Telecurso 2000. Física Completo. - 04fis

Telecurso 2000. Física Completo. - 04fis

(Parte 1 de 2)

4 AULA

Acelera Brasil! 4

Suponhamos que tenha sido realizado um estudo que avalia dois novos veículos do mercado: o Copa e o Duna.

As pesquisas levantaram os seguintes dados:

Levando em conta apenas essas informaçıes, vocŒ seria capaz de responder:

qual Ø o melhorqual Ø o melhorqual Ø o melhorqual Ø o melhorqual Ø o melhor? Para poder responder, Ø preciso analisar as informaçıes fornecidas.

lQuanto à velocidade mÆxima atingidavelocidade mÆxima atingidavelocidade mÆxima atingidavelocidade mÆxima atingidavelocidade mÆxima atingida os dois podem andar no mÆximo a 180 km/h: houve empate e nªo podemos responder à pergunta.

lQuanto à velocidade do veículo após 10 segundos velocidade do veículo após 10 segundos velocidade do veículo após 10 segundos velocidade do veículo após 10 segundos velocidade do veículo após 10 segundos sªo diferentes nos dois casos, mas para afirmar qual Ø o melhor precisamos saber o que indica essa medida, isto Ø, entender o seu significadosignificadosignificadosignificadosignificado.

Entendendo mais sobre a pesquisa

Veja como ela foi realizada: inicialmente os veículos estavam parados; portanto suas velocidades eram nulas (zero). Num dado momento, o juiz deu a largada e os dois partiram numa pista retapista retapista retapista retapista reta.

O primeiro fato importante que vocŒ deve observar Ø que a velocidade deixa de ser nula após a largada. Isso quer dizer que houve variaçªo da velocidadevariaçªo da velocidadevariaçªo da velocidadevariaçªo da velocidadevariaçªo da velocidade.

O segundo fato importante Ø que no mesmo tempomesmo tempomesmo tempomesmo tempomesmo tempo (10 segundos) o Copa atinge 30 m/s e o Duna apenas 20 m/s.

A segunda medida relaciona duas grandezas: a variaçªo da velocidade a variaçªo da velocidade a variaçªo da velocidade a variaçªo da velocidade a variaçªo da velocidade e o o o o o tempo gasto para ocorrer essa variaçªotempo gasto para ocorrer essa variaçªotempo gasto para ocorrer essa variaçªotempo gasto para ocorrer essa variaçªotempo gasto para ocorrer essa variaçªo. Observe a Tabela 2.

TABELA 1 COPA

50 m/s (180 km/h)

30 m/s (108 km/h)

VEÍCULO Velocidade máxima

Velocidade após 10 segundos

DUNA 50 m/s (180 km/h)

20 m/s (72 km/h)

VEÍCULO TABELA 2

Velocidade inicial Velocidade final Variação da velocidade Intervalo de tempo

0 30 m/s 30 m/s 10 s

AULAVeja que a velocidade do Copavariou de 0 a 30 m/s 0 a 30 m/s 0 a 30 m/s 0 a 30 m/s 0 a 30 m/s e a velocidade do Duna

4 variou de 0 a 20 m/s nos mesmos 10 segundos!0 a 20 m/s nos mesmos 10 segundos!0 a 20 m/s nos mesmos 10 segundos!0 a 20 m/s nos mesmos 10 segundos!0 a 20 m/s nos mesmos 10 segundos!

VocŒ jÆ sabe qual Ø a velocidade de cada veículo após 10 segundos, mas...

O que ocorre com a velocidade a cada instante?

A Tabela 3 indica, para alguns ins- tantes, o valor da velocidadevelocidadevelocidadevelocidadevelocidade marcada pelo velocímetro. Observe que, à medida que o tempo passa, a velocidade varia para ambos os veículos.

Observe que num mesmo instante, a velocidade do Copa Ø maiormaiormaiormaiormaior do que a do Duna. Pode-se dizer que o Copa Ø melhor, porque “arranca” mais rÆpido.

Uma nova grandeza física

Quando falamos em “arranque”, na verdade estamos nos referindo à relaçªo entre duas grandezas: variaçªo da velocidade variaçªo da velocidade variaçªo da velocidade variaçªo da velocidade variaçªo da velocidade e tempo tempo tempo tempo tempo. Essa nova grandeza, que nos ajudou a decidir qual dos dois Ø o melhor Ø uma grandeza física e recebe o nome de aceleraçªoaceleraçªoaceleraçªoaceleraçªoaceleraçªo .

Aceleraçªo Ø uma medida da variaçªo da velocidadeAceleraçªo Ø uma medida da variaçªo da velocidadeAceleraçªo Ø uma medida da variaçªo da velocidadeAceleraçªo Ø uma medida da variaçªo da velocidadeAceleraçªo Ø uma medida da variaçªo da velocidade de um corpo num certo intervalo de tempo.de um corpo num certo intervalo de tempo.de um corpo num certo intervalo de tempo.de um corpo num certo intervalo de tempo.de um corpo num certo intervalo de tempo.

Esse Ø o conceito de aceleraçªoconceito de aceleraçªoconceito de aceleraçªoconceito de aceleraçªoconceito de aceleraçªo. Pode-se tambØm definir aceleraçªo com a ajuda da MatemÆtica. Como calcular a aceleraçªo?

Pegue, na Tabela 3, o valor da velocidade em dois instantes quaisquer e calcule inicialmente a variaçªo da velocidade (∆v), isto Ø, a diferença entre as duas e o intervalo de tempo correspondente (∆t). Por exemplo, para o Copa:

t1 = 2se v1 = 6 m/s∆v=v2-v1= 24 - 6= 18
t2 = 8se v2 = 24 m/s∆t=t2-t1= 8 - 2= 6

Para calcular a aceleraçªo, basta dividir essa variaçªo pelo intervalo de tempo necessÆrio para que ela ocorra. Definimos:

Aceleraçªoa =

Assim teremos:

Qual a unidade usada para a grandeza aceleraçªoaceleraçªoaceleraçªoaceleraçªoaceleraçªo?

DUNA TABELA 3

AULAUma unidade para a aceleraçªo

Veja que a grandeza aceleraçªo vem da combinaçªo de duas outras grandezas: velocidadevelocidadevelocidadevelocidadevelocidade e tempo tempo tempo tempo tempo, portanto a sua unidade Ø obtida a partir das unidades dessas duas grandezas. Observe que a velocidade do Duna varia “dois metros por segundo” a cada “segundo”, assim teremos “metro por segundo por segundo”, abreviando m/s · s ou m/s2.

Portanto, a aceleraçªo do CopaØ 3 m/s2. Lembre-seLembre-seLembre-seLembre-seLembre-se: uma grandeza física

De forma geral, a unidade da aceleraçªo Ø dada por uma unidade de comprimento dividida por uma unidade de tempo ao quadrado. deve sempre vir acompanhada de sua unidade (Aula 2).

quaisquerquaisquerquaisquerquaisquerquaisquer irÆ obter sempre o mesmo valorsempre o mesmo valorsempre o mesmo valorsempre o mesmo valorsempre o mesmo valorIsso quer dizer que a aceleraçªo nªo a aceleraçªo nªo a aceleraçªo nªo a aceleraçªo nªo a aceleraçªo nªo

Nesse caso, se vocŒ calcular a aceleraçªo para dois instantes de tempo variavariavariavariavaria. Podemos concluir que:

Nesse movimento a aceleraçªo Ø constante.Nesse movimento a aceleraçªo Ø constante.Nesse movimento a aceleraçªo Ø constante.Nesse movimento a aceleraçªo Ø constante.Nesse movimento a aceleraçªo Ø constante.

Verifique essa afirmaçªo calculando a aceleraçªo para quatro intervalos de tempo diferentes para o Copa e quatro para o Duna.

Outra maneira de representar um conjunto de dados

Os dados da Tabela 3 podem ser representados por um grÆfico, basta

VocŒ viu como calcular a aceleraçªo a partir dos dados da Tabela 3. Viu que, com esses mesmos dados, foi construído o grÆfico da Figura 1. Portanto o grÆfico e a tabela represen-represen-represen-represen-representam o mesmo conjunto de da-tam o mesmo conjunto de da-tam o mesmo conjunto de da-tam o mesmo conjunto de da-tam o mesmo conjunto de dadosdosdosdosdos. Logo, deve ser possível obter o valor da aceleraçªo a partir do grÆfico. Agora, observe o grÆfico da Figura 2, que mostra a velocidade do Duna em funçªo do tempo.

Figura 1. Gráficos v X t para o Copa (à esquerda) e para o Duna (à direita).

v (m/s)

Duna

av8v4v
tt8t4

t (s) Figura 2. Gráfico v X t para o Duna.

4 AULA

v (m/s) Copa

Duna

Gr‡fico de v x t t (s)

Tome dois pontos, por exemplo os pontos (v4 e t4) e (v8 e t8). Pela definiçªo, a aceleraçªo Ø obtida dividindo-se a variaçªo da velocidade

(representada pela linha pontilhada vertical) pelo intervalo de tempo (representado pela linha pontilhada horizontal). Assim teremos:

Observe o grÆfico da Figura 3; nele estªo representadas as retas que descrevem as velocidades do Copa e do Duna em funçªo do tempo.

Observe que a reta que representa o movimento do Copa Ø mais inclinada, e lembre-se de que ele tem maior aceleraçªo. Portanto, pode-se afirmar que:

Num grÆfico de velocidade em funçªo do tempo v X tNum grÆfico de velocidade em funçªo do tempo v X tNum grÆfico de velocidade em funçªo do tempo v X tNum grÆfico de velocidade em funçªo do tempo v X tNum grÆfico de velocidade em funçªo do tempo v X t (que se lŒ "v versus t"), quanto maior for a aceleraçªo(que se lŒ "v versus t"), quanto maior for a aceleraçªo(que se lŒ "v versus t"), quanto maior for a aceleraçªo(que se lŒ "v versus t"), quanto maior for a aceleraçªo(que se lŒ "v versus t"), quanto maior for a aceleraçªo mais inclinada serÆ a reta que representa o movimento.mais inclinada serÆ a reta que representa o movimento.mais inclinada serÆ a reta que representa o movimento.mais inclinada serÆ a reta que representa o movimento.mais inclinada serÆ a reta que representa o movimento.

Prevendo resultados

SerÆ possível conhecer a velocidade dos veículos em outros instantes, por exemplo, quando t = 9 segundos?

momento, o co-piloto do Copadecidiu anotar os

A resposta Ø sim! Mas como? Veja: num certo valores da velocidade, porØm, o veículo jÆ estava emjÆ estava emjÆ estava emjÆ estava emjÆ estava em movimento naquele instantemovimento naquele instantemovimento naquele instantemovimento naquele instantemovimento naquele instante. Observe na Tabela 4 os dados que ele anotou.

VocŒ jÆ conhece duas maneiras de representar um conjunto de dados: atravØs de tabelas e de grÆficos; mas existe outra!

Vamos calcular outra vez a aceleraçªo do Copa, agora escolhendo o par (v4, t4) da tabela 4 e um par (v,t) qualquer:

t4 = 4sev4 = 15 m/s te v

Figura 3. Gráfico de v X t do Copa e do Duna.

TABELA 4 v (m/s) t (s)

AULASabemos que a aceleraçªo do Copa Ø 3 m/s2, assim:

ou seja,v - 15 = 3 (t - 4)
v - 15 = 3 · t - 12
entªo:v = 3 + 3 · t

Essa funçªo matemÆtica fornece o valor da velocidade em funçªo do tempo. Ela Ø chamada de funçªo horÆria da velocidade funçªo horÆria da velocidade funçªo horÆria da velocidade funçªo horÆria da velocidade funçªo horÆria da velocidade que descreve o movimento do copa, que recebe o nome de Movimento Retílineo Uniformemente Variado (MRUV). Retilíneo, pois o veículo anda em linha reta; variado, pois sua velocidade varia; e uniformemente vem do fato de a aceleraçªo ter sempre o mesmo valor e, portanto, a velocidade varia sempre da mesma forma(uniforme).

Note que, para o instante t = 0s, obtØm-se v0 = 3 m/s; e, se vocŒ observar a Tabela 4, verÆ que essa Ø a velocidade inicial, isto Ø, no instante em que o co-piloto iniciou as anotaçıes!

De uma maneira geral, podemos escrever para a velocidade v v v v v num instante t qualquer:

v = v = v = v = v = v00000 + a · t + a · t + a · t + a · t + a · t onde v0 Ø a velocidade inicial (em t=0) e a Ø a aceleraçªo, que Ø constante. Agora Ø possível responder qual o valor da velocidade quando t = 9 s! É só substituir o tempo na funçªo horÆria da velocidade:

Como saber onde o veículo estarÆ num certo instante?

Na aula passada, vocŒ estudou o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), caso em que a velocidade nªo varia, ela Ø constante. Para descrever o MRU vocŒ estudou apenas como varia a posiçªoposiçªoposiçªoposiçªoposiçªo em funçªo do tempo.

Nesta aula vocŒ estÆ estudando um movimento em que, alØm de a posiçªo variar, varia tambØm a velocidade.

Mas como varia a posiçªo no MRUVposiçªo no MRUVposiçªo no MRUVposiçªo no MRUVposiçªo no MRUV? É claro que ela varia, pois esse fato caracteriza um estado de movimento!

VocŒ Ø capaz de se lembrar como foi calculado o deslocamento do carro no MRU?

Foi pelo grÆfico da velocidade em funçªo do tempo (v X t): a Ærea da figura formada pelo grÆfico fornece o deslocamento.

Pode-se fazer de forma semelhante para o caso do MRUV. O quadro, no final da aula, indica, passo a passo, como obter a funçªo horÆria da posiçªo do MRUV:

x = x = x = x = x = x00000 + v + v + v + v + v00000 · t + · t + · t + · t + · t + 12 a · ta · ta · ta · ta · t22222

Nesse caso, como serÆ o grÆfico da posiçªo em funçªo do tempo? VocŒ espera que seja uma reta como no MRU?

AULANote que essa funçªo Ø diferente daquela obtida para a velocidade: ela contØm uma terceira parcela proporcional ao quadrado do tempo (t2). Isso faz com que o grÆfico nªo seja mais uma reta, mas uma curva.

inicialmente, fazer uma tabela que indique os valores de x e tPara encontrar as

Para construir o grÆfico de posiçªo (x) por tempo (t) a partir da funçªo Ø œtil, posiçıes, basta substituir o tempo na funçªo e calcular o valor de x!

Mas Ø preciso tambØm conhecer o valor de x0 e v0. Tome, por exemplo, a Tabela 4. No instante inicial, isto Ø, quando começam a

anotar os valores de v, a velocidade era 3 m/s; portanto, v0 = 3 m/sSuponha que

Substituindo esses valores na funçªo horÆria da posiçªo temos:

x = 100 + 3 · t + 1,5 · t2

Essa funçªo descreve o movimento do Copamovimento do Copamovimento do Copamovimento do Copamovimento do Copa e fornece sua posiçªo x em qualquer instante de tempo t. Como exemplo, vamos calcular a posiçªo no instante t = 2 s.

x = 100 + 3 · 2 + 1,5· 2 x = 100 + 6 + 6 = 112 m

Prosseguindo dessa maneira, Ø possível obter os outros valores e montar a Tabela 6:

Agora Ø possível construir o grÆfico da posiçªo em funçªo do tempo:

Observe que nªo se obtØm mais uma reta: o grÆfico Ø uma curva, que tem o nome de parÆbola.parÆbola.parÆbola.parÆbola.parÆbola.

É possível tambØm representar as posiçıes do veículo por intermØdio de um eixo orientado, (lembre-se da Aula 3).

v (m/s)t (s)

TABELA 6 t (s) Figura 4

Sentido x0 = 100 m t0 = 0 s x1 = 104,5 m t1 = 1 s x3 = 122,5 m t3 = 3 s x5 = 162,5 m t5 = 5 s x2 = 112 m t2 = 2 s x4 = 136 m t4 = 4 s

Figura 5

152,5 m

4 AULA

v (m/s)t (s)

TABELA 5

Observe na Figura 5 que, nesse caso, os deslocamentos aumentam com o tempo: a cada segundo o deslocamento Ø maior do que no instante anterior. Isso indica que a velocidade estÆ aumentando: o movimento Ø variado, nesse caso dizemos que ele Ø aceleradoaceleradoaceleradoaceleradoacelerado.

Breeeeeca!

No meio da pista havia um cachorro, havia um cachorro no meio do pista! De repente o piloto do Copa avistou o animal e rapidamente acionou os freios. Sem perder tempo, o seu co-piloto anotou os valores da velocidade:

Note que a velocidade agora estÆ dimi-dimi-dimi-dimi-diminuindonuindonuindonuindonuindo: o veículo estÆ freando!

Qual serÆ agora o valor da aceleraçªo nesse caso? Pegue, por exemplo:

Calculando a aceleraçªo:

Observe que o valor da aceleraçªo Ø negativo! O sinal da aceleraçªo Ø oposto ao da velocidade (que Ø positiva). Isso indica que o movimento Ø desaceleradodesaceleradodesaceleradodesaceleradodesacelerado, isto Ø, o carro estÆ freando.Observe o grÆfico v X t nesse caso:

Veja que a reta tem uma inclinaçªo diferente do caso em que o movimento Ø acelerado quando a velocidade cresce.

Abaixo estªo representados os grÆficos v X t para os trŒs casos; quando o movimento Ø aceleradoaceleradoaceleradoaceleradoacelerado (a > 0); quando Ø desaceleradodesaceleradodesaceleradodesaceleradodesacelerado (a < 0), ambos exemplos de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado e; no caso especial, quando a aceleraçªo Ø nula (a = 0): nesse caso, a velocidade nªo varia e temos um exemplo de Movimento Retilíneo Uniforme - MRU (Aula 3).

123456v (m/s) t (s)

Figura 6

4 AULA

DEDUODEDUODEDUODEDUODEDUODADADADADA FUNOFUNOFUNOFUNOFUNO HORRIAHORRIAHORRIAHORRIAHORRIA DADADADADA POSIOPOSIOPOSIOPOSIOPOSIO DODODODODO MRUV MRUV MRUV MRUV MRUV

Imagine que num certo instante, após a largada, o co-piloto do Copa decide anotar alguns valores da velocidade. Olha para o velocímetro e verifica que naquele instante a velocidade do veículo Ø 6 m/s; assim, essa Ø a sua “velocidade inicial”. Anota os dados:

ObservObservObservObservObserve quee quee quee quee que Quando começou a anotar os valores de v o carro jÆ estava em movimento, portanto, v0 nªo Ø zero! Com esses dados constrói-se o grÆfico (Figura 8):

Para se calcular a distância percorrida pelo carro, basta calcular a Ærea da figura, que Ø um trapØzio! Ela pode ser pensada como “um triângulo e um retângulo”! Assim fica fÆcil calcular a Ærea!

A base do retângulo corresponde ao intervalo de tempo ∆t e a altura corresponde a

ÆreaR = base · altura = ∆t · v0

ÆreaR = v0 · t pois foi escolhido t0 = 0s.

MRUV acelerado a > 0t

MRUV desacelerado a < 0t

MRU desacelerado a = 0

(a) MRUV acelerado;(b) MRUV desacelerado;(c) MRU. Figura 7 t (s) v (m/s)

Figura 8

2 Figura 9 v é constante

0v (m/s) t (s)t

‡rea T base x altura

‡rea Rbase x altura

AULAO triângulo tem base ∆t e altura ∆v, que Ø a velocidade final menos a velocidade inicial naquele trecho. Portanto, a Ærea do triângulo serÆ:

ÆreaT = base×altura2

= Dv×Dt usando a definiçªo de aceleraçªo a = Dv

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