Convergência Pontual e Uniforme de Séries de Fourier: Teorema da Representabilidade, Notas de aula de Física

Baixe Convergência Pontual e Uniforme de Séries de Fourier: Teorema da Representabilidade e outras Notas de aula em PDF para Física, somente na Docsity! F́ısica Matemática I Jorge L. deLyra 18 de Abril de 2010 20: Questões de Representação e Convergência Como temos agora a série de Fourier definida, que é a versão cont́ınua, dentro de uma caixa finita, da expansão de Fourier, devemos nos perguntar se também neste caso as expansões podem ser usadas como representações fiéis das respectivas funções. Como os coeficientes de Fourier são definidos através de integrais, que são operações lineares sobre as funções, não é dif́ıcil ver que, assim como em redes finitas, também no limite do cont́ınuo as expansões de Fourier são representações fiéis das funções, pelo menos do ponto de vista aritmético. Por exemplo, é fácil verificar que a série de Fourier de uma soma de funções é a soma das séries de Fourier de cada uma das funções. Entretanto, como temos agora somas infinitas, na prática isto tem de ficar condicionado às propriedades de convergência destas séries. Em particular, uma vez que vamos utilizar as séries de Fourier, complexas ou reais, como uma representação das funções correspondentes no contexto da resolução de equações diferenciais, é importante discutir aqui a questão da possibilidade de se diferenciar e integrar estas séries termo-a-termo e ainda obter como resultado séries convergentes. A definição de convergência ponto-a-ponto da série de Fourier de uma função ϕ(x) é a seguinte: em um determinado ponto x do intervalo de periodicidade [0, L], dado um número positivo ǫ, que é uma representação do erro obtido ao se aproximar a função pela série, deve existir um número inteiro k(ǫ) tal que a soma parcial Sk da série até k(ǫ) está mais próxima do valor da função do que a distância ǫ, ou seja, k > k(ǫ) ⇒ |ϕ(x) − Sk| < ǫ. Isto deve ser verdadeiro para todo número positivo ǫ. Se dado um ǫ qualquer, sempre for posśıvel achar o inteiro k(ǫ) que satisfaz a esta condição, então dizemos que a série é convergente para a função naquele ponto. Equivalentemente, estamos garantindo desta forma que a sequência de somas parciais Sk da série tem como limite o valor da função no ponto x, quando k → ∞. Se este fato for verdadeiro para todos os pontos x do intervalo de periodicidade [0, L], então dizemos que a série é simplesmente convergente ou convergente ponto-a-ponto no seu domı́nio. Entretanto, esta é uma forma um tanto fraca de convergência, que não garante, por exemplo, que se possa diferenciar ou integrar a série e obter como resultado outra série que também seja convergente. Se não pudermos executar estas operações de diferenciação e integração sobre a série, para obter as séries associadas à derivada e à primitiva da função original, então é claro que a representabilidade da função pela série fica grandemente prejudicada, para os nossos fins na f́ısica. Como já vimos anteriormente, existe um outro critério de convergência, que é mais forte que o da convergência simples, que de forma geral pode ser usado para determinar a possibilidade ou não de se realizar estas operações, e que se denomina de convergência uniforme. 1 O critério de convergência uniforme é parecido com o de convergência simples, mas diz respeito a todos os pontos do intervalo, tratados simultaneamente. Ele reza que a série é uniformemente convergente se, dado um número real positivo ǫ, existe um inteiro k(ǫ) tal que a soma parcial da série até k(ǫ) está mais próxima do valor da função do que a distância ǫ em todos os pontos x do intervalo de periodicidade, considerados simultaneamente, para os mesmos valores de ǫ e k(ǫ), k > k(ǫ) ⇒ |ϕ(x) − Sk| < ǫ, ∀x ∈ [0, L]. A convergência uniforme é uma condição mais forte do que a simples convergência, pois é claro que a convergência uniforme implica na convergência simples, mas o caso contrário não é verdadeiro, ou seja, uma série pode ser convergente em todo o intervalo de periodicidade, sem entretanto ser uniformemente convergente. O exemplo paradigmático disto é a série da onda quadrada, que calcularemos mais adiante. No caso de séries de potências já mencionamos, quando estudamos funções anaĺıticas, que a condição necessária e suficiente para que se possa diferenciar e integral termo-a- termo é que as séries sejam uniformemente convergentes. Em nosso caso aqui trata-se de uma condição suficiente, mas não necessária, para que se possa integral a série termo-a- termo, e de uma condição necessária, mas não suficiente, para que se possa diferenciar a série termo-a-termo. Assim, é posśıvel que possamos, por exemplo, integrar uma série de Fourier que não seja uniformemente convergente, e ainda assim obter como resultado uma série convergente. Um exemplo no qual a condição não é suficiente para garantir a diferenciabilidade pode ser encontrado nos exerćıcios. Nas aplicações que vamos ver mais tarde as séries de Fourier com alguma frequência não serão uniformemente convergentes e, de fato, nem sempre é necessário ou posśıvel que elas sejam. Às vezes há singularidades nas soluções matemáticas das equações da f́ısica, mas estas singularidades podem sempre ser explicadas com base nos fatos da f́ısica envolvida. Em casos excepcionais até séries divergentes podem ser corretamente usadas e interpretadas, como veremos. Há duas formas de se tentar caracterizar a convergência de séries de Fourier. Na forma tradicional de se pensar no assunto, tenta-se relacionar a convergência da série com as caracteŕısticas anaĺıticas da função da qual a série é obtida, tais como a continuidade e a diferenciabilidade. A forma alternativa consiste de tentar relacionar a convergência da série apenas com as propriedades dos seus coeficientes. É claro que para que os critérios tradicionais sejam úteis, é preciso que se conheça a função, ou pelo menos algumas das duas propriedades. Entretanto, nas aplicações esta função é em geral a incógnita do problema, de forma que não a conhecemos de antemão. O que se obtém diretamente neste caso são os coeficientes da série, com os quais se espera construir a função. Os teoremas tradicionais sobre a convergência das séries de Fourier no cont́ınuo constituem um tópico complexo e avançado da análise. De fato, trata-se em última análise de um problema em aberto, pois não se conhece uma condição sobre a função ϕ(x) que seja necessária e suficiente para a convergência da sua série. O que se conhece são vários teoremas estabelecendo condições suficientes para garantir a convergência, alguns dos quais registramos a seguir. A idéia é resumir o que se conhece de mais básico a respeito. Nesta discussão aparece o conceito de uma função ser “de variação limitada”. O que queremos dizer com a função ser de variação limitada é que a sua derivada seja secci- onalmente cont́ınua e limitada. Isto quer dizer que, a menos de pontos isolados de não- diferenciabilidade, a derivada exista e seja limitada, ou seja, não seja divergente em nenhum ponto. É como se defińıssemos uma nova derivada, que é igual à derivada usual nos pontos onde esta existe, e que simplesmente não está definida nos demais pontos. Exige-se apenas 2 em função de k, no limite onde k → ∞. A soma será finita quando, para k acima de um certo km, tivermos que ak ≤ A k1+δ , onde A e δ são constantes reais positivas. Isto é verdade porque a soma dos termos entre k = 0 e k = km é finita, uma vez que consiste de um número finito de termos, e porque neste caso podemos majorar a soma restante por uma integral convergente, ∞∑ k=km+1 ak ≤ ∫ ∞ km dk A k1+δ = −A δ 1 kδ [∞ km = A δ 1 kδm . Deste que δ não seja nula, isto estabelece um limite superior para uma soma de quanti- dades positivas, que é portanto uma soma monotonicamente crescente. Segue que a soma necessariamente converge. Por outro lado se tivermos que, para k acima de um certo km, ak ≥ A k1−δ , com δ positivo ou nulo, então é posśıvel minorar a soma por uma integral que é divergente para o infinito, de forma semelhante ao que fizemos acima, e mostrar desta forma que a soma dos módulos dos coeficientes diverge para o infinito. Isto não quer dizer, entretanto, que a série original seja divergente, mas quer dizer apenas que não sabemos se ela é convergente ou divergente. Sabemos apenas que a série não pode ser absolutamente convergente. Vemos assim que a forma como ak vai a zero para k → ∞ determina se temos ou não convergência absoluta e portanto convergência uniforme. Um decaimento como 1/k é um valor limı́trofe para convergência absoluta, qualquer decaimento como este ou mais lento corresponde a uma convergência que não será uniforme, ou a uma divergência pura e simples. Em particular, vemos agora com clareza que, se ak não for a zero de todo para k → ∞, então a série não pode ser uniformemente convergente. De fato, é posśıvel verificar que na realidade ela não pode sequer ser simplesmente convergente em todo o intervalo de periodicidade, e que na maior parte dos pontos do intervalo ela oscila ou diverge para o infinito. Entretanto, os argumentos de convergência para os casos em que a série não é uniformemente convergente são muito mais complexos do que os que estamos desenvolvendo aqui, e serão abordados em palestras posteriores. Uma tarefa ainda mais complexa é a de estabelecer as relações entre o comportamento dos coeficientes de Fourier e as caracteŕısticas da função que dá origem à série de Fourier. É deste tipo de relação que tratam os teoremas que foram listados anteriormente. É cer- tamente importante termos alguma idéia que relacione as caracteŕısticas da função com o fato de sua série de Fourier ser ou não convergente. Entretanto, nas aplicações nós frequen- temente temos apenas a série, sem conhecer de forma independente a função para a qual ela possivelmente converge, de forma que é igualmente importante podermos determinar a convergência da série com base apenas no exame dos coeficientes. Passemos agora ao exame da questão da diferenciação e integração das séries. Se assu- mirmos que a série acima é convergente, então temos que |ϕ̃k| → 0 quando k → ∞, e se a diferenciarmos termo-a-termo em relação a x, obtemos dϕ(x) dx = ı 2π L ∞∑ k=−∞ eı 2πkx/Lkϕ̃k. 5 Esta é outra série de Fourier, cujos coeficientes são proporcionais a kϕ̃k. Segue que estes coeficientes vão a zero mais lentamente do que ϕ̃k, para valores crescentes de k, e possivel- mente não vão a zero de todo. Assim, é perfeitamente posśıvel que a derivação termo-a- termo produza uma série que não é convergente de todo. Por outro lado, se integrarmos a série termo-a-termo, tratando entretanto o termo k = 0 em separado, temos ϕ(x) − ϕ̃0 = ∞∑ k=−∞,k 6=0 eı 2πkx/Lϕ̃k ⇒ Ψ(x) − ϕ̃0x − C = −ı L 2π ∞∑ k=−∞,k 6=0 eı 2πkx/L 1 k ϕ̃k, onde Ψ(x) é uma primitiva de ϕ(x) e C é uma constante arbitrária. Vemos que do lado direito da equação temos agora uma série de Fourier cujos coeficientes são proporcionais a ϕ̃k/k, que vão a zero mais rápido do que ϕ̃k. Segue que, se a série original era convergente, então esta série da primitiva também será convergente. De fato, na realidade se a série original for convergente esta será uniformemente convergente, e é posśıvel que a série da primitiva seja convergente mesmo se a série original não for. Podemos agora mostrar que os coeficientes das novas séries produzidas acima são de fato, respectivamente, os coeficientes de Fourier da derivada e da primitiva de ϕ(x). Começando pelo caso da derivada, a série resultante da derivação termo-a-termo é ı 2π L ∞∑ k=−∞ eı 2πkx/Lkϕ̃k = ∞∑ k=−∞ eı 2πkx/Lϕ̃′k, que é uma série de Fourier, correspondente aos coeficientes de Fourier dados por ϕ̃′k = ı 2π L kϕ̃k = 1 L ∫ L 0 dx ı 2πk L e−ı 2πkx/Lϕ(x). Podemos integrar isto por partes, integrando a função da base de Fourier e diferenciando ϕ(x). Lembrando que temos condições de contorno periódicas no intervalo [0, L], conclúımos que o termo integrado sempre se anula, de forma que podemos escrever ϕ̃′k como ϕ̃′k = − 1 L ∫ L 0 dx ı 2πk L L −ı 2πk e−ı 2πkx/Lϕ′(x) = 1 L ∫ L 0 dx e−ı 2πkx/Lϕ′(x), ou seja, ϕ̃′k é de fato o coeficiente de Fourier da derivada ϕ ′(x). Assim, vemos que a derivada termo-a-termo da série de Fourier de ϕ(x) é de fato a série de Fourier da derivada ϕ′(x) da mesma função em relação a x. Se esta nova série converge ou não para ϕ′(x) depende das propriedades da função ϕ′(x), da mesma forma como é o caso para qualquer função real no intervalo de periodicidade. Entretanto, se a derivada da série converge, então ela representa de fato a derivada da função. Em outras palavras, a convergência da série resultante da diferenciação é a condição adicional que, junto com a condição de convergência uniforme da série original, garante que podemos diferenciar a série original termo-a-termo. Fazendo a mesma análise para o caso da primitiva, a série resultante da integração termo-a-termo, com a exclusão do termo k = 0, é neste caso −ı L 2π ∞∑ k=−∞,k 6=0 eı 2πkx/L 1 k ϕ̃k = ∞∑ k=−∞,k 6=0 eı 2πkx/LΨ̃k, 6 que é uma série de Fourier (sem o termo constante), correspondente aos coeficientes de Fourier dados por Ψ̃k = −ı L 2π 1 k ϕ̃k = 1 L ∫ L 0 dx −ı L 2πk e−ı 2πkx/Lϕ(x). Mais uma vez, podemos integrar isto por partes, mas desta vez integrando ϕ(x) e diferenci- ando a função da base de Fourier. Lembrando de novo que temos as condições de contorno periódicas, e que portanto o termo integrado se anula, podemos escrever Ψ̃k como Ψ̃k = − 1 L ∫ L 0 dx −ı L 2πk −ı 2πk L e−ı 2πkx/LΨ(x) = 1 L ∫ L 0 dx e−ı 2πkx/LΨ(x), ou seja, Ψ̃k é de fato o coeficiente de Fourier da primitiva Ψ(x) da função ϕ(x). Desta forma vemos que, a menos do termo constante k = 0, a integral termo-a-termo da série de Fourier de ϕ(x) é de fato a série de Fourier da primitiva Ψ(x) da mesma função em relação a x. Desde que a série original convirja, esta nova série sempre converge para Ψ(x). Vamos dar agora um resumo da situação em relação à convergência das séries e das suas derivadas e integrais termo-a-termo. Para começar, no que diz respeito à convergência das séries para as respectivas funções, se a série de Fourier de uma função converge de todo, então ela sempre converge para o valor médio dos limites laterais daquela função. A convergência pode ou não ser uniforme. Se a função for cont́ınua, incluindo de uma ponta do intervalo para a outra, então a série será uniformemente convergente. Por outro lado, se a função tiver uma ou mais descontinuidades, seja nas pontas, seja no interior do intervalo, então a série com certeza não será uniformemente convergente. No que diz respeito à integração termo-a-termo, as séries de Fourier são de fato extre- mamente robustas. Qualquer série convergente, mesmo aquelas que não são uniformemente convergentes, pode ser integrada termo-a-termo, gerando outra série de Fourier conver- gente, que é a série de Fourier da primitiva da função original, a menos do termo constante k = 0 da série original, que precisa ser tratado em separado. Se a série original for conver- gente, então a série integrada será uniformemente convergente. Em alguns casos até mesmo séries divergentes podem ser integradas termo-a-termo, gerando séries convergentes, como veremos nas aplicações. No que diz respeito à diferenciação termo-a-termo, as séries de Fourier são menos robus- tas, mas ainda chegam a surpreender. Para que se possa diferenciar uma série de Fourier termo-a-termo, é preciso que a série seja uniformemente convergente, o que implica que a função original seja cont́ınua em todo o intervalo de periodicidade. Se a derivada da série converge, então ela representa a derivada da função. Note-se entretanto que não é preciso que a função seja diferenciável em todos os pontos, basta que ela seja seccionalmente dife- renciável. Se a derivada termo-a-termo da série original for convergente em um determinado ponto, então ela é a série de Fourier da derivada da função original naquele ponto, conver- gindo para esta derivada no sentido da média dos limites laterais. Entretanto, esta série pode muito facilmente não ser uniformemente convergente, de forma que a possibilidade de se tomar a segunda derivada não está garantida, a menos que a primeira derivada também seja cont́ınua. Se temos uma série de Fourier sem conhecer a função que a originou, ainda podemos dizer alguma coisa sobre esta função, com base na convergência da série. Isto tem uma certa importância, pois muitas vezes nos encontramos nesta situação nas aplicações deste 7