[apostila] Análise de Sistemas Lineares - PUCRS - aula05

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(Parte 1 de 2)

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 1

Aula 5 – Espaços Vetoriais

Introdução Representação de Vetores Espaços Vetoriais e Subespaços

Geração de Espaço Subespaços Importantes Problemas Propostos

Introdução

Ao final do século XIX, após o estabelecimento das bases matemáticas da teoria de matrizes, foi observado que várias entidades matemáticas que eram tratadas de forma diferentes possuíam propriedades semelhantes, o que motivou os matemáticos da época a criarem uma teoria consistente que viabilizasse um tratamento uniforme a tais entidades. Como exemplo, vetores pertencentes ao ℜ2 e ao ℜ3, funções polinomiais e funções diferenciáveis apresentam as mesmas propriedades de adição e da multiplicação por escalar, observadas para o caso matricial. Tal constatação deu origem à definição de espaço vetorial.

“Historicamente contextualizado, a idéia original associada a definição de espaço vetorial foi publicada em 1844, por Hermann Grassmann (1808-1887), teólogo e filósofo polonês. Na época em que publicou seu trabalho, não houve muita repercussão, e somente 4 anos depois da publicação do trabalho de Grassmann é que o matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) publicou uma interpretação condensada dos conceitos estabelecidos por Grassmann. No entanto, as definições correntes de espaço vetorial, subespaço vetorial, bases e dimensão foram estabelecidas por um matemático alemão chamado Hermann Weyl (1895-1955), que reconheceu a magnitude e a importância do trabalho originalmente proposto por Grassmann.”

Espaços Vetoriais e Subespaços

Em linhas gerais, um espaço vetorial é composto por conjuntos V e F, em que são definidas duas operações algébricas chamadas de adição vetorial e multiplicação escalar, tal que:

• V é um conjunto não vazio de objetos denominados de vetores; • F é denominado de campo escalar – este campo não é restrito somente a valores reais, fazendo parte de F os números complexos; • Adição vetorial (denotada por uv+) é uma operação caracterizada entre os elementos de V;

• Multiplicação escalar (denotada por vα) é uma operação entre os elementos de F e V.

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Definição de Espaço Vetorial

Semelhante ao procedimento adotado junto as propriedades relacionadas às operações algébricas com matrizes, a definição de espaço vetorial seguirá um conjunto de operações de adição entre os elementos V (A(1)-A(5)) e multiplicação entre elementos de F e V (M(1)-M(5)), apresentas a seguir:

• (A1) ∈+vu V, para todo u e v ∈ V . Esta propriedade é denominada de (closure property for vector addition), ou propriedade da clausura ou do fechamento da adição; • (A2) ()()wvuwvu++=++, para todo wvu,, ∈ V;

• (A3) uvvu+=+ para todo vu, ∈ V;

• (A4) Existe um elemento nulo ∈ V, denotado por 0, tal que v=+0, para todo v ∈ V ;

• (M1) αv ∈ V, para todo α ∈ F e v ∈ V; • (M2) ()()vβααβ= para todo α, β ∈ F e v ∈ V;

• (M3) ()vuvuααα+=+ para todo α ∈ F e vu, ∈ V;

• (M4) ()vβαβα+=+ para todo α, β ∈ F e v ∈ V;

• (M5) v=1 para todo v ∈ V.

Se todas estas propriedades forem satisfeitas, V é dito ser um espaço vetorial sobre F.

Exemplo 5.1:

Uma vez que (A1)-(A5) e (M1)-(M5) são generalizações das propriedades apresentadas para o caso matricial, é direto concluir-se que:

• O conjunto de matrizes ℜm x n de matrizes compostas por m linhas e n colunas é dito ser um espaço vetorial sobre ℜ;

• O conjunto de matrizes Cm x n de matrizes compostas por m linhas e n colunas é dito ser um espaço vetorial sobre C;

O caso matricial é uma generalização da operação sobre vetores que poderão ser ℜn x 1, caso de vetores com n linhas e uma coluna, ou de vetores ℜ1 x n, caso de vetores com uma linha e n colunas. No entanto, conforme foi dito na seção introdutória, o conceito associado a espaços vetoriais é mais amplo, estendendose para outros tipos de estruturas matemáticas, como se pode observar no exemplo 5.2:

Exemplo 5.2:

Com (A1) e M(1) satisfeitas, não é difícil concluir que as outras propriedades também serão satisfeitas, caracterizando o conjunto de polinômios em “s”, com coeficientes reais, de grau dois como sendo um espaço vetorial.

De forma resumida, pode-se concluir que na definição de espaço vetorial existe o cuidado na descrição do comportamento algébrico das entidades matemáticas que o constituem. Se estas entidades possuem características comuns, regidas pelas propriedades (A1)-A(5) e (M1)-(M5), então elas constituirão um espaço vetorial.

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Definição de Subespaço

Um subconjunto não vazio S ⊆ V, que satisfizer as propriedades (A(1)-A(5)) e (M(1)-M(5)), será denominado de subespaço S de V. Para verificar se S consiste em subespaço de V basta verificar se (A1) e (M1) são satisfeitas, ou seja:

• (A1) SvuSvu∈+⇒∈,; • (M1) SvSv∈⇒∈αpara todo α ∈ F.

Dado o espaço vetorial V, o conjunto {}0=Z contendo somente o vetor zero é um subespaço de V porque (A1) e (M1) são trivialmente satisfeitas. Desta forma, este subespaço será denominado de subespaço trivial.

Exemplo 5.3:

A adição vetorial no ℜ2 e ℜ3 estabelece que a soma de dois vetores é um vetor formado pela diagonal do paralelogramo, conforme apresentado na Figura 5.1 para o caso do ℜ2.

Figura 5.1: Adição de dois vetores no ℜ2.

A operação de soma vetorial de vetores com o ponto inicial localizado na origem do ℜ2 ou do ℜ3 caracterizam um subespaço pois satisfaz as propriedades (A1) e (M1), além de conter também o subespaço trivial. O mesmo exemplo pode ser estendido para o caso de soma de vetores com ponto inicial na origem do ℜ3, apresentado na Figura 5.2.

Figura 5.2: Plano P definido no ℜ3, contendo os vetores u, v, vu+ e vα.

xvx vy wx ux wy uy w v u v vu+ vα

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A Figura 5.2 ilustra de forma geométrica que para vetores u e v contidos no plano P que passa pela origem do ℜ3, (A1) e (M1) se verificam. Neste exemplo, o subespaço trivial também pode ser obtido pela operação ()0=−+u, sendo u um vetor qualquer contido em P.

Como contra exemplo, pode-se considerar linhas e/ou planos, que não contém a origem. Nestes casos o subespaço trivial não estará incluído, o que os impedem de serem classificados como subespaços. Desta forma, conclui-se também que qualquer exemplo candidato a subespaço deverá, necessariamente, conter o subespaço trivial.

Outro contra exemplo que pode ser geometricamente representado é o de uma linha curva que contém a origem, conforme ilustração apresentada na Figura 5.3.

Figura 5.3: Exemplo de uma linha curva que contém a origem.

Também no caso apresentado na Figura 5.3, observa-se claramente que A(1) não é satisfeita, inviabilizando a possibilidade de linha curva ser considerada como um subespaço do ℜ2. Seguindo a idéia apresentada nos exemplos discutidos e geometricamente representados para os casos do ℜ2 e ℜ3, pode-se concluir que subespaços são superfícies planas que passam pela origem do espaço em questão. Este conceito pode ser estendido para espaços de dimensão superior a três.

Geração de Espaços

Para um conjunto de vetores {}rvvvS,,,21…= pertencentes ao espaço vetorial V , o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos svi' será denotado por:

{}FvvvSspanirr∈+++=αααα…21)((5.2)

A equação (5.2) refere-se portanto ao espaço vetorial gerado pelo conjunto de vetores S. Deve-se notar que span(S) é um subespaço de V , pois é simples de se verificar que A(1) e M(1) são satisfeitas considerando o conjunto de vetores S. Para exemplificar, considera-se um vetor v ∈ ℜ3. O espaço gerado por{}vS= é uma linha reta, contendo a origem do ℜ3 com a mesma direção de v, conforme ilustrado na Figura 5.4.

Figura 5.4: Representação do espaço gerado por S.

v span(S) u v vu+

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Vetores Geradores de Espaço Para o conjuntos de vetores {}rvvvS,,,21…=, o subespaço gerado pela combinação linear de todos os vetores de S é chamado de espaço gerado por S. Se V é um espaço vetorial tal que V = span(S), diz-se que S é o conjunto de vetores geradores de V, ou seja, S gera V uma vez que qualquer vetor em V é uma combinação linear dos vetores de S.

Exemplo 5.4: (i) Na Figura 5.2, {}vuS,= constitui um conjunto de vetores geradores do plano P. Verifique.

1 S geram uma reta xy= no ℜ2.

(i) Os vetores unitários geram ℜ3.

Exemplo 5.5: Considere o sistema de equações lineares apresentado a seguir:

Este sistema, descrito na forma bxA= possui como componentes da matriz A os vetores = 21

2a. A questão de interesse é se estes vetores que compõe A podem representar qualquer ponto do

ℜ2 ou, em outras palavras, se {}21,aaS geram ℜ2. Para responder esta questão, será realizada a b b no ℜ2, conforme apresentado na

Figura 5.5.

Figura 5.5: Representação gráfica dos vetores 1a, 2a e b.

Observa-se pela Figura 5.5 que a combinação adequada dos vetores 1a e 2a podem gerar qualquer ponto do ℜ2, pois o vetor 1a ao ser multiplicado por um escalar α1 resultará em Na1. Da mesma forma, 2a quando multiplicado por um escalar α2 resultará em Na2. A soma vetorial de Na1 e Na2

Na2 Na1

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 6 resultará em b. O módulo dos escalares α1 e α2 podem ser determinados por inspeção, tomando por base a Figura 5.5, ou seja:

aN=α(5.4)

O sinais de α1 e α2 serão positivos se as componentes Na1 e Na2, cuja soma vetorial tem por resultante o vetor b forem, respectivamente, orientadas com o mesmo sentido de 1a e 2a. Este é um caso em que os vetores 1a e 2a que compõe, respectivamente, a primeira e a segunda coluna da matriz A são ditos, linearmente independentes. Sistemas de n equações lineares representados na forma bxA=, em que a matriz A é composta por n linhas e n colunas e, suas colunas são linearmente independentes, tem solução direta na forma

bAx1−=(5.5)

Uma vez que para estes casos existirá a matriz inversa de A, conclui-se que a matriz A deverá ser não- singular e portanto o conjunto de vetores {}naaaS,,,21…= poderão representar qualquer ponto de um espaço de dimensão n.

Soma de Subespaços

Seja X e Y dois subespaços de um espaço vetorial V , então a soma de X e Y é definido como um conjunto de todas as possíveis somas dos vetores de X com os vetores de Y . Isto é

• A soma X+ Y é ainda um subespaço de V ; • Se YXSS,geram X e Y , então YXSS∪ gera X+Y .

Exemplo 5.6:

Se X ⊆ ℜ2 e Y ⊆ ℜ2 são subespaços definidos por duas diferentes retas que passam pela origem, então X+Y = ℜ2. Esta conclusão segue diretamente pela regra do paralelogramo, apresentada no exemplo 5.5.

Exercícios: 1. Determine qual dos subconjuntos do ℜn são, de fato, subespaços do ℜn.

(i) {}0≥ix(i) {}01=x (ii) {}021=xx (iv)

jxx

(i) As matrizes simétricas(i) Matrizes Diagonal (ii) Matrizes Triangulares

2. Determine qual dos seguintes subconjuntos do ℜn x n são de fato subespaços do ℜn x n. (iv) Matrizes Triangulares Superior

3. Se X é um plano passando através da origem no ℜ3 e Y é uma reta que passa pela origem e é perpendicular a X , o que se pode afirmar sobre X+Y .

4. Esquematize uma figura no ℜ3 dos subespaços gerados pelos seguintes conjuntos de vetores:

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(i)

(i) (){}1(i) ()(){}100,001

Subespaços Fundamentais

Serão apresentados a seguir alguns subespaços classificados de “fundamentais”, por terem seu uso bastante difundido em diferentes aplicações relacionadas a álgebra linear. Considera-se inicialmente a definição de subespaços de funções lineares.

Subespaços e Funções Lineares Para uma função linear f que mapeia o ℜn no ℜm, seja R(f) = {)(xf | x ∈ ℜn} ⊆ ℜm, é o conjunto de todas as “imagens” geradas para qualquer x pertencente ao ℜn.

• R(f) de uma função linear mnfℜ→ℜ: é um subespaço do ℜm, e todo o subespaço do ℜm pode ser considerado como sendo o espaço imagem de uma função linear.

Um caso particular em que se aplica o conceito de espaço imagem definido no quadro anterior é dos sistemas lineares onde se tem xAxf=)(, definido no quadro apresentado a seguir.

Espaços Imagem de A

O espaço imagem de uma matriz A ∈ ℜm x n é definido como sendo o subespaço R(A) do ℜm gerado pelo conjunto de vetores xAxf=)(, ou seja:

De forma similar, o espaço imagem de AT é um subespaço do ℜn definido por { } nmTT yyAAR ℜ⊆ℜ∈= |)( .

Seguindo as definições de espaço imagem gerados por R(A) e R(AT), é apresentado no quadro a seguir as definições de espaço coluna e de espaço linha.

Espaços Coluna e Linha de A Para matriz A ∈ ℜm x n são válidas as seguintes definições:

• R(A) = Espaço gerado pelas colunas de A (chamado de espaço coluna)

• R(AT) = Espaço gerado pelas linhas de A (chamado de espaço linha)

• xAbARb=⇔∈)( para algum nxℜ∈.

• yAaARaTT=⇔∈)( para algum myℜ∈

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Para avaliar os subespaços gerados pelos conjuntos de vetores },,,{21raaa… e },,,{21sbbb…, todos vetores pertencentes ao ℜn, o procedimento utilizado consiste em realizar o escalonamento por linhas das matrizes A e B cujas linhas são compostas, respectivamente, pelos elementos dos vetores sai' e sbi'. Para exemplificar considera-se o exemplo em que

Neste caso, as matrizes A e B serão as seguintes:

Linhas por ntoEscaloname

Linhas por ntoEscaloname

Uma vez que as linhas diferentes de zero de EA são iguais as linhas diferentes de zero de EB, pode-se dizer que o espaço gerado pelo conjunto de vetores },,,{21raaa… é igual ao espaço gerado pelo conjunto de

Geração de Espaços Linha e Coluna de A

Para matriz A ∈ ℜm x n, seja EA a forma escalonada derivada da matriz A. O conjunto de vetores geradores de espaço linha e de espaço coluna de são os seguintes:

• O conjunto de linhas diferentes de zero de EA geram R(AT). • As colunas básicas de A geram R(A).

Para exemplificar a forma de determinação dos vetores geradores de espaço linha e de espaço coluna de uma matriz A considera-se a seguinte matriz:

Linha por ntoEscaloname A

Após o escalonamento, as linhas diferentes de zero da matriz escalonada serão empregadas para composição dos vetores que irão compor o espaço linha de A, R(AT), ou seja:

spanART

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O procedimento utilizado para determinação dos vetores geradores do espaço coluna de A é realizado mediante a utilização de elementos denominados pivôs1 da matriz escalonada EA. Para este exemplo, os pivôs são os elementos da primeira linha e primeira coluna da matriz EA e o elemento da segunda linha e da terceira coluna da matriz EA. O posicionamento em relação às colunas da matriz escalonada em que se encontram os pivôs (neste caso colunas 1 e 3), definiram quais são às colunas básicas de A que irão determinar o espaço coluna de A, R(A). No caso do exemplo realizado, R(A) é o seguinte:

Outro subespaço fundamental é o denominado espaço nulo. Considerando então uma função linear que mapeia ℜm no ℜn, o espaço nulo será definido por que caracterizam diretamente um subespaço, uma vez que as propriedades (A1) e (M1) são satisfeitas.

Espaço Nulo de uma matriz A

Para matriz A ∈ ℜm x n, o conjunto {}n xnxAxANℜ⊆==0|)(1 é denominado de espaço nulo de A.

Em outras palavras, o espaço nulo de A é o conjunto de todas as soluções homogêneas do sistema 0=xA. De uma forma mais geral, considerando f(x) uma função linear que mapeia o ℜm no ℜn, o espaço nulo da f(x), denotado por {}0)(|)(==xfxfN, é o conjunto de todos os vetores x que são mapeados em 0. Estes vetores formarão um subespaço denominado de “kernel” ou “núcleo” da f(x).

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