[apostila] Análise de Sistemas Lineares - PUCRS - aula05

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(Parte 2 de 2)

Exemplo 5.7 Como exemplo, pode-se determinar o conjunto de vetores geradores do espaço nulo N(A), sendo

Linhapor ntoEscaloname

O espaço coluna desta matriz, R(A), será dado pela primeira coluna da matriz, posição da coluna do único pivô da matriz escalonada EA, isto é

Da mesma forma, o espaço linha desta matriz será dado por

A determinação do espaço nulo de A será realizado por construção, tendo em vista que a condição que deverá ser satisfeita para determinação de N(A) é que 0=xA. Desta forma, a primeira linha da matriz escalonada multiplicada pelo vetor x deve ser zero. Para este exemplo não há porque se preocupar com a

1 Após o processo de escalonamento por linhas de uma matriz, o primeiro elemento não nulo das linhas que não forem constituídas unicamente por zeros, será denominado de pivô ou líder da respectiva linha.

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 10 segunda linha de EA, pois ela é composta unicamente de zeros. A determinação do espaço nulo de A será realizado para a matriz escalonada por linhas, portanto deve-se determinar o vetor x que deverá satisfazer a relação 0=xEA, ou seja:

x x

Por inspeção, a segunda linha do vetor resultante do produto xEA é zero, pois a segunda linha da matriz

AE é toda composta por zeros. Portanto, os componentes do vetor x devem ser determinados de forma a satisfazer a seguinte condição:

A variável associada a coluna que contém o pivô de cada uma das linhas da matriz escalonada é denominada de variável básica, enquanto as demais serão ditas variáveis livres. Neste exemplo, a variável básica é 1x sendo as variáveis 2x e 3x variáveis livres. Para que (5.6) seja satisfeita, a variável 1x deverá ser composta por

x(5.7)

32 x x x ou ainda

32xxx(5.8)

12 A Figura 5.6, apresentada a seguir, representa os subespaços associados ao espaço linha de A, R(AT) e N(A).

Figura 5.6: Representação de R(AT) e N(A).

x2 P u v

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 1

A Figura 5.6 apresenta um esboço do subespaço gerado pelo espaço linha R(AT), e o subespaço gerado pelos vetores pertencentes ao espaço nulo de A, N(A), respectivamente representados pelos vetores w, e pelo plano P que contém os vetores v e u. As projeções do vetor w nos planos x1x2 e x1x3 são apresentadas nas figuras 5.7 e 5.8.

Figura 5.7: Projeção de w no plano x1x2. Figura 5.7: Projeção de w no plano x1x3.

Observe que o espaço nulo gerado neste exemplo contém todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear dos vetores u e v, que definem o plano P apresentado na Figura 5.6. Ademais, pode-se concluir que o espaço nulo de A, N(A), será constituído pelo conjunto de vetores que formam o complemento ortogonal do espaço linha de A, R(AT).

Problemas Propostos

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 12

Bibliografia

[1] Meyer, C.D., Matrix Analysis and Applied Linear Álgebra, Society for Industrial and Applied Mathematics. [2] Lay, D.C., Álgebra Linear e suas Aplicações, Livros Técnicos e Científicos – LTC Editora, Segunda Edição. [3] Kolman, B., Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, Prentice-Hall do Brasil, Sexta Edição.

[4] Howard, A. & Rorres, R., Álgebra Linear com Aplicações, Editora Bookman, Oitava Edição.

[5] Boldrini, J.L., Costa, S.I.R, Figueiredo, V.L., Wetzler, H.G., Álgebra Linear, Editora Harbra, Terceira Edição.

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