queda livre, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

Baixe queda livre e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! 5 A U L A Tudo que sobe, desce Rio de Janeiro, temperatura altíssima, tumul- to na praia, começa o corre-corre! Dizem que é um arrastão! A polícia chega e a correria se torna desordenada, quando alguém dá um tiro para cima... Essa é uma cena que, infelizmente, temos visto ocorrer diversas vezes, não só no Rio de Janeiro como em várias metrópoles do mundo. Algumas vezes alguém sai ferido com uma bala perdida, que, normalmente, ninguém sabe de onde veio, nem se foi intencional. Uma das causas mais conhecidas dessas “balas perdidas” são os tais “tiros pra cima”, quando alguém pega seu revólver, aponta para cima e dá um tiro. Mas, como diz o ditado: Tudo que sobe, desce! Não podemos saber a origem de todas as balas perdidas, mas podemos nos perguntar, em alguns casos especiais, qual pode ter sido sua origem. Podemos nos perguntar como os objetos jogados para cima, perto da superfície da Terra, retornam ao solo. Essa pergunta vem sendo feita há muito tempo, desde a Grécia antiga até os dias de hoje! Uma resposta satisfatória começou a ser dada por um físico chamado Galileu Galilei. Como vimos, na Aula 1, Galileu criou condições, ou seja, criou uma experiência em que se pudesse verificar se um corpo mais “pesado” caía mais rápido do que um mais “leve”. Galileu chegou à conclusão de que, quando a resistência do ar influi pouco: Corpos diferentes soltos da mesma altura caem juntos e atingem o chão ao mesmo tempo. Isso a princípio, pode parecer um absurdo, pois como se diz por aí “os corpos mais pesados caem mais rápido do que os mais leves”. E mais ainda: na nossa experiência diária não vemos essa afirmativa de Galileu acontecer. Aqui está um dos triunfos do método experimental! Nem sempre podemos ver certos fenômenos em nossa experiência diária, pois eles só ocorrem em situações muito especiais. Criar uma experiência é na verdade criar condições para que um fenômeno ocorra! Fenômeno esse que nem sempre é fácil de observar. Lembre-se do Passo-a-passo da Aula 1. 5 A U L A 5 A U L ACaindo! - A queda livre Vamos começar a estudar de modo mais sistemático o movimento de queda de corpos perto da superfície da Terra. Um dos problemas encontrados ao se fazer esse tipo de estudo é a atmosfera. Como vimos em nossas experiências na seção com a mão na massa (Aula 1), a atmosfera influencia o movimento dos corpos em queda, alterando seu movi- mento. Para controlar esse problema com mais eficiência, elimina-se a atmosfera, ou pelo menos torna-se desprezível seu efeito sobre o movimento dos corpos. Para isso,usa-se uma bomba de sucção, que retira quase todos os gases presentes num recipiente, che- gando, então, ao que chamamos de vácuo. Ao compararmos a queda de dois corpos, de massas diferentes, gostaríamos de fazer algumas me- didas, como, por exemplo, as dis- tâncias percorridas em cada inter- valo de tempo. Para isso, fotografa- mos a queda de dois corpos com uma lâmpada especial, chamada estroboscópica, que “pisca” em in- tervalos de tempo bem definidos (1/30 s), permitindo obter seqüênci- as de fotos como as da Figura 2. Podemos ver nas fotos que as duas bolas caem simultaneamente, tal como afirmou Galileu. E, uma vez que caem juntas, podemos me- dir a distância por elas percorrida em cada intervalo de tempo, e veri- ficamos que essa distância é a mes- ma. Mas é preciso notar que a dis- tância entre duas posições sucessi- vas vai aumentando. E, se elas per- correm, a cada intervalo de tempo, distâncias cada vez maiores, signi- fica que a velocidade está aumen- tando! Mas sabemos que, se a veloci- dade varia no tempo significa que existe uma aceleração. Uma forma de se medir a acele- ração desses corpos é pela veloci- dade média em cada intervalo de tempo. Com uma régua, medimos a distância entre duas posições con- secutivas de uma das bolas. Figura 2 5 A U L A Como vimos, nos movimentos retilíneos, o sinal da velocidade pode ser positivo ou negativo; isso significa que o corpo está se movimentando para um lado ou para o outro em relação à origem do sistema de coordenadas. Com esses dados, podemos montar a função horária da posição do tijolo que caiu: y = y0 + v0t2 + 1 2 gt = 0 + 0t + 1 2 10t2 y = 5t2 Essa função relaciona a altura do tijolo em cada instante de tempo. Com as informações que temos, podemos saber quanto tempo demora para que o tijolo chegue ao chão. Usando a função horária da posição e substituindo y por 5, temos: 5 = 5t2 t2 = 1 t = 1 s O tijolo demora 1 segundo para atingir o solo. Esse tempo é, aproximada- mente, o mesmo de reação de uma pessoa; ou seja, não daria tempo de avisar ninguém que estivesse embaixo! Qual será a velocidade do tijolo ao chegar ao solo? Podemos usar a sua função horária da velocidade. Sabemos qual é sua velocidade inicial e sua aceleração, portanto, podemos escrever: v = v0 + gt = 0 + 10t v = 10t Sabemos também que o tijolo demorou 1 segundo para chegar ao solo, dessa forma, a velocidade no instante em que chega ao solo será v = 10 · 1 = 10 m/s Tudo que sobe, desce - O tiro para cima Com a experiência adquirida no Passo-a-passo da página anterior, vamos tentar resolver o problema do “tiro para cima”. Vamos prever qual será o movimento da bala, sua posição e sua velocidade a cada instante. Temos de lembrar que estamos fazendo um modelo, e que, estamos desprezando a interferência da atmosfera sobre o movimento. O que encontramos de diferente nesse caso é o fato de o objeto não estar sendo largado de uma certa altura; ao contrá- rio, está sendo lançado para cima com uma velocidade inicial diferente de zero! Esse movimento é um MRUV, pois a aceleração, indepen- dentemente de o objeto estar subindo ou descendo, é cons- tante e igual a g. g = Ð10m/s2 v0 = 200m/s h0 = 00 y m‡x? y v = 0 Figura 4 v = 0 5 A U L AVamos primeiro fazer um esboço da situação, e definir o referencial e o sistema de coordenadas. Neste caso fica mais fácil adotar como positivo o sentido que vai de baixo para cima. Ao ser lançada, uma bala de revólver tem velocidade inicial de aproxima- damente 200 m/s. Podemos definir que a posição inicial da bala é y0 = 0, exatamente na boca do cano do revólver. Assim, a função horária da posição é: y = y0 + v0 t + 1 2 gt2 = 0 + 200 t + 1 2 (-10) t2 y = 200 t - 5 t2 O que significa o sinal negativo da aceleração g = - 10 m/s2? Lembre-se de que, o eixo de coordenadas foi orientado positivamente para cima e a aceleração da gravidade sempre está dirigida para baixo independente da escolha do referencial. E o mais fundamental é saber que, tendo a velocidade e a aceleração sinais contrários, a velocidade da bala diminui. Nesse caso a velocidade diminui de 10 m/s a cada segundo, enquanto está subindo. A atração gravitacional age nos corpos sempre de cima para baixo, não importando o sentido escolhido para os eixos de coordenadas! Podemos saber quanto tempo demora para que a bala desça novamente até sua posição inicial. Sabemos que a posição da bala, quando volta, é igual à posição inicial, ou seja: yinicial = yfinal = 0 Assim, substituindo este valor na função horária da posição, obtemos: 0 = 200 t - 5t2 5t2 - 200 t = 0 t = 40 s que é o tempo que a bala leva para subir e descer. Podemos saber, também, qual é a velocidade com que a bala volta ao solo, usando a função horária da velocidade: v = v0 + gt v = 200 - 10 t Já sabemos que a bala volta ao solo após 40 segundos. A velocidade com que a bala chega ao solo calculada nesse instante será: v = 200 - 10 · 40 = 200 - 400 v = - 200 m/s Isso significa que a bala volta com a mesma velocidade com que partiu, mas no sentido contrário, ou seja, para baixo. Esse é o significado do sinal negativo da velocidade. Podemos, ainda, saber qual é a altura máxima que a bala atinge. Sabemos que, antes que a bala volte, ela atinge uma altura máxima e, nesse instante, ela pára de subir e começa a descer. Isso significa que a velocidade muda de sinal, de positivo para negativo e, necessariamente, ela passa pelo valor zero. 5 A U L A Mas isso é óbvio. Todo corpo que jogamos para cima, sobe, pára no ponto mais alto, e desce. Sabendo disso, voltamos à função horária da velocidade e descobrimos quanto tempo demora para que a bala chegue no ponto mais alto, pois sabemos que a velocidade da bala naquele momento é zero. v = 0 Þ 0 =200 - 10 tymax tymax = 20 s Verificamos que a bala leva exatamente a metade do tempo total para subir (20 s) e a outra metade para descer (20 s) totalizando os 40 s de subida e descida, calculado no início do problema. Tendo o instante em que a bala chega no ponto mais alto, podemos, com a função horária da posição, saber quanto vale essa altura máxima y = 200 t - 5 t2 ymax = 200 · 20 - 5(20) 2 ymax = 2000 m Isto significa que a bala sobe 2 quilômetros antes de começar a cair. Com os cálculos feitos, podemos construir os gráficos da posição X tempo, velocidade X tempo e aceleração X tempo para compreender melhor a situação: l Tudo o que sobe, desce, e do jeito que subiu! Portanto, muito cuidado, pode ser sobre a sua cabeça! É preciso se lembrar de que existe atmosfera e ela “amortece” o movimento da bala, diminuindo sua velocidade, mas ainda assim pode ferir; l os corpos na superfície da Terra caem com aceleração constante de valor g = 10 m/s2, independente de sua massa e considerando desprezível a resistência da atmosfera; l esse movimento é chamado de queda livre; l é necessário fazer inicialmente um esboço dos problemas, definindo o seu referencial e a posição do sistema de coordenadas; l é necessário deixar bastante claro qual é o sentido “positivo” e o sentido “negativo” do movimento, para não se “atrapalhar” com os sinais da velocidade e da aceleração; l é preciso construir as equações horárias da posição e velocidade do movi- mento de queda livre; l é possível calcular tempo de subida e descida de um projétil e sua velocidade de retorno; l é possível calcular a altura máxima alcançada por um projétil, sabendo que sua velocidade nesse ponto é zero. 0 2400 2000 1600 1200 800 400 5 10 15 20 25 30 35 40 y (m) t (s) 0 200 100 Ð100 Ð200 5 10 15 20 25 30 35 40 v (m/s) t (s) 0 10 Ð10 5 10 15 20 25 30 35 40 v (m/s2) t (s) (a) Posição X tempo (b) velocidade X tempo (c) aceleração X tempo Figura 5