Telecurso 2000. Física Completo. - 32

Telecurso 2000. Física Completo. - 32

(Parte 1 de 2)

32 AULA

No meio do trânsito ouve-se a sirene da ambulância. Ernesto vira-se e pergunta ao pai: -Por que as letras escritas no capô da ambulância estªo todas invertidas?

-É para que a gente possa saber, precisamente, que atrÆs de nós vem vindo uma ambulância. Se olharmos pelo espelho retrovisor, as letras invertidas aparecem na posiçªo correta (Figura 2).

Ponha um jornal ou uma revista na frente de um espelho.

VocŒ vai ver que as letras aparecem invertidas. No caso da ambulância, como as letras estªo invertidas, o espelho as ‘desinverte’ e a palavra aparece em formato normal.

Nesta parte do curso estudaremos como as imagens dos objetos aparecem em certos espelhos e qual o tamanho dessas imagens. Vamos começar pelo espelho mais simples, o espelho plano.

O espelho plano

Pai e filho chegam em casa. Ernesto pergunta: -Mas como eu vejo as coisas lÆ dentro de um espelho?

-Nªo sªo coisas! Sªo imagens. Veja bem - diz Roberto, ironizando, enquanto desenha a Figura 3.

-Aqui temos um espelho plano e uma lâmpada.

Para achar onde estÆ a imagem da lâmpada, precisamos saber como sªo refletidos os raios luminosos no espelho. Eu desenhei um raio luminoso que sai de um ponto do filamento da lâmpada. Esse raio bate no espelho formando um ângulo $i com a normal, e Ø refletido com um ângulo $r. Esses dois ângulos sªo iguais.

Espelho, espelho meu...

32 A U L A

Figura 1 Figura 2

Figura 3

AULAAssim eu posso saber a direçªo de onde vem a luz do espelho e que estÆ chegando ao olho. Mas eu ainda nªo sei, exatamente, onde estÆ a imagem

daquele ponto do filamento. Para que eu saiba onde estÆ essa imagem, eu preciso de mais um raio luminoso que saia daquele ponto. É o que estÆ nesta outra figura.

Agora, com dois raios luminosos, a imagem do ponto do filamento fica determinada. O conjunto de todas as imagens, de todos os pontos da lâmpada, Ø a ‘coisa’ que vocŒ vŒ dentro do espelho. Mas, como eu disse, nªo Ø ‘coisa’: Ø a imagem da lâmpada formada pelo espelho.

Leia o texto abaixo para entender um pouco mais sobre objetos e imagens.

Quando os raios estªo saindo do espelho de maneira divergente (abrindo), como Ø nosso caso, o ponto por eles definido vai ser chamado de ponto imagemponto imagemponto imagemponto imagemponto imagem virtualvirtualvirtualvirtualvirtual.

Vamos supor que tenhamos raios luminosos que partem de um ponto P e atingem um espelho ou outro sistema ótico - uma lente, por exemplo. Ese ponto

P Ø chamado ponto objetoponto objetoponto objetoponto objetoponto objeto com relaçªo ao espelho ou à lente. Se os raios luminosos estªo saindo do espelho, o ponto onde esses raios se cruzam Ø denominado ponto imagemponto imagemponto imagemponto imagemponto imagem. Se os raios luminosos estªo entrando de maneira divergente, como Ø o caso da Figura 4, o ponto objeto serÆ chamado de ponto objeto realponto objeto realponto objeto realponto objeto realponto objeto real.

Quando os raios estªo saindo do espelho de maneira divergente, como Ø nosso caso, o ponto por eles definido vai ser chamado de ponto imagem virtualponto imagem virtualponto imagem virtualponto imagem virtualponto imagem virtual.

Relaçıes entre objeto e imagem no espelho plano

Na Figura 5a temos um ponto luminoso P que envia raios em todas direçıes, alguns dos quais atingem o espelho E.

Observe que o espelho plano foi representado por um traço (vertical), tendo, ao lado, uma sØrie de tracinhos inclinados. Essa Ø a maneira usual de apresentar, esquematicamente, um espelho plano.

Se tomarmos o raio luminoso que passa por PA, direçªo perpendicular ao espelho, esse raio serÆ refletido sobre si mesmo (os ângulos de incidŒncia e reflexªo sªo iguais a zero). O raio que passa na direçªo PB sairÆ formando um ângulo igual ao de incidŒncia $i = $r. Os triângulos ABP e ABP’ sªo iguais, pois tŒm um lado comum, AB, e dois ângulos iguais (o ângulo $i, e um ângulo reto). Dessa maneira, a distância do objeto ao espelho (AP) Ø igual à da imagem ao espelho (AP’).

Mais ainda: se tivØssemos usado uma direçªo diferente de PB para obter o ponto imagem, por exemplo a direçªo PC, como mostra a Figura 6, o ponto P’ apareceria sempre na mesma posiçªo. Isto Ø, a posiçªo de P’ nªo depende do ângulo de incidŒncia. Esse ponto P vai produzir sempre um ponto imagem P’ na mesma posiçªo.

Isso nem sempre acontece com outros sistemas óticos. Quando, num dado sistema, a imagem de um ponto Ø exatamente um ponto, dizemos que esse sistema Ø estigmÆticoestigmÆticoestigmÆticoestigmÆticoestigmÆtico. O espelho plano Ø estigmÆtico.

Figura 4 Figura 5a

AULAAnalise agora a Figura 5b. Temos um triângulo ABC diante de um espelho E. A imagem de ABC Ø A’B’C’. Como as distâncias entre A e A’ , B e B’ e C e C’

em relaçªo ao espelho sªo iguais, os dois triângulos sªo iguais. Assim, o tamanho da imagem de um objeto fornecida por um espelho plano tem o mesmo tamanho desse objeto.

A Figura 5c mostra uma pessoa diante de um espelho plano.

Ela segura uma letra R na mªo direita. Na imagem da pessoa no espelho, a letra R aparentemente vai estar na sua mªo esquerda, e o R estarÆ invertido.

-Ah! Por isso as letras estavam invertidas e a ambulância parecia estar dentro do espelho!, exclamou Ernesto.

Resumindo:

•a distância de um ponto objeto a um espelho plano Ø igual àa distância de um ponto objeto a um espelho plano Ø igual àa distância de um ponto objeto a um espelho plano Ø igual àa distância de um ponto objeto a um espelho plano Ø igual àa distância de um ponto objeto a um espelho plano Ø igual à distância da imagem ao mesmo espelho;distância da imagem ao mesmo espelho;distância da imagem ao mesmo espelho;distância da imagem ao mesmo espelho;distância da imagem ao mesmo espelho;

•o espelho plano Ø estigmÆtico;o espelho plano Ø estigmÆtico;o espelho plano Ø estigmÆtico;o espelho plano Ø estigmÆtico;o espelho plano Ø estigmÆtico;

•o espelho plano inverte as posiçıes esquerda e direita.o espelho plano inverte as posiçıes esquerda e direita.o espelho plano inverte as posiçıes esquerda e direita.o espelho plano inverte as posiçıes esquerda e direita.o espelho plano inverte as posiçıes esquerda e direita.

Passo a passo

Existem alguns problemas clÆssicos sobre espelhos planos. Por exemplo:

Observe as Figuras 7(a) e 7(b). Nelas temos uma lâmpada L diante de um espelho plano que estÆ na posiçªo E1. Nessa situaçªo, a imagem da lâmpada Ø L’. Vamos deslocar o espelho paralelamente. A imagem da lâmpada vai passar para a posiçªo L”. Vamos mostrar que, se o deslocamento do espelho foi d, a imagem desloca-se de uma distância 2d

LE 1 = L’E 1(a distância do objeto Ø igual à da imagem) LE 2 = L’’E 2(a distância do objeto Ø igual à da imagem) LE 2 = LE 1 + d(foi esse o afastamento do espelho)

Temos tambØm:L’’L = x + L’E 1 + E 1 L como L’E 1 = E 1L’, L’’L = L’’E 2 + E 2L e L’’E 2 = E 2L, 2LE 2 = x + 2LE 1 2(LE 1 + d) = x + 2LE 1

2LE 1 + 2d = x + 2LE 1 Entªo, x = 2d

Figura 5b Figura 5c

Figura 6

Figura 7bFigura 7a

Observe a Figura 8. Inicialmente temos um

espelho plano na posiçªo E 1 e um raio luminoso incidindo no ponto A. Em seguida o espelho Ø girado de um ângulo a para a posiçªo E2, e o raio luminoso passa a incidir no ponto B. O raio luminoso passa a sair numa nova direçªo, que forma com a anterior um ângulo b.

O que queremos mostrar Ø que: b = 2a

No triângulo ABC, o ângulo 2i2 Ø externo. Entªo ele Ø a soma dos internos nªo-adjacentes. Ou seja:

2i2 = b + 2i1

No triângulo ABD, o ângulo i2 Ø externo. Entªo, Ø tambØm a soma dos internos nªo-adjacentes. Por isso,

Observe a Figura 9. Nela temos uma pessoa observando sua imagem num espelho plano. Observe que a distância entre a pessoa e o espelho Ø igual à distância da imagem ao espelho. d1 = d2. Os triângulos OAB e OCD sªo semelhantes. Entªo, seus lados sªo proporcionais às suas alturas:

ABCD da ltura de OAB

xh d d

Entªo, para que a pessoa consiga se ver por inteiro, basta que o espelho tenha metade de sua altura. Note que a altura da imagem Ø igual à altura da pessoa.

Figura 8 Figura 9

AULAEspelhos esfØricos

Um espelho esfØrico Ø uma calota esfØrica retirada de uma superfície esfØrica.

A calota (e, portanto, o espelho) pode ter forma côncava ou convexa. O espelho esfØrico pode ser representado por um arco de círculo com uma sØrie de pequenos traços para indicar se o espelho Ø côncavo ou convexo. Ver Figura 10 a.

-Eu nunca consigo distinguir o que Ø côncavo e o que Ø convexo — disse

Ernesto. -É fÆcil! disse Roberto. - Espere um pouco.

Depois de certo tempo, Roberto volta com uma bola de Natal (Figura 10 b). -Veja, aqui temos um exemplo de espelho esfØrico. Visto dessa maneira, por fora, o espelho Ø convexo. A parte de dentro da bola Ø um espelho côncavo. -E esses reflexos dentro da bola?

-Esses reflexos sªo as imagens. Sªo as imagens dos objetos que estªo na sala. Sªo imagens virtuais. Veja, as imagens sªo um pouco deformadas. A bola nªo Ø um sistema estigmÆtico. A imagem vai depender de como olhamos. Esses sistemas sªo chamados astigmÆticos.

O centro da calota, V, Ø chamado de vØrtice do espelhovØrtice do espelhovØrtice do espelhovØrtice do espelhovØrtice do espelho. O centro C, da superfície esfØrica, Ø denominado centro do espelhocentro do espelhocentro do espelhocentro do espelhocentro do espelho. A reta que passa pelo vØrtice e pelo centro Ø chamada de eixo principal do espelhoeixo principal do espelhoeixo principal do espelhoeixo principal do espelhoeixo principal do espelho. Qualquer outra reta que passe pelo centro do espelho Ø denominada eixo secundÆrio do espelhoeixo secundÆrio do espelhoeixo secundÆrio do espelhoeixo secundÆrio do espelhoeixo secundÆrio do espelho. Um fato importante que acontece nos espelhos esfØricos Ø que, para obter a normal num ponto de incidŒncia, bastarÆ unirmos esse ponto ao centro do espelho. Assim, todos os eixos secundÆrios sªo normais. Ver Figura 1.

-Outra coisa que nªo estou entendendo. Se a distância do objeto no espelho Ø igual à da imagem, como Ø que pode acontecer isso dentro da bola? Se eu colocar a bola perto do meu rosto, eu vou me ver dentro da bola. Mas a distância entre meu rosto e a bola nªo pode ser igual à distância da imagem do rosto à bola!

-Nªo pode e nªo Ø! Isso acontece no espelho plano. Para os espelhos esfØricos, côncavos ou convexos, existe uma fórmula que serve para calcular a distância da imagem ao espelho quando sabemos a distância do objeto ao espelho. E mais: nesse espelho, o tamanho da imagem quase nunca Ø igual ao tamanho do objeto.

Figura 10a Figura 10b

Figura 1

AULAObtendo a posiçªo da imagem de um ponto no espelho esfØrico Equaçªo de conjugaçªo

Consideremos um ponto objeto P que envia raios luminosos sobre um espelho esfØrico côncavo, como estÆ representado na Figura 12.

Um desses raios luminosos atinge o espelho no ponto I e Ø refletido. Teremos:

mesmo. Os dois raios refletidos encontram-se no ponto P’. Como P’ Ø encontro de raios que estªo saindo do sistema, P’ Ø um ponto imagem (real).

Vamos obter a relaçªo que existe entre a posiçªo do objeto e a posiçªo da imagem.

IC Ø bissetriz do ângulo P˛P’. Entªo ela divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos lados do triângulo.

para a bissetriz IT vale uma relaçªo anÆloga

mas o triângulo ITC Ø retângulo, entªo:

cos cosθθ onde R Ø o raio do espelho cos cos θ θ

Figura 12

AULAJÆ temos uma relaçªo entre a posiçªo do objeto e a posiçªo da imagem, pois PC Ø a distância do objeto ao centro e P’C Ø a distância da imagem ao centro. Uma

coisa que podemos notar Ø que, para uma dada posiçªo PC, do objeto, vªo existir inœmeros valores da posiçªo da imagem P’C, um para cada valor de q. Entªo o sistema Ø astigmÆticosistema Ø astigmÆticosistema Ø astigmÆticosistema Ø astigmÆticosistema Ø astigmÆtico. Um objeto fornece mais de uma imagem. PorØm, se utilizarmos raios luminosos pouco inclinados com relaçªo ao eixo principal, podemos dizer que cos q Ø próximopróximopróximopróximopróximo de 1 e ficar com:

Temos, agora, uma relaçªo melhor. PorØm, as distâncias do objeto e da imagem sªo medidas com relaçªo ao centro do espelho. Vamos mudar um pouco isso. Vamos medir tudo em relaçªo ao vØrtice.

PC = PV - VC P’C = VC - VP’ fazendo-se VP = p e VP’ = p’ e como VC Ø igual ao raio, ficaremos com: PC = p - R P’C = R - p’

Substituindo esses valores na relaçªo anterior, ficaremos com:

Rp RRRp pRRp+− −+ ′ p pR Rp′ p’R + pR = 2p’ dividindo-se tudo por p’R, teremos:

que Ø a equaçªo de conjugaçªo para um espelho esfØrico.

AnÆlise da equaçªo de conjugaçªo

Suponhamos que o objeto esteja a uma distância muito grande do espelho, ou seja, que p tenda a infinito. Nessas condiçıes, quando o objeto estÆ no infinito, a imagem forma-se num ponto F, chamado foco imagemfoco imagemfoco imagemfoco imagemfoco imagem do espelho. Esse ponto

F estÆ a uma distância fi do espelho, que Ø chamada de distância focal do espelhodistância focal do espelhodistância focal do espelhodistância focal do espelhodistância focal do espelho. Se utilizarmos a relaçªo (1), teremos:

∞ +=fR entaoi f R i =

AULADa mesma maneira, se a imagem se formar a uma distância infinita do espelho, o objeto estarÆ num ponto que Ø chamado foco objetofoco objetofoco objetofoco objetofoco objeto do espelho. Por um raciocínio anÆlogo, teremos:

Entªo, tanto o foco objeto como o foco imagem estªo no mesmo ponto. Eles se situam exatamente no ponto mØdio entre o centro de curvatura e o vØrtice do espelho. Chamando de f tanto a distância focal objeto como a distância focal imagem, poderemos entªo entªo escrever a relaçªo (1) sob sua forma mais

Um ponto luminoso situado no foco objeto de um espelho conjuga (forma) uma imagem no infinito. Assim, se colocarmos uma lâmpada no foco objeto de um espelho côncavo, os raios que formam a imagem "vªo se cruzar no infinito" - isto Ø, eles saem paralelos ao eixo principal do espelho. Tal propriedade Ø utilizada em lanternas e tambØm nos faróis de automóveis. As lanternas tŒm uma lâmpada que estÆ próxima do foco de um espelho côncavo; os raios saem da mesma aproximadamente paralelos. (ver Figura 12a)

Obtendo graficamente a imagem de um ponto

Observe a Figura 12b. Vamos supor que um raio luminoso incida paralela-paralela-paralela-paralela-paralelamentementementementemente ao eixo principal de um espelho esfØrico (raio 1). Isso equivaleria a termos um objeto no infinito. Esse raio, após ser refletido, passa entªo pelo focofocofocofocofoco.

Se o raio luminoso passar pelo centro de curvaturacentro de curvaturacentro de curvaturacentro de curvaturacentro de curvatura (raio 2), ele vai atingir o espelho perpendicularmente e volta sobre si mesmovolta sobre si mesmovolta sobre si mesmovolta sobre si mesmovolta sobre si mesmo.

Um raio que passe pelo focofocofocofocofoco (raio 3) sai paralelamenteparalelamenteparalelamenteparalelamenteparalelamente ao eixo principal. Finalmente, um raio que atinja o vØrticevØrticevØrticevØrticevØrtice do espelho formando certo ângulo com o eixo principal sai formando um ângulo igualângulo igualângulo igualângulo igualângulo igual, pois o eixo principal Ø uma normal (raio 4).

Podemos escolher duas dessas construçıes para obter a imagem de um ponto e, em seguida, a imagem de um objeto.

Construindo geometricamente a imagem de objetos

(Parte 1 de 2)

Comentários