Notas de Mat Básica

Notas de Mat Básica

(Parte 1 de 14)

UFF – GMA – Departamento de Matemática Aplicada Matemática Básica – 2008-2

Notas de aula – profa. Marlene Dieguez

•Noções de lógica e conjuntos

•Números reais: inteiros, racionais e irracionais (atualizado em 31/08/2008) Errata: páginas 38 e 39. Foi alterada a ordem das propriedades PO 8 a PO 1.

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•Funções: conceitos gerais

1 - Departamento de Matematica Aplicada (GMA)

MATEMATICA BASICA Notas de aula - 2008-2 Marlene Dieguez Fernandez

Observacoes gerais

• A disciplina Matematica Basica e oferecida no mesmo perıodo da disciplina Pre-Calculo. Os conteudos dessas duas disciplinas sao complementares e os topicos de Pre-Calculo serao bastante usados em Matematica Basica.

• As listas de exercıcios para os alunos praticarem o conteudo de cada topico serao distribuıdas separadamente.

UFF/GMA - Matematica Basica - Parte I - Logica e conjuntos Notas de aula - Marlene - 2008-2 2

Sumario

I Nocoes de logica e conjuntos 2

1.1 Conceito primitivo3
1.2 Formas de descrever conjuntos3
1.3 Atribuicao de letra ou de nome a conjunto4
1.4 A relacao entre elemento e conjunto: o sımbolo ′′ ∈ ′′4
1.5 Conjuntos especiais5
1.5.1 Conjuntos numericos5
1.5.2 Conjunto vazio5
1.5.3 Conjunto unitario5
1.5.4 Conjunto finito e conjunto infinito6
1.5.5 Conjunto universo6
1.6 Visualizacao: Diagrama de Venn6

1 Conjuntos 3

2.1 Afirmacao ou sentenca logica6
2.2 O operador logico ′′nao′′ e os conectivos logicos ′′e′′ ′′ou′′7
2.2.1 O operador ′′nao′′7
2.2.2 O conectivo ′′e′′7
2.2.3 O conectivo ′′ou′′8
2.2.4 Negacoes de ′′e′′ e de ′′ou′′: Leis de De Morgan8
2.3 Quantificadores9
2.3.1 O quantificador universal: ′′ ∀ ′′9
2.3.2 O quantificador existencial: ′′ ∃ ′′9
2.3.3 As negacoes de ′′∃′′ e de ′′∀′′10
2.4 Os conectivos logicos =⇒ e ⇐⇒10
2.4.1 O conectivo =⇒ (implicacao)10
2.4.2 Quando p =⇒ q e falso? ou seja, quando p 6=⇒ q e verdadeiro?12
2.4.3 O conectivo ⇐= (a recıproca de =⇒)12
2.4.4 O conectivo ⇐⇒ (equivalencia)13
2.5 Definicao: o que e?14
2.6 Exemplos e contra-exemplos: quando usar?15

2 Primeiras nocoes de logica 6

3.1 Igualdade, inclusao e subconjuntos16
3.1.1 Igualdade de conjuntos16
3.1.2 Inclusao e subconjunto17
3.1.3 A negacao de ′′ ⊂ ′′17
3.1.4 Propriedades da inclusao17
3.2 Operacoes com conjuntos18
3.2.1 Uniao e intersecao18
3.2.2 Conjuntos disjuntos20
3.2.3 Diferenca e complementar20
3.2.4 Propriedades das operacoes e do complementar20

3 Outros conceitos da linguagem dos conjuntos 16

definicao, propriedade, Teorema,21

4 Nocoes da estrutura de teorias matematicas: axioma, postulado, hipotese, tese,

5.1 Teste de todos casos admissıveis23
5.2 Metodo dedutivo23
5.3 Reducao ao absurdo e contradicao24

Parte I Nocoes de logica e conjuntos

Introducao

Porque estudar nocoes de logica?

Se um problema foi resolvido, e claro que a logica foi usada para resolve-lo, mas sem o conhecimento de varias informacoes sobre o problema, de nada adiantaria simplesmente usar a logica, nao poderıamos ter encontrado a solucao. Na verdade, a logica funciona fazendo a ligacao ou conexao entre varias informacoes para poder concluir novas informacoes.

O que pretendemos nesse inıcio de curso e formalizar alguns procedimentos logicos ou itens da logica, de forma que se criarmos o habito de aplicar esses procedimentos logicos, com certeza nao chegaremos a conclusoes erradas, tao comuns. Alem disso, tendo o claro conhecimento de quais sao esses procedimentos logicos, sempre poderemos recorrer a eles para encontrar a solucao ou as possıveis solucoes ou concluir que um problema nao tem solucao, bem como compreender ou demonstrar teoremas.

A logica e os conjuntos.

O uso dos procedimentos logicos podem ser exemplificados em qualquer area de conhecimento humano, mas, por simplicidade e facilidade, a maioria dos nossos exemplos serao com conjuntos. Para isso, primeiramente vamos rever conceitos da linguagem dos conjuntos. A seguir veremos as primeiras nocoes de logica. Aplicaremos essas nocoes de logica a novos conceitos de conjuntos, voltaremos com mais nocoes de logica que serao aplicados aos conjuntos. Isto e, formalizacoes conceituais de itens da logica e de conjuntos serao vistos paralelamente.

1 Conjuntos

1.1 Conceito primitivo Um conjunto e uma colecao de objetos ou de elementos.

Observe que nao precisamos especificar a natureza desses elementos, juntando alguns elementos, com similaridade ou nao entre eles, ja conseguimos formar um conjunto.

Exemplos

1. os tres elementos carbono, hidrogeneo e oxigeneo formam um conjunto 2. gato, cachorro, cavalo e boi formam um conjunto 3. uva, maca, gato e cachorro formam um conjunto 4. os animais mamıferos formam um conjunto 5. os numeros inteiros entre 4 e 400 formam um conjunto 6. os numeros inteiros entre 1 e 10 junto com as 10 primeiras letras do alfabeto formam um conjunto 7. os numeros inteiros maiores do que −4 formam um conjunto

1.2 Formas de descrever conjuntos Um conjunto pode ser descrito por:

• Listagem dos elementos entre chaves Exemplos

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Observacao sobre o sımbolo ′′ · ′′. Quando sao muitos os elementos a serem listados, podemos usar o sımbolo ′′ · ′′ no lugar de toda a listagem, desde que fique claro quais sao os elementos que foram substituıdos por

• Indicacao da propriedade de seus elementos.

E comum usar essa forma de descricao quando o conjunto tem muitos elementos. As propriedades podem estar ou nao entre chaves, isto e,

– podemos descrever em palavras: conjunto dos elementos que possuem a propriedade P – podemos descrever em sımbolos: {x ; x possui a propriedade P }

Atencao: em matematica ou em logica temos que ser bem claros ou precisos, nao pode haver duvida sobre a propriedade que descreve um conjunto.

Exemplo: conjunto de plantas bonitas nao faz sentido, beleza nao e propriedade porque e subjetiva.

1.3 Atribuicao de letra ou de nome a conjunto

Por simplicidade, quando dentro de uma ou mais frases, precisamos nos referir a um mesmo conjunto varias vezes, e aconselhavel atribuirmos uma letra a esse conjunto, o usual e letra maiuscula. Neste caso dizemos que a letra e igual ao conjunto com significado de nome ou letra representar o conjunto. Obs. pode ser uma palavra ou uma unica letra que representa o conjunto, o que acharmos conveniente.

1. A representa o conjunto dos ımpares entre -100 e 100

2. r e o conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos fixos A e B, todos no mesmo plano r = conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos fixos A e B, todos no mesmo plano

Aqui preferi usar a letra minuscula r, em geometria essa e a notacao usual para retas. Observe que o conjunto sao os pontos de uma reta.

1.4 A relacao entre elemento e conjunto: o sımbolo ′′ ∈ ′′ O sımbolo ′′ ∈ ′′ e usado para dizer que um elemento a pertence a um conjunto A, isto e, a ∈ A.

O sımbolo ′′ 6∈ ′′ e usado para dizer que um elemento a nao pertence a um conjunto A, isto e, a 6∈ A.

Exemplos

3. Seja B = conjunto dos valores de x que sao solucoes da equacao (x − 2)(x + 10) = 1.

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1.5 Conjuntos especiais 1.5.1 Conjuntos numericos

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