calculo de azimute

calculo de azimute

(Parte 1 de 2)

X Y (Norte)

M1 Azimute

Linha base M2 – M1 e o seu Azimute

P Xp Xq

Yp R

Apq Apr

Cálculo das coordenadas (X,Y,Z)

Anteriormente, foi visto como calcular a distância reduzida (Dr), o desnível (Dh) e o ângulo horizontal (α) para um ponto qualquer (Pi). Agora, vamos ver como calcular as coordenadas (X,Y, Z) de Pi, tendo por base as coordenadas (X, Y, Z) dos pontos que formam a linha base.

Definição de azimute

Suponha um espaço coordenado sobre o qual se identifiquem 2 pontos P e Q. O azimute de PQ, ou o Azimute de P para Q, ou o ângulo azimutal PQ, é o ângulo contado a partir do eixo das ordenadas (Norte), no sentido horário, até o segmento de reta PQ. Como podemos ver, este ângulo pode variar de 0 a 360 em função das localizações de P e Q.

Cálculo do Azimute da linha base

Tendo por base as grandezas calculadas anteriormente, ou seja: Dr, Dh e α, temos então que calcular o azimute da linha base a partir das coordenadas cartesianas dos marcos topográficos, usados como referência para o levantamento. No caso do primeiro levantamento o marco topográfico ocupado foi M2 e o marco topográfico visado foi M1, então temos que calcular o azimute de M2 → M1.

Sendo as coordenadas cartesianas de M1 (X=7699,865; Y =4124,629; Z = 908,664), M2(X=7750,883; Y=4102,025; Z = 911,260) e M3(X=7717,378; Y=4146,631; Z = 909,695).

Obs. O Azimute é um ângulo contado no sentido horário a partir do norte até a direção M2-M1.

O azimute é dado pela seguinte equação:1 tan(Az) = ∆X tan (Azpq) = ∆X

Para o exemplo em questão, podemos escrever então:

Como sugestão isolar os sinais para fazer a discussão de que quadrante o azimute está, ou seja numerador negativo e denominador positivo, temos:

Então, calculamos o azimute como se tivesse no 1° quadrante e depois converte-se para o 4° quadrante, ou seja:

Az(M2-M1)* = arcTan(2,257034) = 6,103817° = 6° 06' 14”

Pela discussão do quadrante, foi deduzido que o azimute está no 4° quadrante. Então, temos que converter do 1° para 4° quadrante, ou seja:

1° → 4° Az(M2-M1) =360° - Az(M2-M1)* = 360° -(66° 06' 14”) = 359° 59' 60” -(66° 06' 14”) = 293° 53' 46”

) = X M1

- X M2

Y M1 - Y M2

7699,865 -7750,883

- +Azimute está no 4° quadranteX tan(Az

X Y (Norte)

Linha base (M2-M1) orientada a partir do azimute

Cálculo do azimute do ponto irradiado

Sobre a figura do azimute da linha base, vamos introduzir as grandezas Dr e α,, que foram calculadas para o ponto 1 irradiado a partir da linha base:

Da figura acima, podemos escrever que o Azimute(M2 → 1) = Az (M2-M1) +α , ou seja:

OBS. Quando o valor do Azimute ultrapassar 360°, temos que retirar o que excede de 360°.

Cálculo das coordenadas (X,Y,Z) do ponto irradiado

O próximo passo é calcular as coordenadas (X,Y,Z) do ponto irradiado, para isto temos que calcular as projeções sobre o eixo X e sobre o eixo Y, como na figura abaixo:

Como são conhecidos o Azimute de M2--> 1 e a distância reduzida, podemos escrever que:

Substituindo os valores calculados na equação (4), obtemos: ∆X = 45,640 * sen(89° 07' 34”) = 45,640 * 0,999884 = 45,635m

Az (M2 → 1) = 293° 53' 46” +( 155° 13' 48” ) = 89° 07' 34”

X Y (Norte)

1 Azimute

∆Y Dr

X Y (Norte)

Azimute da linha base (M2-M1).

) = X M2

- X M3

Y M2 - Y M3

7750,883 -7717,378

∆Y = 45,640 * cos(89° 07' 34”) = 45,640 * 0,015252 = 0,696m

Então as coordenadas do ponto A1 são: X1 = XM2 +∆X = 7750,883 + 45,635 = 7796,518m

Y1 = YM2 +∆Y = 4102,025 + 0,696 = 4102,721m Z1 = ZM2 +Dh = 911,260 +1,504 = 912,764m

Calcular as coordenadas (X,Y,Z) do ponto 2, obteremos:

(Parte 1 de 2)

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