vértices, mais certo número n de nós no seu interior.

Exercício 2.1 – Há cinco diferentes organizações de pontos para formar redes bidimensionais: quadrado simples (já visto na figura 2.5 e 2.6), retângulo simples, retângulo de área centrada ou losângulo, paralelogramo, hexágono de área centrada. Desenhe-os.

Já para outras células como a de pentágonos não é possível construir uma rede, conforme mostrado na figura abaixo,.

Figura 2.7 – Com pentágonos não é possível construir uma rede bidimensional, sem que fiquem espaços vazios.

A partir das definições da rede bidimensional, pode-se então transpor para três dimensões. A célula unitária geralmente escolhida para um retículo espacial é a figura sólida conhecida como paralelepípedo. Estes são sólidos com três conjuntos de faces paralelas, onde cada face é um paralelogramo. Assim sendo, a célula unitária consiste na unidade estrutural básica ou bloco de construção básico (figura 2.8a) e define a estrutura cristalina em virtude da sua geometria, tendo como referência um sistema de coordenadas x, y, z, com sua origem localizada em um dos vértices de uma célula unitária. A geometria geral de uma célula unitária tridimensional é completamente definida em termos de seis parâmetros: os comprimentos das arestas a, b, c e pelos ângulos α, β , γ entre os eixos cristalográficos. Estes parâmetros são referidos como constantes de rede ou parâmetros de rede de uma estrutura cristalina, conforme mostrado na figura 2.8 b.

Figura 2.8 – (a) Retículo espacial gerado pela repetição do empacotamento de células unitárias adjacentes face-a-face através do espaço tridimensional. (b) Geometria geral de uma célula unitária tridimensional.

São possíveis sete combinações diferentes destes seis parâmetros da rede: a, b, c e α, β e γ , consequentemente há sete tipos de paralelepípedos, formando os sete tipos essenciais de retículos conhecidos como redes de Bravais, os quais correspondem aos sete sistemas cristalográficos: triclínico, monoclínico, ortorrômbico, tetragonal, hexagonal, trigonal e cúbico.

Os sistemas cristalinos dispostos em ordem crescente de simetria são mostrados na tabela 2.2. A simetria aumenta conforme os ângulos tendem a serem retos (900) e conforme as arestas tendem a ter o mesmo tamanho.

25 Tabela 2.2 – Os sete sistemas cristalinos, dispostos em ordem crescente de simetria.

Triclínico Monoclínico Ortorrômbico Tetragonal a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ a ≠ b ≠ c,

Hexagonal Romboedral Cúbico a = b ≠ c

,γ = 1200

Os parâmetros de rede a, b, c são os comprimentos de arestas das células unitárias. Os parâmetros de rede α, β e γ, são os ângulos entre os eixos adjacentes das células unitárias, onde α é o ângulo visto ao longo do eixo a (isto é entre os eixos b e c).

3.5 NOTAÇÃO CRISTALOGRÁFICA.

Há umas poucas regras básicas que se deve ter na descrição de uma célula unitária, pois se necessita de um vocabulário que permita que se comunique eficientemente sobre estrutura cristalina. Os aspectos geométricos em uma rede são descritos em termos de posições, direções e planos de uma rede. As posições de rede expressas como frações (ou múltiplos) de dimensões de células unitárias, são ilustradas na figura 2.9a. Assim, a posição no centro do corpo projetada à meio caminho ao longo das três margens da célula unitária é designada pelas coordenadas ½, ½, ½. Estas posições equivalentes são conectadas por translações de rede, consistindo de múltiplos integrais de constantes de rede ao longo de direções paralelas aos eixos cristalográficos (figura 2.9b).

Figura 2.9 – (a) Notação para posições de rede. (b) Translações de rede conectadas com posições estruturalmente equivalentes em várias células unitárias.

As direções de rede são representadas por linhas retas que passam pela origem e por outro ponto interceptando um dos vértices da célula unitária ou de qualquer célula adjacente. A notação de uma direção de rede é representada entre colchetes [ ], para diferenciar da notação de posição. Na figura 2.10a, a direção que intercepta a célula unitária cúbica na posição 1, se estendida, interceptará a rede nas posições 2, 3, etc. Como a série 1 é a menor, a direção é referida como [1]. Apesar de passar pela posição ½ ½ ½ no centro do corpo da célula unitária o menor intercepto com um vértice de célula unitária é na posição 1.

Quando uma direção move-se ao longo de um eixo negativo, isto deve ser indicado pela notação de uma barra sobre a coordenada que representa a interceptação _ neste eixo. Por exemplo, na figura 2.10b, a barra sobre a última coordenada na direção [1] designa que a linha oriunda da origem intercepta a posição 1-1.

Figura 2.10 – (a) Notação para posições de rede. (b) Translações de rede conectadas com posições estruturalmente equivalentes em várias células unitárias.

As direções [1] e [1] são estruturalmente muito semelhantes, pois ambas são diagonais de corpo através de células unitárias _idênticas, diferindo somente em suas orientações no espaço. Em outras palavras, a direção [1] poderia se tornar a direção [1] se for feita uma diferente escolha de orientação em eixos cristalográficos. Dessa maneira pode-se ter um grupo de direções estruturalmente equivalentes, sendo chamado de família de direções e sendo representado em colchetes angulares. Um exemplo de diagonal de corpo no sistema cúbico é:

No estudo das propriedades mecânicas é útil conhecer o ângulo entre as direções. geralmente estes são determinados por cuidadosa visualização e cálculos trigonométricos. No sistema cúbico o ângulo pode ser determinado pelo simples cálculo do produto de dois vetores tomando as direções [uvw] e [u’v’w’]como vetores D = ua + vb + wc e D’ = u’a + v’b + w’c, pode-se determinar o ângulo δ, entre estas duas direções.

wvuwvu

Planos de rede são definidos em termos de seus interceptos nas laterais de uma célula. Porém, a notação destes planos não utiliza os interceptos, já que isto necessitaria o uso do símbolo de infinito (∞) se ocorresse de um plano ser paralelo a uma das laterais da célula unitária. Ao invés disso, são usados números inteiros, chamados de índices de Miller, estes são os recíprocos dos interceptos multiplicados pelo fator necessário para convertê-los em números inteiros. Os índices de planos são colocados entre parênteses, para distingui-los de direções. A notação geral para os índices de Miller é (hkl), referentes aos eixos x, y e z, respectivamente e pode ser usada para qualquer um dos sete sistemas cristalinos. Como exemplo, na figura 2.11a é mostrado que o plano (210) intercepta o eixo a em ½ a, o eixo b em 1b e o eixo c no infinito,

índices de Miller são (110)Na figura 2.11c os interceptos são ∞, 2, 4, seus recíprocos são 0,

pois é paralelo a este eixo. Seus recíprocos são 1/½, 1/1 e 1/∞, ou seja, os números inteiros 2, 1 e 0, o que leva à notação _ (210). Na figura 2.11b os interceptos são nas posições 1, -1, ∞ e os ½, ¼, dado que não são permitidas interseções fracionárias, estas terão de ser multiplicadas por 4, de modo a eliminar as frações ½ e ¼. Assim os inversos das interseções passam a ser 0, 2, 1 e os índices de Miller são (021).

Uma relação importante no sistema cúbico é quando as direções e planos cristalográficos contêm os mesmos índices, eles são perpendiculares um ao outro. Por exemplo, a direção [021] é perpendicular ao plano (021), conforme mostrado na figura 2.11c. Contanto, isto geralmente não é verdadeiro para outros planos cristalográficos.

(hkl)(b) Plano 110. (c) O plano (021), a direção perpendicular [021] e a direção

Figura 2.1 – (a) Notação para _ os planos de rede, o plano (210) ilustra os índices de Miller não perpendicular [014].

Quando um conjunto de planos estruturalmente equivalentes estiverem relacionados pela simetria do sistema cristalográfico, são designados por famílias de planos. A representação da família de planos simétricos é feita colocando-se os índices de Miller entre chaves {hkl}. Assim

os planos: (100), (010), (001), (100),(010), (001).

sendo, a família {100} em um _ sistema _ cúbico, _ representa as seis faces de um cubo, tendo

O sistema hexagonal, mostrado na figura 2.12, pode ser representado por quatro índices (hkil) denominados de índices de Miller-Bravais. No sistema hexagonal são mostrados três eixos no plano basal (a1, a2, a3) que fazem entre si um ângulo de 120º . O outro eixo, localizado no centro da célula unitária e perpendicular ao plano basal é denominado de eixo c. Porém, somente dois eixos são suficientes para determinar plano basal, pois, como pode ser demonstrado h+ k = -i, o quarto índice do sistema Miller-Bravais é redundante. Dessa forma o sistema hexagonal pode ser designado pelos índices de Miller – Bravais (hkil) ou pelos índices de Miller (hkl).

Assim, considerando os índices (hkil), no plano basal os interceptos acontecem nas posições ∞,

∞, ∞, 1, consequentemente os índices de Miller–Bravais são (0001) e os índices de Miller (001). Já no plano prismático, os índices de Miller – Bravais são: (1010), (10) e (1010).

Figura 2.12 – Índices de Miller-Bravais para o sistema hexagonal.

Exercício 2.2 – Liste os membros da família de direções <110> no sistema cúbico.

Exercício 2.3 – Qual é o ângulo entre as direções [110] e [1] no sistema cúbico? _ Exercício 2.4 – Identifique os interceptos axiais para o plano (311).

Exercício 2.5 – Liste os membros da família de planos {110} no sistema cúbico.

Exercício 2.6 – Desenhe uma célula unitária hexagonal e indique os planos basais e os planos prismáticos desta célula.

3.6 MODOS DE REDES DE BRAVAIS

Nas redes cúbicas primitivas (em que a malha reduzida é um cubo), a distância interplanar, dhkl representa o espaçamento entre dois planos paralelos sucessivos. Por exemplo, na figura 2.13, a distância d110, entre os planos 1 e 2 de índices (110) é igual ao comprimento AB. Do mesmo modo, a distância planos 2 e 3 é BC.

A 0 y

Ba

Figura 2.13 – Vista de topo de uma célula unitária cúbica, mostrando a distância entre planos cristalográficos.

Por simples geometria facilmente se deduz a expressão:

Em que a é a medida da aresta do cubo (parâmetro de rede) malha simples definidora de rede de Bravais. Analisando a fórmula, Bravais fez notar que quanto mais simples são os índices dos planos, maiores são as distâncias reticulares. Assim, se essas distâncias forem colocadas em ordem decrescente sucedem-se os planos reticulares (100), (110), (1), (210), etc.

Estes e os seus homólogos correspondem às faces cristalinas que definem, respectivamente, o cubo, o dodecaedro rômbico, o octaedro, um tetraexaedro, etc., isto é, as formas simples que, por ordem decrescente de freqüência, ocorrem habitualmente nos cristais das substâncias com uma estrutura cúbica primitiva.

Figura 2.14 – (a) Os índices mais simples dos planos apresentam as maiores distâncias reticulares. (b) faces cristalinas que definem as formas simples que, por ordem decrescente de freqüência, ocorrem habitualmente nos cristais das substâncias com uma estrutura cúbica primitiva.

Generalizando para todos os sistemas cristalográficos, Bravais postulou que a importância das faces dos cristais (ou de outros planos principais) varia em função da densidade reticular dos correspondentes planos reticulares (hkl). Ou melhor, a freqüência com que certa face ocorre é diretamente proporcional ao número de nós que ela intercepta. Quanto mais comum o número tanto mais comum à face. Esse enunciado constitui a chamada lei de Bravais. Como exemplo a figura 2.15 representa uma camada de nós em um retículo de cristal cúbico. Os nós estão espaçados igualmente um do outro e têm um arranjo retilíneo. Pode-se notar que existem várias linhas possíveis através deste retículo, as quais incluem um número maior ou menor de nós. Estas linhas representariam o traço, nesta seção, dos planos possíveis do cristal e achar-se-ia que, destes planos possíveis, aqueles que incluem o maior número de pontos do retículo, ou seja, aqueles que cortam ao longo de AB e AC, seriam os mais comuns. Assim, desde que a estrutura interna de qualquer substância cristalina é constante e as faces do cristal têm relação definida com aquela estrutura, segue-se que as faces devem ter também uma relação definida entre si (lei de Steno generalizada). Por esta razão a morfologia cristalina é frequentemente instrumento valioso na identificação mineral. Um mineral pode ser achado em cristais de tamanhos e formas largamente variados, mas os ângulos entre os pares de faces correspondentes são sempre os mesmos, se medidos a mesma temperatura.

Figura 2.15 – Plano de nós em um retículo cristalino

(Parte 4 de 7)

Comentários