Telecurso 2000. Física Completo. - 11fis

Telecurso 2000. Física Completo. - 11fis

(Parte 1 de 2)

1 AULA

Vamos dar uma voltinha?

1 A U L A

A patinadora desliza sobre o gelo, braços estendidos, movimentos leves, mœsica suave. De repente encolhe os braços junto ao corpo, gira velozmente como um piªo, volta a estender os braços e pÆra por alguns instantes. O pœblico, encantado, aplaude.

Cristiana, comovida, assiste à cena pela televisªo. Entªo, uma pergunta lhe ocorre. Por que sempre que giram desse jeito os patinadores encolhem os braços e, quando querem parar, voltam a estendŒ-los? SerÆ que isso tem alguma coisa a ver com a Física?

É claro que sim. Tudo tem a ver com a Física. Se ela fizer essa pergunta a um físico, ele provavelmente lhe dirÆ que a patinadora encolhe os braços para girar mais depressa, devido ao princípio da conservaçªo do momento angularprincípio da conservaçªo do momento angularprincípio da conservaçªo do momento angularprincípio da conservaçªo do momento angularprincípio da conservaçªo do momento angular. É uma forma complicada de explicar uma idØia razoavelmente simples. Suponha que um corpo estÆ girando e nªo hÆ nenhuma açªo externa atuando sobre ele. Quanto mais concentrada a massa desse corpo estiver no seu eixo de rotaçªo, mais rapidamente ele pode girar, ou vice-versa. Se a distribuiçªodistribuiçªodistribuiçªodistribuiçªodistribuiçªo da massa se afastar do eixo de rotaçªo, ele vai girar mais lentamente.

Observe a Figura 1a. Com os braços encolhidos, a massa da patinadora estÆ mais concentrada junto ao seu eixo de rotaçªo, por isso ela gira mais rapidamente do que com os braços abertos. Abrindo os braços, ela distribui sua massa de forma a afastÆ-la ao mÆximo do seu eixo de rotaçªo. Assim, o seu movimento fica mais lento e mais fÆcil de parar.

Uma demonstraçªo experimental muito interessante pode ilustrar essa afirmaçªo.

Figura 1a

1 AULA

Observe a Figura 1b. Uma pessoa sentada numa cadeira giratória, segurando dois halteres com os braços estendidos, Ø posta a girar. Se ela encolher os braços, trazendo os halteres para junto do seu corpo, a rapidez do seu movimento de rotaçªo aumenta. Se ela voltar a estendŒ-los, a rapidez diminui, sem que para isso tenha sido feita qualquer açªo externa. Essa compensaçªo entre rapidez de rotaçªo e distribuiçªo de massa Ø explicada pelo tal princípio da conservaçªo do momentoprincípio da conservaçªo do momentoprincípio da conservaçªo do momentoprincípio da conservaçªo do momentoprincípio da conservaçªo do momento angularangularangularangularangular.

Mas essas nªo sªo as œnicas características interessantes do movimento de rotaçªo. Um piªo, por exemplo, só pode permanecer em equilíbrio enquanto gira; as bicicletas só podem se manter em equilíbrio devido ao movimento de rotaçªo de suas rodas.

Veja na Figura 2 que, graças à rotaçªo, o piªo se mantØm em pØ sozinho, em equilíbrio, apoiado apenas numa extremidade do seu eixo. A própria Terra mantØm constante a inclinaçªo do seu eixo graças ao seu movimento de rotaçªo.

O movimento de rotaçªo estÆ sempre presente em nosso dia-a-dia. Todos os veículos tŒm rodas, quase todas as mÆquinas tŒm eixos e polias que giram ligadas por correias e engrenagens. Infelizmente, nem todos os aspectos da rotaçªo poderªo ser estudados neste curso. Muitos exigem uma formulaçªo matemÆtica muito complicada, mas algumas noçıes bÆsicas necessÆrias à sua compreensªo serªo vistas aqui.

Rotaçªo: um movimento periódico

Imagine uma roda de bicicleta ou a polia de um motor girando. Durante esse movimento, cada ponto da roda ou da polia descreve circunferŒncias, continuamente. Em outras palavras, durante o movimento, cada ponto passa repetidas vezes pela mesma posiçªo. Por isso, o movimento de rotaçªo Ø considerado um movimento periódicomovimento periódicomovimento periódicomovimento periódicomovimento periódico.

O nœmero de circunferŒncias, ou ciclosciclosciclosciclosciclos, descritos numa unidade de tempo

Ø a freqüŒnciafreqüŒnciafreqüŒnciafreqüŒnciafreqüŒncia desse movimento. Assim, se cada ponto da polia de um motor descreve 600 ciclos em 1 minuto, dizemos que essa polia gira com uma freqüŒncia de 600 ciclos por minuto. Nesse caso, ao invØs de ciclos, costuma-se dizer rotaçıes.rotaçıes.rotaçıes.rotaçıes.rotaçıes. Logo, a freqüŒncia Ø de 600 rpm (rotaçıes por minuto). Se adotarmos o SI, a unidade de tempo deve ser o segundosegundosegundosegundosegundo. Portanto, como essa polia descreve 600 ciclos em 60 segundos (1 minuto), a sua freqüŒncia serÆ:

600 ciclos

Figura 2 Figura 1b

AULAA unidade ciclos/sciclos/sciclos/sciclos/sciclos/s Ø denominada hertz hertz hertz hertz hertz, cujo símbolo Ø Hz. Portanto, a freqüŒncia dessa polia, no SI, Ø de 10 Hz. É fÆcil ver que 1 Hz = 60 rpm 1 Hz = 60 rpm 1 Hz = 60 rpm 1 Hz = 60 rpm 1 Hz = 60 rpm.

Se um ponto passa vÆrias vezes pela mesma posiçªo, hÆ um intervalo de tempo mínimo para que ele passe por duas vezes por essa posiçªo. É o intervalo de tempo que ele gasta para descrever apenas uma volta ou um cicloum cicloum cicloum cicloum ciclo. Esse intervalo de tempo Ø denominado períodoperíodoperíodoperíodoperíodo do movimentodo movimentodo movimentodo movimentodo movimento.

Qual serÆ o período do movimento de rotaçªo da polia do nosso exemplo? Para responder essa pergunta, vamos, inicialmente, adotar o minuto como unidade de tempo. Se a polia descreve 600 ciclos em 1 minuto, para determinar o seu período, Ø preciso calcular o tempo que ela gasta para descrever 1 ciclo1 ciclo1 ciclo1 ciclo1 ciclo. Uma regra de trŒs simples resolve o problema:

1 ciclo fi x minutos

600 ciclos fi 1 minuto

Logo, teremos:

que Ø o período do movimento da polia, em minutos.

Se fizermos o mesmo cÆlculo utilizando o segundo, como unidade de tempo, vamos obter:

que Ø o período do movimento da polia, em segundos.

Observe que quando a freqüŒncia era 600 rpm, o período era 1/600 min, quando a freqüŒncia era 10 Hz, o valor do período era 1/10 s. É fÆcil ver que o valor do período Ø sempre o inverso do valor da freqüŒncia. Simbolizando a freqüŒncia com f e o período com T podemos representar essa relaçªo pela expressªo:

T ou ainda:T =

Sempre que o período estiver em segundosem segundosem segundosem segundosem segundos a freqüŒncia correspondente serÆ dada em hertzhertzhertzhertzhertz.

Passo-a-passo

Qual a freqüŒncia e período do movimento dos ponteiros de um relógio? Um relógio geralmente tem trŒs ponteiros: (a) um, que marca os segundos, (b) um, que marca os minutos e (c) um, que marca as horas. Cada um deles, tem freqüŒncia e período diferentes.

a)a)a)a)a)O ponteiro dos segundos dÆ uma volta a cada 60 segundos. Portanto, o seu período Ø: T = 60 s

Como a freqüŒncia Ø o inverso do período, temos:

AULAb)b)b)b)b)O ponteiro dos minutos dÆ uma volta por hora, ou 60 minutos, ou 3.600 segundos. Logo, o seu período em segundos, Ø:

T = 3.600 s A freqüŒncia Ø:

c)c)c)c)c)Com raciocínio semelhante, vocŒ pode obter para o ponteiro das horas:

Passo-a-passo

Um satØlite de telecomunicaçıes fica parado em relaçªo à Terra. Qual o período e a freqüŒncia desse satØlite?

Para que o satØlite fique parado em relaçªo à Terra, Ø preciso que ele acompanhe o movimento de rotaçªo do planeta. Isso significa que, quando a Terra der uma volta em torno do seu eixo, o satØlite tambØm deverÆ fazer o mesmo (veja a Figura 3). Logo, o período do satØlite Ø igual ao período da Terra. Portanto: T = 1 dia, ou T = 24 h, ou T = 86.400 s

A freqüŒncia Ø: f = 1 rotaçªo/dia, ou f = 1

Velocidade angular

Suponha que um disco estÆ girando. Num intervalo de tempo Dt seus raios descrevem ou varremvarremvarremvarremvarrem um determinado ângulo Dj (veja a Figura 4).

A relaçªo entre esse ângulo e o tempo gasto para descrevŒ-lo Ø a velocidade angular velocidade angular velocidade angular velocidade angular velocidade angular do disco. Matematicamente:

w = D j

D t Figura 4

Movimento do Sat• lite Movimento da Terra

Figura 3

AULAComo no SI os ângulos sªo medidos em radianos, a unidade de velocidade angular Ø rad/s. rad/s. rad/s. rad/s. rad/s. Assim, se um disco gira descrevendo um ângulo de 60”,

que Ø igual a p/3 rad, num intervalo de tempo de 2 segundos, sua velocidade angular serÆ:

= p

A rigor, essa Ø a velocidade angular mØdiavelocidade angular mØdiavelocidade angular mØdiavelocidade angular mØdiavelocidade angular mØdia nesse intervalo de tempo.

Entretanto, como vamos estudar apenas movimentos de rotaçªo em que a velocidade angular Ø constante, nªo haverÆ, aqui, distinçªo entre velocidade angular mØdia e velocidade angular instantânea. Ambas serªo chamadas simplesmente de velocidade angular velocidade angular velocidade angular velocidade angular velocidade angular. Veja como se faz para transformar graus em radianos:

Relaçıes entre graus e radianosRelaçıes entre graus e radianosRelaçıes entre graus e radianosRelaçıes entre graus e radianosRelaçıes entre graus e radianos

Sabe-se que p rad = 180”, logo 1” = p

Entªo, para transformar um ângulo em graus para radianos basta multiplicar

rad = p

Para transformar radianos em graus, Ø só inverter o procedimento multiplicando

Exemplo: Exemplo: Exemplo: Exemplo: Exemplo: p rad = p

Se a velocidade angular de um disco for constante, ele descreve ângulos iguais em tempos iguais. Isso significa que o tempo gasto para dar uma volta completa, que corresponde a um ângulo de 360” ou 2p rad, serÆ sempre igual. Portanto, o período período período período período e a freqüŒnciafreqüŒnciafreqüŒnciafreqüŒnciafreqüŒncia do disco serªo, tambØm, constantes. AlØm disso Ø possível, nessas condiçıes, relacionar essas trŒs grandezas.

Ao descrever uma volta completa, o disco varre varre varre varre varre um ângulo Dj igual a 2 p rad.

Como o intervalo de tempo Dt para dar uma volta completa Ø igual ao período, T, a velocidade angular desse disco serÆ:

w = D j

D t

Þw = 2 p

Mas f = 1

T , portanto, podemos escrever:

T Þ w = 2 pf

AULAMovimento Circular Uniforme

Suponha que um disco gire com velocidade angular constante. Como vimos, a freqüŒncia e o período tambØm serªo constantes. Nesse caso, cada ponto desse disco descreve um MMMMMovimento ovimento ovimento ovimento ovimento CCCCCircular ircular ircular ircular ircular UUUUUniforme (MCU)niforme (MCU)niforme (MCU)niforme (MCU)niforme (MCU). Se vocŒ vir uma formiguinha apavorada agarrada a um disco girando no seu toca-discos, vocŒ estarÆ vendo a coitadinha descrever um movimento circular uniforme. Isso vale tambØm, por exemplo, para qualquer ponto de uma polia ligada a um motor que gira com freqüŒncia de rotaçªo constante.

Como se pode equacionar equacionar equacionar equacionar equacionar o movimento circular uniforme? Que variÆveis devemos escolher para equacionar o movimento circular uniforme, lembrando que equacionar um movimento Ø estabelecer uma relaçªo matemÆtica entre duas de suas variÆveis (posiçªo · tempo, velocidade · tempo etc.). As mesmas variÆveis do MRU ou do MRUV?

A resposta Ø nªonªonªonªonªo. Em vez de uma equaçªo da posiçªo em funçªo do tempo, por exemplo, serÆ mais œtil uma equaçªo do ângulo descrito em funçªo do tempo, uma equaçªo angularequaçªo angularequaçªo angularequaçªo angularequaçªo angular. Isso porque a posiçªo nªo Ø uma variÆvel muito conveniente, pois um móvel com MCU passa seguidamente pelo mesmo ponto.

Isso nªo acontece com o ângulo D j que esse móvel descreve ou varrevarrevarrevarrevarre enquanto se movimenta. Os seus valores nunca se repetem. Cada vez que o móvel passa pelo mesmo ponto, o valor do ângulo Ø acrescido de 360” ou 2 p rad.

Assim, Ø possível estabelecer uma relaçªo matemÆtica entre esse ângulo e o instante em que ele estÆ sendo descrito, porque nªo existem dois ângulos iguais para instantes diferentes. Essa equaçªo, conhecida como equaçªoequaçªoequaçªoequaçªoequaçªo ou lei angularlei angularlei angularlei angularlei angular do MCU, Ø expressa por:

j = j0 + wt

Veja a deduçªo no quadro abaixo:

Deduçªo da lei angular de um MCUDeduçªo da lei angular de um MCUDeduçªo da lei angular de um MCUDeduçªo da lei angular de um MCUDeduçªo da lei angular de um MCU

Lembrando a definiçªo de velocidade angular w = D j

D t (1) (1) (1) (1) (1)

Ø fÆcil ver, na figura, que D j = j - j0 (2), como D t = t - t0.

Fazendo t0 = 0, temos D t = t (3), substituindo (1) e (2), em (3), obtemos:

w = j - j t Þ j = j0 + wt

onde j Ø o ângulo, ou fase,fase,fase,fase,fase, no instante t e j0o ângulo ou fase inicial inicial inicial inicial inicial, no instante

t0 = 0.

Trajet—ria da formiguinha Figura 5

Figura 6

AULASabendo-se o ângulo descrito por um móvel num certo instante e o raio da circunferŒncia descrita, Ø fÆcil determinar a posiçªo de um móvel em MCU.

Suponha, por exemplo, que a nossa pobre formiguinha, ainda mais apavorada, estÆ presa a uma roda de bicicleta de 0,5 m de raio, que gira com um período constante de 2 s. Se acionarmos um cronômetro no instante em que o raio da roda em que estÆ a formiguinha descreve um ângulo nulo, qual serÆ a posiçªo da coitadinha depois de 4,2 s?

Para resolver esse problema, Ø preciso, inicialmente, determinar o ângulo descrito por esse raio no instante t = 4,2 s. Isso significa aplicar a lei angular do seu movimento e calcular o valor de j para t = 4,2 s. Para determinar a lei angular, j = j0 + wt, basta determinar o valor de w jÆ que o ângulo inicial j0 = 0, conforme o enunciado (o cronômetro foi acionado quando o ângulo era zero). Lembrando que w = 2 p/T e T= 2s obtemos w = p rad/s. Assim, a lei angular do movimento do ponto A Ø: j = p t

No instante t = 4,2 s o ângulo descrito Ø:

j = p rad

Onde estarÆ entªo a pobre formiguinha?

É fÆcil, basta desenhar um ângulo de 756”, isto Ø, 2 · 360” + 36” e aí localizÆ-la. Veja a Figura 7.

Velocidade de um ponto material em MCU

AtØ agora só falamos em velocidade angular de um ponto material. É uma velocidade meio esquisita - ela sempre nos obriga a imaginar que existe um segmento de reta ligando o ponto ao centro da circunferŒncia. Senªo, nªo poderíamos falar em ângulos descritos ou varridos varridos varridos varridos varridos. Mas Ø claro que, estando em movimento, o ponto vai percorrer distâncias em intervalos de tempo, isto Ø, ele tem tambØm uma velocidade. Essa Ø a sua velocidade (v)velocidade (v)velocidade (v)velocidade (v)velocidade (v), sem sobrenome, a que temos nos referido atØ aqui, no estudo dos outros movimentos. Muitos gostam de chamÆ-la de velocidade linear ou escalar para distingui-la da velocidade angular, mas isso nªo Ø necessÆrio pois nªo estamos introduzindo um novo conceito.

Se calcularmos o valor da velocidade v de um ponto material com MCU, vamos obter sempre o mesmo resultado. Isso porque esse ponto percorre distâncias (arcos de circunferŒncia) iguais em tempos iguais. Em cada ciclo, por exemplo, o percurso Ø sempre o mesmo, o comprimento da circunferŒncia.o comprimento da circunferŒncia.o comprimento da circunferŒncia.o comprimento da circunferŒncia.o comprimento da circunferŒncia. O tempo gasto para percorrŒ-la tambØm, pois, nesse caso, o tempo Ø o período período período período período (T), e o período no MCU Ø constante.

AliÆs, a partir dessa observaçªo, podemos obter uma expressªo para o valor de v no MCU. Como o comprimento da circunferŒncia Ø 2pr e o tempo para descrever 1 ciclo Ø igual ao período T, dividindo-se o comprimento do percurso, 2pr, pelo tempo gasto para descrevŒ-lo (T), tem-se o valor da velocidade. Logo:

v = 2 pr

Localiza•‹o da formiguinha

Figura 7

(Parte 1 de 2)

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