[apostila] Análise de Sistemas Lineares - PUCRS - aula02

[apostila] Análise de Sistemas Lineares - PUCRS - aula02

(Parte 1 de 2)

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 1

Aula 2 – Matrizes

Introdução Operações com Matrizes Funções Lineares

Problemas Propostos

Introdução

Pela forma com que são apresentados os sistemas de equações algébricos lineares percebe-se claramente que existe um arranjo de números que ponderam as variáveis que se deseja determinar. Nos exemplos apresentados até o momento, diferentes tipos de problemas foram apresentados sendo cada um destes problemas caracterizados por suas respectivas variáveis a serem determinadas. Contudo, o procedimento para caracterização do tipo de sistema de equações algébrico linear bem como o procedimento para determinação da solução final destes sistemas está associado diretamente aos coeficientes das variáveis em cada uma das equações que compõe o respectivo sistema. Para ilustrar esta idéia, pode-se considerar o exemplo inicial apresentado na equação (1.1), i.e.

zyx zyx zyx (1.1)

Uma vez que a solução de (1.1) dependerá apenas dos valores numéricos que constituem cada um dos coeficientes das equações, pode-se representar este conjunto de números de uma forma ordenada que reproduza as informações necessárias para sua solução, sem a necessidade de se representar explicitamente o nome das variáveis x, y, z. Portanto, (1.1) poderia também ser representado na seguinte forma:

O arranjo numérico apresentado em (2.1) reproduz claramente o sistema de equações (1.1), e será denominado de matriz aumentada associada ao sistema (1.1). Neste caso a barra vertical foi utilizada para ressaltar que do lado esquerdo desta barra estão todos os números que compõe a matriz de coeficientes das equações do sistema, mantendo a mesma disposição do sistema (1.1). O lado direito da barra é composto pelos números que correspondentes aos termos independentes de cada uma das equações de (1.1).

Formalmente uma matriz será composta por arranjos de números, ordenadamente dispostos em linhas e colunas conforme apresentado em (2.3).

mnmm n n

(2.2)

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As matrizes serão representadas por letras maiúsculas enquanto os termos que as compõe serão representadas por letras minúsculas seguidas por dois índices que representam a posição de cada termo na matriz. O primeiro índice de cada termo representará a linha que o termo está posicionado enquanto o segundo índice representará a coluna. Seguindo esta lei de formação das matrizes, é direta a conclusão de que a matriz (2.2) é composta de m linhas e n colunas, sendo todos os termos da última linha representados na forma am* e todos os termos da última coluna representados por a* n, e um termo genérico associado a i- ésima linha e a j-ésima coluna A será representado por aij. A título de ilustração, se matriz apresentada em (2.1) também for chamada de A então

==342*ae A ,A

Quando nm≠ a matriz será chamada de retangular. Um caso particular ocorrerá quando nm= e a matriz será chamada de quadrada. Arranjos numéricos formados apenas por uma única linha ou coluna serão chamados respectivamente de vetor linha e de vetor coluna.

Para concluir este texto introdutório a teoria de matrizes, define-se o termo submatriz como sendo um arranjo numérico obtido pela exclusão de um conjunto de linhas e/ou colunas de uma dada matriz. Para exemplificar, considera-se a matriz B apresentada a seguir:

Pode-se dizer que a matriz B é uma submatriz de matriz A apresentada em (2.1), pois ela pode ser obtida a partir da exclusão da terceira linha e da primeira e da terceira coluna da matriz A.

Operações com Matrizes

Nas operações matriciais que serão definidas e apresentadas doravante, os valores numéricos individuais que serão utilizados para o preenchimento de cada elemento das matrizes serão considerados, sem perda de generalidade, pertencentes ao conjunto dos números complexos. Contudo, particularizações poderão ser feitas, isto é, sempre que for utilizada a letra ℜ será considerado especificamente o conjunto dos números reais e, da mesma forma, quando for utilizada a letra C será considerado o conjunto dos números complexos. Seguindo esta notação, o conjunto ordenado de n números reais, será denotado por ℜn, também chamado de n-upla de números reais, sendo o conjunto ordenado de n números complexos, denotado por Cn, chamado de n-upla de números complexos. Analogamente, ℜm x n e Cm x n denotarão as matrizes de dimensão m x n compostas, respectivamente, por números reais e complexos.

¾ Definição 2.1: Duas matrizes A e B serão ditas iguais se possuírem as mesmas dimensões e se cada um de seus valores numéricos associados as mesmas posições de linha e coluna em cada

uma das matrizes forem iguais, isto é aij = bij com i = 1, 2,, m e j = 1, 2, ..., n.

Adição de Matrizes

Sejam A e B matrizes de dimensões m x n, então a soma de A e B é definida como sendo a matriz A + B de dimensão m x n, obtida pela soma dos termos individuais de cada uma das matrizes associados as mesmas

para cada i = 1, 2,, m e j = 1, 2, ..., n.

1 [A+B]ij deve ser lido e interpretado como sendo o termo da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz [A+B]. No decorrer do texto esta notação será comumente utilizada.

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212 determinar A + B.

Propriedades da Adição de Matrizes

Sejam A, B e C matrizes de dimensões m x n, então são as válidas as seguintes propriedades: • Associativa: (A+B)+C = A+(B+C).

• Comutativa: A+B = B+A.

• Identidade Aditiva: Existe uma matriz 0 de dimensão m x n composta por zeros tal que A+0 = A.

• Inversa Aditiva: Existe uma matriz (-A) de dimensão m x n tal que A+(-A)=0.

C e c propriedades citadas no quadro acima..

Multiplicação de Matriz por Escalar

O produto de uma matriz A por um valor numérico qualquer α, denotado por αA, será definido como sendo a matriz resultante do produto de cada um dos termos de A pelo escalar α, tal que [αA]ij = α[A]ij.

32 e o escalar α = 4, determine αA.

Propriedades da Multiplicação de Matriz por Escalar

Sejam A, B matrizes de dimensões m x n, e α e β dois escalares, então são válidas as seguintes propriedades:

• Associativa: αβ(A) = α(βA).

• Distributiva: α(A+B) = αA+αB – A multiplicação escalar é distribuída sobre a soma matricial.

• Distributiva: (α+β)A = αA + βA – A multiplicação escalar é distribuída sobre a soma escalar.

• Identidade:1A = A – O escalar 1 é o elemento neutro da multiplicação de matriz por escalar..

65 43 21 , α e β quaisquer, verificar cada uma das propriedades apresentadas no quadro anterior.

Outra operação comum associada a álgebra matricial é a de transposição de elementos. Segue então a definição de matriz transposta.

Matriz Transposta

A matriz transposta de uma matriz A de dimensão m x n será denotada por AT e terá dimensão n x m. A matriz AT é obtida pelo intercâmbio das respectivas linhas e colunas da matriz A. Mais precisamente, se

A = [aij], então [AT]ij = aji.

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Quando uma matriz é composta por números complexos, é comum definir-se também uma matriz transposta composta pelos valores complexos conjugados, denominada de matriz conjugada transposta.

Matriz Conjugada Transposta

Seja A = [aij], a matriz conjugada será definida como sendo ][ijaA=, e a matriz conjugada transposta será definida por ][jiTaA=, doravante representada por A*..

Dada a matriz i

241 , determinar A*.

Prove que (A*)* = A Prove que para uma matriz composta somente por números reais A* = AT..

Propriedades das Matrizes Transposta e Conjugada Transposta

Sejam A, B duas matrizes de mesma dimensão, e α um escalar, então cada uma das propriedades apresentadas a seguir são válidas:

Ae A
BABAe BABA

Admita matrizes A, B de dimensões adequadas e um escalar α qualquer, e prove as propriedades apresentadas no quadro acima.

Algumas propriedades das matrizes transposta e conjugada transposta são exploradas quando se tratam de matrizes que apresentam o mesmo número de linha e de colunas. Estas matrizes são denominadas matrizes quadradas, e será definido a seguir algumas propriedades relacionadas à simetria destas matrizes.

Matrizes Simétricas

Seja A = [aij] uma matriz quadrada. • A é dita ser uma matriz simétrica sempre que A = AT, isto é, sempre que aij = aji.

• A é dita ser uma matriz anti-simétrica sempre que A = -AT, isto é, sempre que aij = -aji.

• A é dita ser uma matriz hermitiana sempre que A = A*, isto é, sempre que jiijaa=.

• A é dita ser uma matriz anti-hermitiana sempre que A = -A*, isto é, sempre que jiijaa−=.

Utilizando matrizes quadradas de ordem 2, construa exemplos numéricos de cada um dos casos de simetria apresentados no quadro acima.

Funções Lineares

No desenvolvimento das operações com matrizes, as funções lineares tem uma importância histórica que esta relacionada com o estabelecimento das regras de multiplicação entre matrizes, como será visto na seqüência do texto. Antes disso será apresentada a definição de funções lineares juntamente com as propriedades associadas a este tipo de função.

Considera-se então uma função genérica, denotada por f, responsável pela associação de pontos de um conjunto D – denominado domínio de f – a pontos de outro conjunto I – denominado de imagem ou contra-domínio de f. Uma função linear caracteriza-se por ser um tipo especial de função cujas propriedades são apresentadas no quadro dado a seguir.

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Funções Lineares

Uma função f que mapeia pontos de D em I será dita uma função linear sempre que f satisfizer as seguinte condições:

para todo x e y pertencente a D e para qualquer escalar α. Para dar alguns exemplos de funções lineares, considera-se as operação de derivação, ou seja:

fde dxdgdxdfdx

concluindo que o operador de diferenciação Dx(f)=df/dx é linear.

• Mostre, de forma análoga a realizada anteriormente para o caso da operação de derivação, que a operação de integração também é linear.

• Considere a operação de transposição de matrizes definida como f(Xn x m) = XT. Mostre que esta é uma função linear.

• O traço de uma matriz quadrada n x n A=[aij] é definido como sendo a soma de todos os termos da diagonal principal desta matriz, i.e.

i iiaAtraço 1

Mostre que a função f(Xn x n) = traço(X) é uma função linear. • Considere um sistema de equações lineares descrito na forma mnmnmm n n bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa como sendo uma função b=f(x), que mapeia n x x x em m b b b

Mostre que f(x) é linear. • Verifique se as equações das retas dadas a seguir, são funções lineares:

baxxf axxf

Combinações Lineares Sejam os escalares αj e as matrizes Xj, a expressão j jn X 1 é chamada de combinação linear das matrizes Xj.

De acordo com o que foi dito no parágrafo introdutório desta seção, as funções lineares ocupam um lugar histórico no desenvolvimento da operação do produto de matrizes. Por volta de 1855, um matemático

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 6 inglês chamado Arthur Cayley estava as voltas com um problema de funções lineares compostas. Tais funções eram genericamente descritas na forma

DxCx BxAxx

gxge

dxcx bxaxx x fxf

O problema em questão era o de compor uma outra função linear h(x) = f(g(x)), i.e.

xbDaBxbCaA

DxCx

BxAx fxgfxh

Após constatar a forma final de h(x), Cayley formulou o problema da matriz de coeficientes resultantes em h(x) como sendo o resultado do produto ordenado dos coeficientes das matrizes f(x) e g(x), ou seja bDaBbCaA DC BA dc ba surgindo daí a definição do produto entre matrizes.

Verifique que tipo de operação deve ser realizada entre as matrizes dos coeficientes de f(x) e g(x) de forma a resultar na matriz de coeficientes h(x) mostrada anteriormente.

Para sistematizar o procedimento realizado para multiplicação de matrizes, será considerado a multiplicação simples de uma linha genérica de uma matriz Am x p com uma coluna genérica de uma matriz Bp x n , i.e.

i*pj b b b

Be aaaAML21*

A partir daí, é definido o produto interno de Aj* e B*i da seguinte forma k kkppij babababaBA 1

21**L(2.3)

O resultado desta multiplicação constituirá o termo da j-ésima linha e da i-ésima coluna da matriz resultante (AB)m x n. Observe que para que exista uma correspondência elemento a elemento da linha Aj* com a coluna B*i, é necessário que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B.

Multiplicação de Matrizes

• Duas matrizes A e B serão denominadas conformáveis para multiplicação na ordem AB sempre que o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

• Para matrizes conformáveis para a multiplicação Am x p = [aij] e Bp x n = [bij], a matriz resultante do produto AB é definida é como sendo uma matriz composta por m linhas e n colunas, tal que o elemento j-ésima linha e da i-ésima desta matriz será calculado conforme (2.3).

• No caso em que as matrizes A e B não são conformáveis para a multiplicação, o produto AB não é definido.

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• Prove que a operação de multiplicação entre matrizes não é comutativa, isto é, BAAB≠, mesmo quando as matrizes A e B são quadradas. Uma vez que para matrizes A e B conformáveis esta prova pode ser realizada por inspeção, considere o caso especial em que

A e B são matrizes quadradas e genéricas, do tipo A = [aij] e B = [bij].

Uma vez definidas as propriedades da multiplicação entre matrizes, pode-se representar os sistemas de equações lineares na forma Ax = b, conforme apresentado no quadro a seguir.

Sistemas Lineares

Todo o sistema de equações lineares composto por m equações e n variáveis a serem determinadas (também chamadas de incógnitas),do tipo mnnmmm n n bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa pode ser convenientemente descrito como uma única equação matricial na forma Ax = b, sendo mnmm n n

,

x x x M

,e

b b b M

Com Am x n, xn x 1 e bm x 1.

21 C, calcular quando possível os seguintes produtos: (a) AB, (b) BA, (c) CB, (d) CTB, (e) A2, (f) B2, (g) CTC, (h) CCT, (i) BBT, (j) BTB, (k) CTAC.

Considere o seguinte sistema de equações:

x x x

(a) Escreva o sistema como uma equação matricial na forma Ax = b.

(b) Escreva a solução do sistema como um vetor coluna s e verifique, utilizando as regras de multiplicação matricial, que s satisfaz a equação Ax = b.

(c) Escreva b como sendo combinação linear das colunas de A.

Seja en x 1 um vetor coluna composto por n linhas, sendo todas as linhas deste vetor preenchidas por zeros, exceto a j-ésima linha. Admitindo uma matriz An x n, obtenha o resultado dos seguintes produtos: (a) Aej, (b) AeTj, (c) jTjAee.

Uma matriz quadrada U = [uij] é dita triangular superior sempre que uij = 0 para i > j, i.e., quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.

(a) Se A e B são duas matrizes triangular superior compostas por n linhas e n colunas, explique porque o produto AB também deve ser triangular superior.

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(b) Considerando as mesmas matrizes do item anterior, represente os elementos da diagonal principal da matriz AB.

(c) Uma matriz L = [lij] será dita triangular inferior quando lij = 0 para i < j. Verifique se o produto de duas matrizes triangular inferior de ordem n x n também resulta em uma matriz triangular inferior.

Propriedades da Multiplicação de Matrizes

• A(B+C) = AB + AC(distributividade à esquerda)
• (D+E)F = DF + EF(distributividade à direita)
• A(BC) = (AB)C(lei associativa)

Considerando A, B, C, D, E, F matrizes conformáveis, as seguintes operações são definidas:

• Prove que a multiplicação matricial é uma função linear. • Sendo A e B matrizes de dimensão n x n, determinar (A+B)2.

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