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PORCENTAGEMUtilizamos o calculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano .toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.Exemplo:12/100 é igual a 0,12 que multiplicado por 100 será igual a 12%5/100 é igual a 0,05 que multiplicado por 100 será igual a 5%Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.Exemplos:O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%.A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano.Desconto de 25% nas compras à vista.Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal, observe os exemplos.Exemplos:25%/100 será igual a 0,257%/100 será igual a 0,07Exemplos:1.Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?300 .10 = 3000 este resultado divido por 100 será igual a 30 reaissendo assim300 – 30 = 270Logo, pagarei 270 reaisEXERCÍCIOS1) Escreva as razões na forma de taxa porcentuala) 1/100 = 7%b) 9/100 = 9%c) 35/100 = 35%d) 100/100 = 100%e) 143/100 = 143 %2) escreva na forma de razões centesimaisa) 3% = 3/100b) 8% = 8/100c) 34% = 34 /100d) 52% = 52 / 100e) 89% = 89 /1003) Escreva as razões forma de taxa porcentual:a) 1/4 = 25%b) 3/5 = 60%c) 7/10 = 70%d) 1/50 = 2%e) 9/25 = 36%f) 17/10 = 170%g) 7/2 =350%h) 5/4 = 125%i) 3/8 = 37,5%4) calcule a porcentagens:a) 8% de R$ 700,00 = R$ 56,00b) 5% de R$ 4.000,00 = R$ 200,00c) 12% de R$ 5.000,00 = R$ 600,00d) 15% de R$ 2.600,00 = R$ 390,00e) 100% de R$ 4.520,00 = R$ 4.520,00f) 125% de R$ 8.000,00 = R$ 10.000,00g) 3% de 400 = 12h) 18% de 8600 = 1.548i) 35% de 42.000 = 14.700j) 1% de 3000 = 30l) 120% de 6.200 = 7.440PROBLEMAS DE PORCENTAGEMSão resolvidos atraés de regra de três simplesexemplo 1calcular 20% de R$ 700,00700--------100X-----------20100X = 700 . 20100x = 14000x = 14000/100x= 140resposta : R$ 140,00MÉTODO PRÁTICOExemplo 1Neste caso, podemos resolver mais rapidamente, lembrando o conceito de fração:Calcular 20% de R$ 700,00solução:20 / 100 . 700 =20 . 700 / 100 = 14000/ 100 = 140Resposta : R$ 140,00Exemplo 2Numa classe de 40 alunos, 36 foram aprovados. Qual a taxa de porcentagem dos aprovados?solução:40-------36100------x40/100 = 36/x40x = 3600x = 3600/40x = 90Resposta: A aprovação foi de 90%Exemplo 3Comprei uma camisa e obtive um desconto de R$ 12,00 que corresponde à taxa de 5%. Qual é o preço da camisa?100/x = 5/125x = 1200x = 1200 / 5x = 240Resposta: A camisa custava R$ 240,001) Numa escola de 900 alunos, 42% são rapazes. Calcule o número de rapazes. (R:378)2) Sobre um ordenado de R$ 380,00 são descontados 8% para o INSS. De quanto é o total de descontos ? (R: 30,40)3) Comprei uma bicicleta por R$ 500,00, Revendi com um lucro de 15%. Quanto ganhei? (R: 75,00)4) Uma caneta que custava R$60,00 sofreu um desconto de 5%. Quanto você pagará por essa caneta? (R: R$ 57,00)5) Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 720,00 para lucrar 30% ( R: 936,00)6) Seu pai comprou um rádio por R$ 85,00 e obteve um desconto de 12% . Quanto pagou pelo rádio? (R: 74,80)7) Um cormeciante comprou uma mercadoria por R$ 9.500,00. Querendo obter um lucro de 12% por que preço deverá vender a mesma? ( 10.540,00)8) Ao ser pago com atraso, uma prestação de R$ 1.300,00 sofreu um acréscimo de 4% . Qual o valor dessa prestação? (R: 1.352,00)9) Numa classe de 40 alunos, 6 foram reprovados. Qual a taxa de porcentagem dos alunos reprovados? ( R: 15%)10) Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas. Qual a taxa de porcentagem das frutas estragadas? (R: 8%)11) Comprei um objeto por R$ 23.000,00 e revendi com um lucro de R$ 1.610,00. Qual foi a taxa de lucro? (R: 7%)12) Um comerciante recebeu um desconto de R$ 1.312,00 numa compra cujo valor era de R$ 82.000,00. Calcule a taxa dedesconto? (R: 1,6%)13) Um produto custa R$ 400,00 e é vendido por R$ 520,00. Qual é a taxa de lucro? ( R: 30%)14) Numa turma de 30 operários faltaram 12. Qual a taxa de operários presentes? (R:60%)15) Numa classe foram reprovados 15% dos alunos, isto é , 9 alunso. Quantos alunos havia na classe? (R: 60)16) Meu irmão ganhava R$ 320,00. Seu patrão lhe deu um aumento de 42%. Quanto ganha atualmente? (R: 454,40)17) Num exame supletivo compareceram 12.600 candidatos e apenas 5% foram aprovados. Quantos candidatos foram aprovados? ( R: 630)18) De 400 operários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa de porcentagem dos operários, quantos são casados? (R: 30%)19) Um produto custa R$ 600,00 e é vendido por R$ 750,00. Qual é a taxa de lucro nesse produto? (R: 25%)20) Comprei uma vitrola por R$ 150,00 e vendi por R$ 129,00. De quanto porcento foi o prejuizo (R: 14%)21) Um rádio foi comprado por R$ 175,00 e vendido por R$ 199,50. De quanto por cento foi o lucro? (R: 14%)RAZÃORazão é a divisão ou relação entre duas grandezasexemplos:1) A razão de 5 para 10 é 5/10, que é igual a 1/2.2) A razão de 10 para 5 é 10/5, que é igual a 2.Exercícios1) Determine a razão do primeiro para o segundo número:a) 1 e 9 = 1/9b) 4 e 7 = 4/7 c) 7 e 4 = 7/4d) 25 e 11 = 25/11e) 4 e 16 = 4/16 = 1/4f) 16 e 4 = 16/4 = 4g) 38 e 19 = 38/19 = 2 h) 19 e 38 = 19/38 = 1/2i) 100 e 48 = 100/48 = 25/12PROPORÇÃO Grandezas ProporcionaisO que estudaremos são grandezas que sejam diretamente ou inversamente proporcionais, embora existam casos em que essas relações não se observem, e que portanto, não farão parte de nosso estudo.Por exemplo, "na partida de abertura de um campeonato, um jogador fez três gols, quantos gols ele fará ao final do campeonato sabendo que o mesmo terá 46 partidas?".Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P.)Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica no aumento da outra, quando a redução de uma implica na redução da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá com a outra.Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.)Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá o inverso com a outra.EXERCICIOS1) Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de trabalho. Quanto receberia se tivesse trabalhando 8 dias a mais?a) R$ 12.300,00b) R$ 10.400,00c) R$ 11.300,00d) R$ 13.100,00e) R$ 13.200,00 (X) 2) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 130 m de altura?a) 290mb) 390m (X)c) 490md) 590me) 690m3) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos.a) 14 e 20 anosb) 14 e 21 anos (B)c) 15 e 20 anosd) 18 e 17 anose) 13 e 22 anos4) (FGV) Em 1º . 03 . 95 , um artigo que custava R$ 250,00 teve seu preço diminuído em p% do seu valor . Em 1o . 04 . 95 , o novo preço foi novamente diminuído em p% do seu valor , passando a custar R$ 211,60 . O preço desse artigo em 31. 03 . 95 era :a) R$ 225,80b) R$ 228,00c) R$ 228,60d) R$ 230,00 (D)e) R$ 230,805) A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar essas áreas sabendo que a soma é 66 cm².a) 22cm² e 44cm²b) 20cm² 46cm²c) 21cm² e 45cm²d) 24cm² e 42 cm² (D)e) 23cm² e 43cm²6) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes.a) 17cm³ e 28cm³b) 18cm³ e 27cm³ (B)c) 19cm³ e 28cm³d) 20cm³ e 27cm³e) n.d.a7) Uma pessoa emprega uma quantia a juros simples de 6% durante 5 anos e o montante a juros simples de 12% ao ano durante 2 anos e recebeu R$ 80.600,00 de montante . Qual o capital inicial ?a) R$ 50.000 (A)b) R$ 60.000c) R$ 70.000d) R$ 80.000e) R$ 90.0008) (PUC) Em uma corrida de cavalos , o cavalo vencedor pagou aos seus apostadores R$ 9 por cada R$ 1 apostado . O rendimento de alguém que apostou no cavalo vencedor foi de:a) 800% (A)b) 90%c) 80%d) 900%e) 9%9) (FEI) O custo de produção de uma peça é composta por : 30% para mão de obra , 50% para matéria prima e 20% para energia elétrica . Admitindo que haja um reajuste de 20% no preço de mão de obra , 35% no preço de matéria prima e 5% no preço da energia elétrica, o custo de produção sofrerá um reajuste de:a) 60%b) 160%c) 24,5% (C)d) 35%e) 4,5%10) (UNESP) Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro de 1990 o preço do quilograma de mercadorias num determinado "sacolão" sofreu um aumento de 275% . Se o preço do quilograma em 10de novembro era de Cr$ 67,50 , qual era o preço em 10 de fevereiro ?a) Cr$ 19,00b) Cr$ 18,00c) Cr$ 18,50d) Cr$ 19,50 (X)e) Cr$ 17,0011) (FUVEST) Suponha que a taxa de inflação seja 30% ao mês durante 12 meses ; daqui a um ano seja instituído o "cruzado novo ", valendo Cz$ 1000 ; e que sejam colocadas em circulação moedas de 10 centavos , 50 centavos e 1 cruzado novo . Qual será então o preço , em cruzados novos , de um cafezinho que custa hoje Cz$ 20,00 ?a) NCZ$ 0,20b) NCZ$ 0,30c) NCZ$ 0,40d) NCZ$ 0,50 (X)e) NCZ$ 0,6012) (FUVEST) O salário de Antônio é 90% do de Pedro . A diferença entre os salários é de R$ 500,00 . O salário de Antônio é:a) R$ 5500,00b) R$ 4500,00 (X)c) R$ 4000,00d) R$ 5000,00e) R$ 3500,0013) (FUVEST) Numa certa população 18% das pessoas são gordas , 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas . Qual a porcentagem de homens na população ?a) 30%b) 35%c) 40% (X)d) 45%e) 50%14) (FAAP) Numa cidade , 12% da população são estrangeiros . Sabendo-se que 11.968.000 são brasileiros , qual é a população total ?a) 1.360.000b) 13.600.000 (X)c) 136.000.000d) 10.531.840e) 105.318.40015) (FUVEST) O preço de uma certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100% . Supondo que o preço atual seja R$ 100,00 , daqui a 3 anos o preço será.a) R$ 300,00b) R$ 400,00c) R$ 600,00d) R$ 800,00 (X)e) R$ 1000,0016) (FGV) Se uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo de 8% , seu preço final , em relação ao preço inicial:a) aumentou de 22%b) decresceu de 21,97% (X)c) aumentou de 21,97%d) decresceu de 23%e) decresceu de 24%17) (FGV) Uma fábrica de sapatos produz certo tipo de sapatos por R$ 18,00 o par , vendendo por R$ 25,00 o par . Com este preço , tem havido uma demanda de 2000 pares mensais . O fabricante pensa em elevar o preço em R$ 2,10. Com isto as vendas sofrerão uma queda de 200 pares . Com esse aumento no preço de venda seu lucro mensal:a) cairá em 10%b) aumentará em 20%c) aumentará em 17% (X)d) cairá em 20%e) cairá em 17%18) (FGV) Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual . Então , seu peso atual é:a) inferior a 30 kgb) 75 kgc) 50 kgd) superior a 75 kge) 40 kg (X)19) (FGV) Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso . Se tivesse engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 15%, estaria pesando 18,4 kg a menos . Qual era seu peso original ?a) 50 kgb) 60 kgc) 70 kgd) 80 kg (X)e) 40 kg20) (FGV) Num colégio com 1000 alunos , 65% dos quais são do sexo masculino , todos os estudantes foram convidados a opinar sobre o novo plano econômico do governo . Apurados os resultados , verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente ao plano . A porcentagem de estudantes favoráveis ao plano vale:a) 43,5% (X)b) 45%c) 90%d) 17,5%e) 26%21) (PUC) Em uma certa comunidade existem 200.000 professores de 1º e 2º graus que trabalham na rede oficial do Estado, 25.000 professores de 1º e 2º graus que trabalham na rede particular de ensino e 12.000 professores de 3º grau . Se 2,5% dos professores da rede oficial trabalham na rede particular , se 0,25% dos professores da rede oficial trabalham no 3º grau , e se 2% dos professores da rede particular trabalham no 3º grau , quantos professores possui essa comunidade , se apenas 200 professores trabalham , simultaneamente , na rede pública , particular , e no 3º grau ?a) 213200b) 231200 (X)c) 212300d) 223100e) 23100022) (ESPM) O salário médio de uma indústria de 354 funcionários é de R$ 3.300,00 . Se a indústria der um aumento de 20% para cada funcionário que possui , qual será o novo salário médio ?a) R$ 3.690,00b) R$ 369,00c) R$ 396,00d) R$ 3.960,00 (X)e) n.d.a23) (OSEC) Em apenas 6 meses o preço de um litro de gasolina teve 320% de aumento. Como esse preço era inicialmente de R$ 0,25 , ele passou a ser:a) R$ 0,80b) R$ 1,05 (X)c) R$ 1,50d) R$ 2,80e) R$ 2,8524) (FUVEST) Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200 litros , dos quais 25% são de leite natural . Qual é a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada à essa mistura para que ela venha a conter 20% de leite natural ?a) 40b) 43c) 48d) 50 (X)e) 6025) (FGV) Duas irmãs , Ana e Lúcia , têm uma conta de poupança conjunta . Do total do saldo , Ana tem 70% e Lúcia 30% . Tendo recebido um dinheiro extra , o pai das meninas resolveu fazer um depósito exatamente igual ao saldo na caderneta . Por uma questão de justiça , no entanto , ele disse às meninas que o depósito deveria ser dividido igualmente entre as duas . Nessas condições , a participação de Ana no novo saldo:a) diminui para 60% (X)b) diminuiu para 65%c) permaneceu em 70%d) aumentou para 80%e) é impossível de ser calculada se não conhecermos o valor26) (ESPM) O preço do papel sulfite , em relação ao primeiro semestre de 1989 , teve um aumento de 40% em agosto e um outro de 32% em setembro . No mês de novembro , teve um desconto de 25% . Qual seria o aumento do papel se ele fosse único?a) 37%b) 38,6% (X)c) 36,8%d) 35,4%e) 34,5%27) Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma certa distância.Quanto o tempo demorará para percorrer a mesma distância um outro auto cuja velocidade é de 120 km/h?a) 2 horas (X)b) 3 horasc) 4 horasd) 5 horase) 6 horas28) Uma roda de 30 dentes engrena com outra de 25 dentes. Quantas voltas dará esta última quando a primeira der 175 voltas.a) 10 voltasb) 110 voltasc) 210 voltas (X)d) 310 voltase) 410 voltas29) Para forrar as paredes de uma sala são necessárias 20 peças de papel com 80 cm de largura cada. Quantas peças seriam necessárias se as peças tivessem 1m de largura?a) 15 peçasb) 16 peças (X)c) 17 peçasd) 18 peçase) 19 peças

REGRA DE TRÊS SIMPLESRegra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.Passos utilizados numa regra de três simples:1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.3º) Montar a proporção e resolver a equação.Exemplos:1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?Solução: montando a tabela:Área (m²) Energia (Wh)1,2--------4001,5-------- xIdentificação do tipo de relação:Área--------Energia1,2---------400↓1,5---------- X↓Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:Área--------Energia1,2---------400↓1,5-----------x↓1,2X = 400.1,5x= 400.1,5 / 1,2x= 500Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?Solução: montando a tabela:1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)400-----------------3480---------------- x2) Identificação do tipo de relação:velocidade----------tempo400↓-----------------3↑480↓---------------- x↑Obs: como as setas estão invertidas temos que inverter os numeros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda coluna vai para cimavelocidade----------tempo400↓-----------------X↓480↓---------------- 3↓480X = 400 . 3x = 400 . 3 / 480X = 2,5Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?Solução: montando a tabela:Camisetas----preço (R$)3------------- 1205---------------x3x=5.120o três vai para o outro lado do igual dividindox = 5.120/3x= 200Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?Solução: montando a tabela:Horas por dia-----Prazo para término (dias)8↑------------------------20↓5↑------------------------x ↓invertemos os termosHoras por dia-----Prazo para término (dias)8↑-------------------------x↑5↑------------------------20↑5x = 8. 20passando-e o 5 para o outro lado do igual dividindo temos:5x = 8. 2 / 5x = 32Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:EXERCICIOS1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112)2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16)4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (R: 8)5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? (R:8)6) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? (R: 90)7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? (R: 4)8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R: 10)9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? (R: 6)10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3)11) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? (R:10)12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa? (R:10)13) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantoas peças produzirá em 1 hora? (R:240)14) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (R:4)15)Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Qauntos alfinetes ela fabricará em 7 horas? (R:17.500)16) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00 quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo produto? (R:43.200,00)17) Oito operarios fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma casa? (R:20)18) Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? (R: 420)19) Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 dias, quantos homens serão necessários? (R:25)20) Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R: 3)21) Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de páginas desse livro? (R:360)REGRA DE TRÊS COMPOSTAregra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.Exemplos:1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:Horas --------caminhões-----------volume8↑----------------20↓----------------------160↑5↑------------------x↓----------------------125↑A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.Observe que:Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.Montando a proporção e resolvendo a equação temos:Horas --------caminhões-----------volume8↑----------------20↓----------------------160↑5↑------------------x↓----------------------125↑20/ x = 160/125 . 5/8 onde os temos da ultima fração foram invertidossimplificando fica20/x = 4/54x = 20 . 54x = 100x = 100 / 4x = 25Logo, serão necessários 25 caminhões2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?Solução: montando a tabela:Homens----- carrinhos------ dias8-----------------20--------------54-------------------x-------------16Observe que:Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.Montando a proporção e resolvendo a equação temos:20/x= 8/4 . 5/1620 / x = 40 / 6440x = 20 . 6440 x = 1280x = 1280 / 40x = 32Logo, serão montados 32 carrinhosEXERCICIOS1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia? (R=5600)2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias? (R=10)3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por dia? (R=4340)4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia? (R=1350)5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias? (R=8)6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias ? (R=6)7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia? (R=8)8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10)9) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? (R: 6 horas.)10) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? (R: 35 dias).11) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? (R: 15 dias.)12) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? (R: 10 horas por dia.)13) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? (R: 2025 metros.)

Lucro

Em uma transação comercial há a possibilidade de se obter lucro. Isso ocorre quando o valor de venda é maior do que o valor de custo (ou de compra). A taxa percentual desse lucro pode ser calculada considerando-se o valor de compra ou de venda do produto.

Para facilitar o estudo vamos adotar:

O lucro é determinado por:

A taxa percentual de lucro em relação ao valor de custo é dada pela razão entre o lucro e o valor de custo.

A taxa percentual de lucro em relação ao valor de venda é dada pela razão entre o lucro e o valor de venda.

Desconto

Já vimos que uma transação comercial pode dar lucro. De forma análoga, pode ocorrer prejuízo. Isso acontece quando o valor de venda é menor que o valor de custo (ou de compra). Por razões comerciais, pode ainda ocorrer um des­conto. Um desconto não implica necessariamente em um prejuízo, mas para o cálculo da taxa porcentual, seja de um des­con­to, seja de um prejuízo, procedemos da mesma maneira: comparamos o módulo da diferença entre os preços de custo e de venda com o preço de custo ou com o preço de venda conforme a conveniência do contexto.

Para facilitar nosso estudo, vamos adotar:

O desconto é determinado por:

A taxa percentual de desconto em relação ao valor de custo é dada pela razão entre o desconto e o valor de custo.

A taxa percentual de desconto em relação ao valor de venda é dada pela razão entre o desconto e o valor de venda.

Acréscimos sucessivos

Vários são os fatores que determinam o preço de um produto. A lei da oferta e da procura é um desses fatores que obriga, às vezes, mais de um reajuste de preços, para valores maiores (acréscimos sucessivos) ou para valores menores (descontos sucessivos).

Se um produto com preço inicial P0 sofre acréscimos sucessivos, cujas taxas percentuais são i1, i2, …, in, então o preço desse produto após n reajustes é Pn dado por:

Particularmente, esses acréscimos podem apresentar taxas percentuais iguais, i1  i2  …  in i. Neste caso, temos:

Descontos sucessivos

Já vimos que numa transação comercial o preço de um produto pode sofrer acréscimos sucessivos. Da mesma forma, os preços de um produto podem ter descontos sucessivos.

Vejamos:

Se um produto com preço inicial P0 sofre descontos sucessivos, cujas taxas percentuais são i1, i2, …, in, então o preço desse produto após n descontos será Pn dado por:

Particularmente, esses descontos podem apresentar taxas percentuais iguais, i1  i2  …  in i. Neste caso, temos:

JUROS SIMPLESQuando se deposita ou empresta uma certa quantia, denominada capital por um certo tempo, recebe-se como compensação outra quantia , chamada juros.Capital __c___ (quantia emprestada)Taxa____ i___ (porcentagem envolvida)Tempo___t___ (período do empréstimo)Juros____j____(a renda obtida)Os problemas sobre juros simples podem ser resolvidos por meio de uma regra de três composta. Na pratica são resolvidos através de formula.Exemplo:O capital 100 em 1 ano produz iO capital c em t anos produzira jCapital______tempo______juros100_________1____________ic___________ t____________JI/j=100/c.1/ti/j= 100/c.t100j= c.i.tj=c.i.t/100OBESERVAÇÃOA formula somente é válida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidadeExemplos“1”Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 5.000,00 empregado à taxa de 90% ao ano, durante 2 anosSoluçãoJ = ?, c = 5000, i = 90% ao ano, t = 2 anosTemos: j = c.i.t / 100Substituindo temos:J = 5000.90.2 / 100J = 900000/ 100J = 9000Exemplo “2”Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado à taxa de 3% ao mês, durante um ano.Temos: j = c . i . t / 100J= 10000.3.12 / 100J = 360000 / 100J = 3600Exemplo “3”Qual o capital que, em quatro meses, rendeu R$ 11.520,00 de juros à taxa de 96% ao ano?Temos : j = c.i.t / 10011520 = c.8.4 / 10032c = 1152000c = 1152000 / 32c = 36000Exemplo “4”Durante quanto tempo ficou empregado um capital de R$ 45.000,00 que rendeu R$ 8.100,00 de juros, à taxa de 2% ao mês?Temos : j = c.i.t / 1008100 = 45000. 2. t / 10090000t = 810000t = 810000 / 90000t = 9EXERCICIOS1) Calcule o juro produzido por R$ 50.000,00 durante 2 anos , a taxa de 30% ao ano. (R=30.000)2) Calcule o juro produzido por R$ 18.000,00, durante 3 meses, a taxa de 7% ao mês. (R=3780)3) Calcule o juro produzido por R$ 72.000,00, durante 2 meses , a taxa de 60% ao ano (R=7200)4) Calcule o juro produzido por R$ 12.000,00, durante 5 meses, a taxa de 6,5% ao mês (R= 3900)5) Por quanto tempo devo aplicar R$ 10.000,00 para que a renda R$ 4.000,00 a uma taxa de 5% ao mês? (R=8)6) Por quanto tempo devo aplicar R$ 3.000,00 para que renda R$ 1.440,00 a taxa de 12% ao mês? (R = 4)7) A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 10.000,00 para que, no fim de 2 meses renda R$ 2.000,00 de juros? (R=10%)8) A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 20.000,00 para que, no fim de 10 meses renda R$ 18.000,00 de juros? (R= 9%)9) Qual será o capital que em 9 meses, a 6% ao mês, renderá R$ 32.400,00 de juros ? (R= 60.000)10) Qual será o capital que,em 3 meses, a 72% ao ano renderá R$ 720,00 de juros? (R=4.000)

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

 

 Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

 

Após três meses de capitalização, temos:

    1º mês: M =P.(1 + i)    2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)     3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

    Simplificando, obtemos a fórmula:  

M = P . (1 +  i)n

 

    Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

    Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:  

J = M - P

Relação entre juros e progressões

    No regime de juros simples:    M( n ) = P + P.i.n  ==> P.A. começando por  P e razão J = P.i.n    No regime de juros compostos:    M( n ) = P . ( 1 + i ) n ==> P.G. começando por P e razão ( 1 + i ) n

    Portanto:

Num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética

Num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica

EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS

1- Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos:

a) 4% am e 6 meses b) 8% at e 18 meses c) 12% aa e 18 meses ( a) 4.428,62 b) 5.554,06 c) 4.148,54)

2 - Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 à taxa efetiva de 15% am?

11 meses

3 - Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ 100.000,00 daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de:

a) 13% at b) 18% aa c) 14% as d) 12% am R: a) 14.149,62 b) 51.578,89 c) 35.055,91 d) 434,05

4 - Um capital de R$ 51.879,31 aplicado por 6 meses resultou em R$ 120.000,00. Qual a taxa efetiva ganha?

15 % am

5 - Em quanto tempo triplica uma população que cresce à taxa de 3% aa? 37,16700968 a ou 37a2m

6 - A rentabilidade efetiva de um investimento de 10% aa. Se os juros ganhos forem de R$ 27.473,00, sobre um capital investido de R$ 83.000,00, quanto tempo o capital ficará aplicado? 3 anos

7 - Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao próprio capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5% am? 14 m 6 d

8 - Quanto tempo deve transcorrer para que a relação entre um capital de R$ 8.000,00, aplicado a juros efetivos de 4% am, e seu montante seja igual a 4/10? 23,36241894 m ou 23m 11d

9 - Calcular o rendimento de um capital de R$ 7.000,00 aplicado à taxa efetiva de 1% am no período compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano. (considere ano civil entre as datas). 150,18

10 - Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? 21,9013654% aa

11 - Na compra de um Bem cujo valor à vista é de R$ 140,00, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de R$ 80,00 no fim dos próximos 2 meses. Considerando uma taxa de juros de 20% am, qual o valor da entrada? 17,78

12 -Por um equipamento de R$ 360.000,00 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$ 180.000,00 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% am, calcular o valor do segundo pagamento. 150.480,00

13 - Um capital de R$ 50.000,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em R$ 2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo em meses. 2% am; 1 mês

14 - Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos de 2% am e o segundo, a 1,5 am. O primeiro capital é R$ 10.000,00 maior que o segundo e seu rendimento excedeu em R$ 6.700,00 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais. 13.440,52; 3.440,52

15 - Um certo capital após 4 meses transformou-se em R$ 850,85. Esse capital, diminuído dos juros ganhos nesse prazo, reduz-se a R$ 549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação.

700,00; 4,999865% AM

16 - Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% aa. Após 3 anos, resgatou-se a metade dos juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% aa, obtendo-se um rendimento de R$ 102,30 no prazo de 1 ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. 199,99

17 - Determine o capital que aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% am produz um montante que excede em R$ 500,00 ao montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros simples de 4% am. 102.796,05

18 - Uma pessoa depositou R$ 1.000,00 em um fundo que paga juros efetivos de 5% am, com o objetivo de dispor de R$ 1.102,50 dentro de 2 meses. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% am. Quanto tempo adicional terá de esperar para obter o capital requerido? 9 dias

19 - Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado dividido em duas parcelas, a primeira à taxa efetiva de 6% at e a segunda a 2% am. Se após 8 meses os montantes de ambas as parcelas se igualam, determinar o valor de cada parcela.

2.003,04; 1.996,96

20 - Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? 13,5184526% am

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