[apostila] Análise de Sistemas Lineares - PUCRS - aula03

[apostila] Análise de Sistemas Lineares - PUCRS - aula03

(Parte 1 de 2)

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 1

Aula 3 – Determinantes

Introdução Permutação Determinante

Propriedades do Determinante Expansão em Co-Fatores Regra de Cramer Problemas Propostos

Introdução

A função que associa um numero a uma matriz quadrada hoje é conhecida como determinante, foi inicialmente esboçado pelos Chineses 250 A.C. para resolver pequenos problemas de equações lineares, posteriormente o assunto foi retomado no Japão por Seki Kowa (1642-1708) e na Europa por G. W. Leibniz (1646-1716). Mas só com o A.L.Cauchy(1789-1857) que o assunto foi devidamente formalizado.. O estudo do determinante foi um tópico importante no desenvolvimento da matemática, porém não é um método tão eficiente para resolver equações lineares com grande numero de variáveis como é o método de eliminação de C.F. Gauss((1777-1855). Mesmo assim, o determinante fornece informações importantes sobre as matrizes. O próprio nome Matriz, dado por J.J. Sylvester (1814-1897) para o arrancho de números na forma de linhas e colunas deve-se ao determinante, como pode ser verificado com as próprias palavras de Sylvester,

"...um bloco retangular de termoso que não representa um determinante, mas é como se fosse uma

MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363- 370 ).

Uma permutação do conjunto de inteiros {1,2,, n} é um rearranjo destes inteiros em alguma

Permutação ordem sem omissões ou repetições.

Verificar que dado um conjunto de inteiros {1,2,, n} a quantidade de permutações permitidas é

dada por n! ou seja

122)-1)(n-n(n!⋅=L (3.1)

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Exemplo: Para o conjunto de números inteiros {1,2,3} existem seis permutações pois

Ocorre uma inversão numa permutação sempre que um inteiro maior precede um menor, para o exemplo dado (2,1,3) tem uma inversão e (3,2,1) tem três inversões pois:

(3,2,1) (3,1,2) (1,3,2) (1,2,3)

Quantas inversões tem as permutações? i. (.6,1,3,4,5,2) i. (2,4,1,3) i.. (1,2,3,4)

O sinal da permutação, σ(p), é definido em função da paridade do numero de inversões necessárias para a permutação, p, voltar a forma original ordenada, i.e.

inversões deimpar numero um de depois natural ordem a retorna p se1
inversões depar numero um de depois natural ordem a retorna p se1pσ(3.2)

Determinante

Definição de Determinante

Para uma matriz de dimensão n x n,, []ijaA= , o determinante de A é definido como sendo o numero escalar

a )p()Adet(L∑=σ(3.3)

onde σ(p) representa o sinal da permutação e p = (p1, p2,.…, pn) uma permutação da seqüência de números inteiros ordenados = (1 2,.…, n.).

• Determinante de uma matriz não quadrada não é definido. • O determinante da matriz A é notado como det(A) ou |A|.

Primeira inversão

Segunda inversão Terceira inversão

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Observe que cada termo npp2p1aaaL de (3.3) representa a multiplicação de um elemento de

todas as combinações de permutação entre os elementos da matriz

cada linha e com posicionamento em colunas diferentes da matriz A. Sendo que o somatório resulta em Exemplo: Seja matriz de dimensão 2 x 2,,

Existem 2! = 2 permutações de (1,2), especificamente {(1,2) (2,1)}, logo o det(A) contem dois termos

Como a permutação (1,2) é par (não tem inversões) e a permutação (2,1) é impar (tem uma inversão) verifica-se usando (3.2) que

Substituindo os sinais da permutação obtém-se a formula de determinante para matrizes 2x2

1211 a a

)Adet(−==(3.4)

Deduza a partir da definição (3.3) as formulas para o calculo do determinante das seguintes matrizes:

Para as matrizes n x n, desenvolva primeiro com matrizes 3x3 e depois avalie para o caso genérico.

n21 n

=(3.6)

n21 n

L = (3.7)

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Propriedades do Determinante

A definição (3.3) pode ser empregada para determinar e comprovar algumas as propriedades do determinante.

Propriedades do Determinante Sejam A matriz quadrada de dimensões n x n e k numero real,

• Se qualquer coluna ou linha de A tiver todos os elementos iguais a zero então det(A)=0.

• Se A têm duas linhas ou colunas iguais então det(A) = 0
• )det(Adet(A)T=(3.8)
• det(kA) =kndet(A)(3.9)

• Geralmente det(B)det(A)B)det(A+≠+

• B)det(A)det(det(AB)=(3.10)

Considerando que B é uma matriz quadrada de mesmas dimensões que A, então: Considerando que B é uma matriz qualquer e A e D são matrizes quadradas, então:

21 A, Verifique:

i. det(A+B) com det(A)+det(B) i. det(A+C) com det(A)+det(C) i. det(AB) com det(A)det(B) iv. det(AC) com det(A)det(C)

Operações elementares com Linhas

Sejam A e B matrizes quadradas de dimensões n x n, onde B e obtida a partir da aplicação de operações elementares com linhas sobre a matriz A, tem-se que

• Se a operação elementar for do tipo “Troca da i-ésima linha com a j-ésima linha” então

())Adet(Bdet−=(3.12)
())Adet(Bdetα=(3.13)

• Se a operação elementar for do tipo “Multiplicação de uma linha por α≠ 0” então

• Se a operação elementar for do tipo Substituição da j-esima linha pela combinação dela própria adicionada a uma linha múltipla da i-ésima então

())Adet(Bdet= (3.14)

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A propriedade )det(Adet(A)T=,mostra que não é necessário distinguir linha ou coluna quanto se discute propriedades do determinante, logo os efeitos verificados com as operações elementares com linhas também são validos nas operações elementares com colunas.

O determinante é uma função que relaciona uma matriz quadrada com um numero. Para matrizes de pequena dimensão o uso da definição (3.3) é suficiente para realizar o calculo do determinante. Porém quando a complexidade do problema envolve matrizes de grande dimensão, o calculo do determinante usando a definição pode ser tedioso e inviável de ser realizado. Por exemplo, para calcular o determinante de uma matriz 25 x 25 envolveria 25! Permutações, ou seja, em torno de 1025 operações. Um método simples de evitar o trabalho do calculo do determinante a partir da definição é empregar as operações elementares de linhas (ou colunas) para transformar a matriz original numa matriz triangular superior. O calculo do determinante na forma triangular pode ser realizado diretamente por (3.7). Sempre é possível reescrever a matriz na forma triangular superior empregando operações elementares de linhas através de substituições e trocas de linhas (ou colunas), então conforme as propriedades de operações com linhas (ou colunas), sabe-se que a relação entre o determinante da matriz A original e o determinante da matriz B reescrita na forma triangular é

)Adet()1()Bdet(r−=(3.15)

onde r é o numero de trocas de linhas(ou colunas) efetuadas para obter a forma triangular.

Aplicando a propriedade )det(Adet(A)T= é possível estender o método para a forma triangular inferior. Pode ser mostrado que o calculo de um determinante de uma matriz de dimensão n x n, usando operações elementares requer cerca de 2n3/3 operações aritméticas. Para o exemplo citado de uma matriz 25 x 25 são necessárias em torno de 104 operações no lugar das 1025 operações necessárias com o uso da definição (3.3).

Calcule os determinantes das matrizes usando as operações elementares de linhas:

i.

A redução de uma matriz quadrada a forma triangular superior (ou inferior) usando operações elementares também é útil como método para identificar seu posto (rank) e sua singularidade. A Figura 1 mostra duas matrizes quadradas A e B, onde ∗ representa números sem qualquer restrição, • representa números com valores distintos de zero e 0 representa números com valor zero.

A

Fig. 1:Redução de uma matriz A a forma triangular superior B.

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Suponha que a matriz A tenha sido transformada para uma forma triangular superior B empregando operações elementares de linhas através de substituições e trocas de linhas (ou colunas), então empregando (3.15) pode calcular indiretamente o determinante da matriz A através do determinante da matriz B.

Calculando o determinante da matriz B usando (3.7) verifica-se que det(B) ≠ 0 pois todos os elementos da diagonal principal são diferentes de zero. Conseqüentemente a matriz A também tem

singular e tem determinante diferente de zero

det(A) ≠ 0. Alem disso, verifica-se que na matriz B é não-singular, pois não há nenhuma possibilidade de uma linha seja combinação linear de outra e, portanto o rank(B) é completo. Como as operações elementares não modificam o rank da matriz conclui-se que A: tem rank completo, é uma matriz não

Na Figura 2 a forma triangular superior resultante possui pelo menos um elemento nulo na diagonal superior. Neste caso, o determinante da matriz B é nulo e conseqüentemente também é nulo o determinante da matriz A. O rank de B não é completo, pois necessariamente existem linhas que são combinações lineares de outras. Neste caso a matriz original A tem rank incompleto, é uma matriz singular e tem determinante igual a zero.

Fig. 2: Forma triangular superior com um elemento nulo na diagonal principal.

No caso apresentado pela Figura 2, é possível calcular o rank da matriz B e conseqüentemente o rank da matriz A original avaliando o numero de elementos nulos presentes na diagonal principal, i.e.

d-nrank(B)=(3.16)

onde n representa a dimensão da matriz quadrada B e d representa o numero de zeros da diagonal principal.

Singularidade e Determinantes Considerando que A seja uma matriz quadrada de dimensões n x n,

Se det(A) ≠ 0 são afirmações equivalentes dizer que a matriz A:

• É não singular;

=(3.17)

• Tem rank completo igual a n;

• Todas as linhas e colunas de A são linearmente independentes. Se det(A) = 0 são afirmações equivalentes dizer que a matriz A:

• É singular;

• Não existe A-1;

• Tem rank incompleto menor que n;

• Existem linhas ou colunas de A que são linearmente dependentes.

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No processamento computacional, pode-se encontrar, ocasionalmente, uma matriz quase singular ou malcondicionada - uma matriz que pode se tornar singular se algum elemento for alterado ligeiramente. Nesse caso, a diagonal principal da matriz na forma triangular pode apresentar algum elemento nulo devido a erro de arredondamento. Uma matriz quadrada é chamada de singular se e somente se seu determinante é zero, caso contrario a matriz é chamada de não-singular. Entretanto é falso afirmar que uma matriz com determinante próximo de zero tende a ser malcondicionada. Também é falso afirmar que uma matriz com determinante diferente de zero não tente a ser malcondicionada. Vamos aos exemplos:

0n é malcondicionada, pois a segunda linha tente a zero quando o valor de n aumenta, entretanto det(A)=1.

01/n não é malcondicionada mesmo quando o valor de n aumenta e o determinante,

A que não é uma matriz singular.

Avalie numericamente qual o valor de n usado para que as nas matrizes A e B não sejam consideradas malcondicionadas. Considere que todas as operações são realizadas com truncamento em 2 casas decimais (exemplo: 2/3 = 0.6)

01/n B

Solução de um Sistema de Equações Lineares na forma Ax = b Se A é uma matriz quadrada com det(A) ≠ 0 , pode-se afirmar que:

• Ax = 0, só tem solução trivial x =0;

• Ax = b, tem exatamente uma única solução x para cada vetor coluna b.

Use determinante para encontrar os valores de α para que o sistema possua uma única solução x x xα

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Expansão em Cofatores

Para se calcular o determinante de uma matriz pode-se empregar a definição (3.3) ou empregar o método das operações elementares de linhas (ou colunas) para transformar a matriz original numa matriz triangular superior (ou inferior). Outra maneira de calcular o determinante é chamada de Expansão em Cofatores1. Para analisar esse método, inicialmente será reproduzida a equação (3.5) que representa o determinante de uma matriz de dimensão 3 x 3:

Reescrevendo (3.5), de maneira arranjar seus termos em relação aos coeficientes da primeira linha, tem-se:

Em (3.18) pode-se verificar que cada elemento da primeira linha da matriz multiplica um produto de coeficientes das outras linhas e colunas da matriz. Além disso, esse produto é também um determinante de uma matriz de dimensão 2x2 formada exatamente pelas linhas e colunas que não pertencem ao elemento da primeira linha em questão, ou seja:

+−=(3.19)

Observe que o determinante da matriz A com dimensão 3x3 pode ser expresso em função dos determinantes de submatrizes 2x2,

)det()det()det()det(131312121111AaAaAaA+−=(3.20)

Determinante menor de uma matriz

O determinante das submatrizes é chamado de determinante menor ou simplesmente menor, pois tem dimensão menor que a matriz a qual se deseja efetivamente calcular o determinante. O menor é definido como:

• )det(ijijAM=(3.21)

onde Aij é a submatriz de A construída retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Substituído (3.21) em (3.20) obtém-se uma nova maneira de calcular o determinante de uma matriz de dimensão 3 x 3 empregando determinantes menores de dimensão 2x2, i.e.

131312121111)det(MaMaMaA+−=(3.2)

1 Em 1772, Pierre-Simon Laplace (1749-1827) apresentou a formulação da expansão em cofatores também conhecido como expansão de Laplace.

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Para calcular determinantes de matrizes de dimensão n x n, recorre-se ao mesmo procedimento reduzindo o problema ao calculo de determinantes de matrizes de dimensão n – 1. Podemos, então, repetir o processo para essas matrizes (n-1) x (n-1) até obter matrizes 2 x 2.

Complemento Algébrico ou Cofator

Para facilitar o calculo do determinante de matrizes de ordem superior define-se o cofator para identificar as inversões de sinal dos coeficientes da linha ou coluna usada para realizar a expansão representarem permutações impares. Portanto o cofator ou complemento algébrico de de um coeficiente aij é dado por

jiijA+−=∆(3.23)
131312121111)det(∆+∆+∆=aaaA(3.24)

Substituído (3.23) em (3.2) e, tem-se: Calcule o determinante da Matriz A usando a expansão em cofatores em relação a primeira linha:

Compare o resultado com o determinante calculado a partir de (3.5).

Na expansão em cofatores para o calculo do determinante foi utilizado a multiplicação dos coeficientes da primeira linha da matriz pelos seus cofatores e somando os produtos resultantes. Generalizando para uma matriz de dimensão n x n pode-se verificar que também é valido utilizar quarquer linha ou coluna para realizar a expansão, ou seja:

ij n

)det(ou ij
)det((3.25)

Calcule o determinante da Matriz A usando a expansão em cofatores:

i. Considerando os coeficientes da terceira linha; i. Considerando os coeficientes da segunda coluna.

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Inversa de uma Matriz usado a Adjunta Se A tem det(A) ≠ 0 e é uma matriz de dimensão n x n com dada por n n e ∆ij é o cofator de aij , então a matriz n n é chamada de matriz de cofatores de A. A transposta desta matriz é chamada de Matriz adjunta de A e é denotada por adj(A)

nI)Adet(A)A(adj)A(adjA⋅=⋅=⋅(3.28)

O produto da matriz adjunta de A com a matriz A é dado por Logo, a matriz inversa de A pode ser calculada usando

1A1=−(3.29)

i. Empregando a matriz adjunta, determine uma equação genérica para calcular a matriz ba A, considerando que a matriz A é não-singular.

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Exemplo: Determine a inversa da matriz

Solução: Com a matriz é de dimensão 3 x 3, existem 3! permutações possíveis logo deve-se calcular nove cofatores:

Olhando para os índices dos cofatores verifica-se que 5 permutações são pares e portanto não há inversão de sinal.

3331221311∆∆∆∆∆ e nas 4 permutações impares aplica-se a inversão de sinal ë claro que aplicando )det()1(ij jiijA+−=∆, a definição da inversão ou não aplicada aos determinantes menores é direta.

Os nove cofatores são

32

Logo a matriz de cofatores é

A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores,

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O calculo do det(A) é realizado aplicando a expansão em cofatores em uma linha ou em uma coluna da matriz A. Aplicando na primeira linha, tem-se:

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