Telecurso 2000. Física Completo. - 07fis

Telecurso 2000. Física Completo. - 07fis

7 AULA

Um momento, por favor

Outro domingo! Novo passeio de carro. Dessa vez foi o pneu que furou. O pai se esforça, tentando, sem sucesso, girar o parafuso da roda. Um dos filhos entªo diz: “Um momento, por favor!” Vai atØ o porta-malas, pega um cano longo, coloca-o na extremidade da chave, e fala para o pai: “Tente agora!” E o pai, surpreso, consegue retirar os parafusos, fazendo atØ menos esforço do que anteriormente.

Como pode ter acontecido isso? Bem, em Física, existe uma grandeza que estÆ associada à capacidade de uma força girar um objeto. Essa grandeza Ø chamada de momento da forçamomento da forçamomento da forçamomento da forçamomento da força ou, ainda, torquetorquetorquetorquetorque.

Mas, o que vem a ser momento (ou torque) de uma força? De que grandezas ele depende? No dia-a-dia, temos inœmeros exemplos nos quais essa noçªo estÆ envolvida: alavancas, ferramentas, mÆquinas, automóveis. Veja a Figura 3. Quando tentamos girar a porca com uma chave, utilizando uma força de mesmo valor, serÆ mais fÆcil conseguirmos se a força estiver aplicada no ponto A do que se estiver aplicada no ponto B. A porca vai girar em torno de seu centro. Quanto maior for a distânciadistânciadistânciadistânciadistância desse ponto ao ponto onde a força Ø aplicada, maior vai ser a facilidade de girarmos a porca com a chave.

7 A U L A

Figura 2Figura 1 Figura 3Figura 4

AULAAnalise bem a Figura 4. Ela representa uma porta vista de cima. Duas pessoas empurram a porta, uma tentando fechÆ-la e a outra tentando abri-la. A pessoa B

tenta fazer com que a porta gire, em torno da dobradiça, da mesma maneira como fazem os ponteiros de um relógio (sentido horÆrio), enquanto que a pessoa A procura fazer com que a porta gire no sentido contrÆrio ao que fazem os ponteiros de um relógio (sentido anti-horÆrio). Nªo vai ser, necessariamente, a pessoa que faz mais força que vai vencer a parada. As distânciasdistânciasdistânciasdistânciasdistâncias entre os pontos onde sªo aplicadas as forças e a dobradiça da porta tambØm entram no jogo.

Entªo, quando quisermos analisar a capacidade de uma força girar um corpo, devemos considerar, ao mesmo tempo, duas grandezas: o valor da força e a distância entre a força e o ponto em torno do qual o corpo gira. A grandeza que representa essa capacidade de uma força girar um corpo como jÆ dissemos,

Ø o momento da força ou torque. Se chamarmos de M o momento, podemos definir, inicialmente, o valor dessa grandeza como:

M = F · d onde M representa o valor do momento da força, F representa o valor da força e d representa o valor da distância da força ao centro de giro.

Observe a situaçªo da Figura 5, em que dois garotos estªo sentados numa gangorra. O menino mais gordo tem massa de 60 kg, e o mais magro de 40 kg Assim, eles exercerªo respectivamente, sobre a gangorra, forças de 60 kgf e 40 kgf. Essas forças poderªo fazer com que a gangorra gire, em torno do apoio, no sentido horÆrio, no sentido anti-horÆrio, ou ainda nªo gire (se os momentos das forças forem iguais). Vamos calcular os momentos dessas forças com relaçªo ao ponto O.

MA = 60 kgf · 1 m = 60 kgf · m MB = 40 kgf · 1,5 m = 60 kgf · m

Entªo, os momentos das duas forças sªo iguais e a gangorra nªo vai girar.

Podemos dizer que a distância maior do garoto mais magro compensa, em termos de girar a gangorra, o maior peso do menino mais gordo.

Vamos, finalmente, considerar uma œltima grandeza que estÆ associada ao momento de uma força. Observe a Figura 6.

Figura 5

Figura 6

7 AULA

Figura 7

Figura 8

Temos duas forças de valores FA = FB, que estªo à mesma distância do ponto

O, dA = dB, contudo, essas duas forças nªo tŒm a mesma capacidade de girar abarra. Isso porque a força ρ FA tem direçªo perpendicular à barra, enquanto queρ

FB nªo. Se usarmos as componentes de ρ FB, poderemos entender melhor a situaçªo.

A Figura 7 mostra as duas compo-nentes da força ρ FB. Uma delas tem a direçªo da barra e a outra Ø perpendi- cular à barra.

Quem pode produzir uma rotaçªo na barra Ø a força perpendicular à barra.A outra componente, apenas puxa a barra. Nesse caso, entªo, a força ρ

FA temmaior capacidade de girar a barra do que a força ρ FB. Assim, a força que tem o maior momento Ø aquela que atua perpendicular à barra. Chegamos, por fim à uma definiçªo final do valor do torque ou momento de uma força (Figura 8):

M = F · d · sen M = F · d · sen M = F · d · sen M = F · d · sen M = F · d · sen ααααα

Veja que, quando o ângulo α Ø 90”, o valor do momento Ø mÆximo pois sen α = 1. Nessa situaçªo, a força e a barra sªo perpendiculares.

Vejamos mais um exemplo do uso do conceito de momento.

Uma pessoa tenta deslocar uma pedra com auxílio de uma alavanca de 1 m.

Para isso, ela apóia a alavanca sobre uma pedra menor, a 20 cm da pedra grande (veja a Figura 9). Se a pessoa exercer uma força de 40 kgf perpendicularmente sobre a alavanca, qual a força que vai agir sobre a pedra maior?

A alavanca vai girar em torno do ponto O, que serve de apoio para ela. O momento da força aplicada pela pessoa deve ser igual ao que a outra extremidade da barra vai exercer sobre a pedra. Entªo teremos:

F · 0,2 m = 40 kgf · 0,8 m

Figura 9

AULAEntªo a alavanca vai exercer, sobre a pedra, uma força quatro vezes maior do que a que estÆ sendo aplicada. Assim, com alavancas muito grandes, podemos levantar pesos tambØm muito grandes, exercendo pouca força.

Observe a Figura 10, respectivamente um poço no qual existe uma manivela com um cilindro de madeira e um detalhe dessa manivela. No cilindro de madeira, estÆ enrolada uma corda que tem, em sua extremidade, o balde para retirar Ægua do poço. O balde, por intermØdio da corda, vai exercer uma força no cilindro. Essa força, por sua vez, vai ter um momento com relaçªo ao eixo do cilindro.

Quando alguØm exerce uma força na manivela, surge tambØm um momento dessa força com relaçªo ao mesmo eixo. Ora, o tamanho da manivela Ø maior que o raio do cilindro onde estÆ apoiada a corda; entªo, para girar a manivela, a pessoa vai precisar de uma força menor do que o peso do balde cheio de Ægua. Essa Ø uma outra aplicaçªo do conceito de momento na qual se mostra que às vezes pode-se elevar um peso se utilizando uma força menor que esse peso.

Finalmente em equilíbrio

Duas pessoas puxam uma caixa como mostra a Figura 1. As cordas, pelas quais a caixa estÆ sendo puxada, estªo nos centros das laterais da caixa. As forças tŒm o mesmo valor, mesma direçªo e sentidos contrÆrios. A caixa nªo vai se mover. Mas serÆ que Ø sempre assim? Sempre que as forças forem iguais, de mesma direçªo e de sentido contrÆrio a caixa fica paradinha?

Vamos supor que as cordas estivessem amarradas nas pontas da caixa, como aparece na Figura 12.

Mais uma vez, vamos considerar que as forças sªo iguais, de mesma direçªo e sentidos contrÆrios. PorØm, nessa situaçªo, a caixa nem sempre vai ficar paradinha. Ela poderÆ girar!Ela poderÆ girar!Ela poderÆ girar!Ela poderÆ girar!Ela poderÆ girar! Sªo os momentos das forças que farªo a caixa girar.

Figura 10

Figura 1 Figura 12

AULAMas, se a soma das forças for zero e a soma dos momentos tambØm tambØm tambØm tambØm tambØm, a caixa estarÆ em equilíbrio. Ela nªo vai girar nem se deslocar.

Condiçıes de equilíbrio de um corpoCondiçıes de equilíbrio de um corpoCondiçıes de equilíbrio de um corpoCondiçıes de equilíbrio de um corpoCondiçıes de equilíbrio de um corpo

Para que um corpo sujeito a forças permaneça em equilíbrio, Ø necessÆrio:

1.1.1.1.1.que a soma de todas as forçasforçasforçasforçasforças que agem sobre o corpo seja nula; 2.2.2.2.2.que a soma dos momentosmomentosmomentosmomentosmomentos dessas forças com relaçªo a um ponto seja nula.

Vamos estudar alguns casos que envolvem o equilíbrio de corpos.

Passo-a-passo

Penduram-se numa barra muito leve (de peso desprezível, como em geral se diz em Física), trŒs bolas iguais que tŒm, cada uma, um peso de 1 newton (1 N). Elas sªo presas em pregos que estªo a uma distância de 10 cm uns dos outros, como mostra a Figura 13. A barra estÆ presa no teto. Pergunta-se:

a)a)a)a)a)Onde deveremos colocar uma quarta bola, igual às primeiras, para que a barra fique em equilíbrio? b)b)b)b)b)Qual a força exercida sobre o fio que prende a barra ao teto?

Para que o conjunto fique em equilíbrio, a soma de todas as forças aplicadas na barra deve ser igual a zero. Na Figura 13, estªo representadas quatro forças:ρ

F1, ρ

F2 e ρ F3. Vamos supor que as forças dirigidas para cima sejam positivas e as dirigidas para baixo sejam negativas. Entªo, com relaçªo aos valores das forças, teremos:

F - F1 - F2 - F3 = 0 F - 1 N - 2 N - 1 N = 0

F = 4 N

Entªo, sobre o fio que suporta a barra, teremos uma força de 4 N. Isso jÆ era esperado pois, se cada bola pesa 1 N e o fio Ø quem mantØm as quatro bolas, ele deverÆ estar agüentando uma força de 4 N. O peso da barra nªo entra, pois supusemos que Ø desprezível. Agora, para que a barra nªo gire, a soma dos momentos das forcas deve ser tambØm igual a zero. Vamos chamar de M, M1, M2 e M3 os valores dos momentos das forças e escolher que o sentido de rotaçªo horÆrio Ø positivo.

Quem faz a barra girar no sentido horÆrio Ø a força F3. A força F nªo faz a barra girar, pois estÆ aplicada no ponto de suspensªo e as outras duas tendem a fazer a barra girar no sentido anti-horÆrio. Entªo teremos:

Dessa maneira, a bola deverÆ ser colocada a uma distância de 50 cm do ponto de suspensªo da barra.

Figura 13

AULA Passo-a-passo

Observe a Figura 14: um sarrafo com peso de 16 N, apoiado em dois blocos A e B. Quais sªo os valores das forças que os apoios exercem sobre a barra?

Para a resoluçªo desse problema, vamos usar um conceito importante - o centro de gravidadecentro de gravidadecentro de gravidadecentro de gravidadecentro de gravidade.

O centro de gravidadecentro de gravidadecentro de gravidadecentro de gravidadecentro de gravidade de um corpo Ø o ponto de aplicaçªo da força peso, ou seja, como se todo peso do corpo estivesse concentrado naquele ponto. Se o corpo for homogŒneo, como o caso da barra do problema, o centro de gravidade Ø o centro geomØtrico da barra. As Figuras 15, 16, 17 e 18 mostram a posiçªo aproximada de alguns centros de gravidade.

Numa esfera, como num cubo, ele estÆ no centro da esfera. Na chave, ele fica mais perto da parte que gira a porca. Num homem, ele se situa aproximadamente na altura do umbigo, mas na parte interna de seu corpo.

Vamos aos cÆlculos. Suponhamos que as forças representadas na Figura 14 que estiverem para cima sªo positivas e as que estiverem para baixo, negativas. Entªo, vamos ter:

Vamos calcular os momentos das forças com relaçªo ao ponto A. Poderíamos calcular tambØm com relaçªo ao centro de gravidade ou, ainda, com relaçªo ao ponto B, que os resultados seriam os mesmos. Vamos considerar que o sentido horÆrio Ø o sentido positivo.O momento da força ρ F1 com relaçªo ao ponto A Ø zero, pois a distância da forçaρ

P ao ponto A Ø zero. O momento de ρ

F2 Ø negativo, pois faria com que a barragirasse no sentido anti-horÆrio. O momento de ρ

P Ø positivo, pois faria com que abarra girasse no sentido horÆrio. As distâncias do peso e da força ρ F1 ao ponto A sªo, respectivamente, 25 cm (0,25 m) e 40 cm (0,4 m), entªo, a soma dos momentos dessas forças com relaçªo ao ponto A vai ficar:

16 N · 0,25 m - F2 · 0,40 m = 0entªo,

Sabendo-se o valor de ρ

Figura 18Figura 17Figura 16Figura 15

Figura 14

7 AULA

Figura 20 Figura 19

Figura 21

Passo-a-passo

Uma balança tem um peso próprio de 2 kgf. A distância entre o prato da balança e o suporte Ø 20 cm. Coloca-se um peixe no prato. O peixe Ø equilibrado por um peso de 0,5 kgf colocado a 40 cm do suporte. Qual Ø o peso do peixe? Qual a força exercida pelo peixeiro para segurar a balança? (Figuras 19 e 20.)

Inicialmente, o momento do prato da balança Ø compensado pelo momento do travessªo da balança, pois a balança vazia estÆ em equilíbrio (Figura 19). Quando o peixe e o contrapeso sªo colocados, para que haja equilíbrio, o momento do peso de um deve compensar o do outro (Figura 20). Entªo:

Mp = Mc

Chamando-se de Pp o peso do peixe, de Pc o do contrapeso, de dp a distância do prato (onde estÆ o peixe) e de dc a distância do contrapeso, teremos:

Pp · dp = Pc · dc Pp · 0,2 m = 0,5 kgf · 0,4 m

= 1 kgf

As forças que agem sªo: o peso do peixe ρ Pp, o peso da balança ρ

PB, e o pesodo contrapeso ρ PC atuando para baixo. Quem equilibra essas forças Ø o peixeiro, segurando na argola. Entªo ele vai exercer uma força de:

2 kgf (da balança) + 1 kgf ( do peixe ) + 0,5 kgf ( do contrapeso ) = 3,5 kgf

Passo-a-passo

Uma prateleira de 2 kg, que pode girar em torno de um ponto O fixo na parede, tem a outra extremidade tambØm presa à parede por uma corda que forma, com a mesma, um ângulo de 60”. A corda estÆ fixa a 40 cm do ponto O (Figura 21). Um bloco de 10 kg estÆ apoiado nessa prateleira a uma distância de 10 cm da parede. Qual a força que o conjunto vai exercer sobre a corda? Vamos supor que os momentos das forças que fariam a prateleira girar em torno do ponto O, no sentido horÆrio, fossem positivos. Tais forças seriam o peso da prateleira e o peso do bloco, que valem, respectivamente, 2 kgf e 10 kgf. O momento da força que age sobre a corda faria a prateleira girar no sentido anti-horÆrio, e seria, entªo, negativo.

Chamando-se de Mp, MB e Mc esses momentos, teríamos:

Mp + MB + Mc = 0

Entªo, 2 kgf · 0,1 m + 10 kgf · 0,1 m - F · 0,4 m · sen 60” = 0

AULANesta aula vocΠaprendeu:

•que se chama momentomomentomomentomomentomomento a grandeza associada à capacidade de uma força girar um corpo;

•que, para um corpo estar em equilíbrio, a soma de todas as forçassoma de todas as forçassoma de todas as forçassoma de todas as forçassoma de todas as forças nele aplicadas deve ser nula e a soma dos momentos das forçassoma dos momentos das forçassoma dos momentos das forçassoma dos momentos das forçassoma dos momentos das forças com relaçªo a um ponto tambØm.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1

Calcule os momentos da força ρ F de 100 N, com relaçªo ao centro da porca que a chave tenta girar, quando essa força Ø aplicada em pontos situados respectivamente a 15 cm e 45 cm, do centro da porca.

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2

Uma barra pode girar em torno de um ponto O. Aplica-se, na mesma uma força de 60 N como estÆ representado na figura abaixo. Qual vai ser o momento dessa força com relaçªo ao ponto O ?

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3

Uma caixa com massa de 8 kg estÆ apoiada sobre uma barra de peso desprezível e comprimento 1,20 m, que, por sua vez, estÆ sobre um suporte,como mostra a figura acima. Qual a força ρ F, que devemos fazer, do outro lado da barra, para equilibrar a caixa?

O 0,5 m

1 m20 cm80 kgf F

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