[apostila] Análise de Sistemas Lineares - PUCRS - aula08

[apostila] Análise de Sistemas Lineares - PUCRS - aula08

(Parte 1 de 2)

Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 1

Aula 8 – Representação de Sistemas Dinâmicos por Variáveis de Estado

Introdução Descrição Matemática Representação de Sistemas Dinâmicos por Variáveis de Estado Diferentes Representações de um Mesmo Sistema Dinâmico Exercícios

Introdução

No cenário da automação de processos, pode-se dizer que o conceito relacionado a realimentação é o ponto de partida, aquele que compõe a base da pirâmide que sustenta a “cadeia da automatização”. A idéia de medir a variável de saída de um dado processo, compará-la com uma variável de “referência” e, com base na diferença entre estas variáveis atuar de alguma forma na entrada do processo é algo bastante intuitivo e, comprovadamente, eficiente. Com base nesta constatação, desde o surgimento do primeiro sistema de controle realimentado que se tem notícia, até recentemente, todas as ferramentas desenvolvidas para a análise e projeto de controladores levava em conta apenas as características de entrada e saída dos processos. Muitas destas ferramentas baseavam-se em análise gráfica, via de regra, avaliando o comportamento dos sistemas no domínio da freqüência. Visto desta forma, caracterizou-se o chamado controle clássico, ou freqüencial. Contudo, as ferramentas desenvolvidas dentro do “controle clássico” limitam-se apenas ao seu emprego junto a sistemas lineares e invariantes no tempo.

A necessidade de desenvolver ferramentas para análise e projeto de controladores para sistemas com características não-lineares e/ou com parâmetros variantes no tempo, deu origem ao controle moderno, cujo enfoque é desenvolvido no domínio do tempo. No controle moderno, descreve-se as equações diferenciais temporais de todas as variáveis dinâmicas do processo, denominadas “variáveis de estados”. A descrição matemática destas variáveis requer um conhecimento físico global do processo, sendo necessária uma etapa preliminar de modelagem do mesmo. Contudo, o conhecimento de cada uma das variáveis de estado oferece ao projetista todas as condições de conceber uma estrutura de controle perfeitamente adequada as necessidades de desempenho estabelecidas, proporcionando inclusive a possibilidade de projetos de controladores baseados em critérios de otimalidade.

Descrição Matemática

A representação de um determinado processo por “variáveis de estado”, traz consigo a necessidade da compreensão física de todos os fenômenos que fazem parte do processo e sua respectiva tradução em uma linguagem matemática formal. O resultado deste procedimento, denominado modelagem, é um conjunto de equação diferencias lineares ou não-lineares, com parâmetros variantes ou invariantes no tempo, que será exemplificado através do entendimento do princípio de funcionamento e posterior modelagem de uma máquina DC [1], apresentado a seguir.

Para se entender o funcionamento de uma máquina DC, deve-se relembrar do que ocorre com um condutor elétrico de comprimento l , o qual circula uma corrente elétrica i, quando submetido a um campo magnético de densidade B, conforme esquema apresentado na figura 8.1. Naquela figura observa-se que o condutor elétrico referenciado anteriormente sofre a ação de uma força F, resultante da interação de fenômenos magnéticos, evidenciado pela presença do campo magnético de densidade B, e de fenômenos

Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 2 elétricos, evidenciado pela corrente i que circula no condutor elétrico. Esta força é matematicamente representada pela equação (8.1).

BilF=(8.1)

Pólo Norte Pólo Sul

Corrente i

Força F Campo Magnético B

Fig. 8.1: Princípio de funcionamento do motor DC.

Se for imaginado que os pólos norte e sul do imã permanente da figura 8.1, tem suas partes internas geometricamente projetadas tal que resultem em duas semicircunferências de raio r, imaginando-se também que o condutor elétrico o qual circula a corrente i é uma bobina disposta internamente a estas duas semicircunferências, pode-se constatar que existirá por efeito da força F, um torque de movimento desta bobina, dado pela expressão (8.2). A figura 8.2 apresenta o esquema proposto para o funcionamento da máquina DC.

ikrBil2Ttm==(8.2)

sendo kt definida como sendo a constante de torque da máquina DC.

Pólo Norte

Pólo Sul

Corrente de Armadura

Corrente de Armadura

Pólo Norte

Pólo Sul

Campo

Comutador

Figura 8.2: Esquema simples de funcionamento da máquina DC (a) sem comutador e (b) com comutador.

i. Provar que o torque mecânico presente no rotor da máquina DC é dado pela expressão (8.2). i. Na figura 8.2 (b) constata-se a presença de um elemento denominado comutador.

Porquê? i. Também na figura 8.2 (b) constate-se a presença de um enrolamento, denominado de campo. Qual a função deste enrolamento?

Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 3

Uma vez que, por hipótese, o rotor irá girar uma velocidade angular ω, fazendo com que ocorra uma variação instantânea no fluxo magnético ao qual a bobina que representa o enrolamento de armadura esta submetida, de acordo com a lei de Faraday surgirá uma tensão induzida nos terminais do enrolamento de armadura dada por (8.3), i.e.

d)t(vbφ−=(8.3)

sendo o fluxo magnético φ, dado pelo produto entre a densidade de fluxo magnético B e a área A definida pela superfície do semicilindro envolvido pelo enrolamento de armadura. Uma vez que a densidade de fluxo magnético B, por hipótese, é constante, a variação do fluxo magnético ocorrerá devido a variação instantânea da área A, esquematizada na figura 8.3.

Pólo Norte

Pólo Sul

Fig. 8.3: Linhas de campo entrando e saindo do semicilindro envolvido pelo enrolamento de armadura.

i. Para o motor DC a tensão induzida no enrolamento de armadura da máquina é chamada de força contra-eletromotriz. Mostre porquê esta tensão é dada pela expressão abaixo:

ω=ω=ωKBlr2)t(Ea onde: o B := Densidade de fluxo magnético; o r := Raio do cilindro do rotor; o ω := Velocidade angular do rotor; o kω := Constante de velocidade da máquina DC.

i. Prove que em um sistema consistente de unidades, a constante de torque kt é numericamente igual a constante de velocidade kω.

Uma vez compreendido e matematicamente descrito os fenômenos físicos que determinam as inter-relações eletromagnéticas na máquina DC, falta ainda estabelecer o conjunto de equações que relaciona a parte eletromagnética da máquina com a parte mecânica. A obtenção destas equações finaliza o processo de modelagem da máquina DC, sendo realizado tomando por base o diagrama apresentado na figura 8.4.

Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 4

Fig. 8.4: Representação esquemática de um motor de corrente contínua com controle por armadura, com fluxo imposto pelo enrolamento de campo.

Na figura 8.4 observa-se claramente a relação entre dois sistemas físicos de diferentes naturezas.

Um de natureza elétrica e outro de natureza mecânica, interagindo entre si através de relações eletromecânicas.

Fig. 8.5: Interação entre os modelos eletromagnético e mecânico.

Para a parte elétrica, conforme pode-se constatar pela Figura 8.4, tem-se o seguinte equacionamento:

LaRaaaVVEV+=−(8.4)

onde Va é a tensão aplicada nos terminais de armadura do motor, Ea é a força contra eletromotriz, VRa queda de tensão na resistência do enrolamento de armadura e VLa a queda de tensão associada a indutância da armadura. Para parte mecânica, tem-se o seguinte equacionamento:

mBJmecânicoTTT+=(8.5)

que relaciona o torque mecânico aos torques associados ao momento de inércia do rotor, representado na equação (8.5) por TJ, e a parcela de torque dissipada pelo atrito existente entre as partes fixas e móveis do rotor.

Lens de Lei etc.. Kirchhoff, Ohm, de Leis

Magnético e ElétricoSistema

Newtoniana Mecânica da LeisMecânico

Sistema

Leis de Ohm Kirchhoff Lenz, etc.

Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 5 i. Reescreva a equação (8.4), relacionando as tensões na resistência e na indutância do enrolamento de armadura do motor DC com a corrente de armadura do mesmo. Neste caso, cite o conjunto de leis físicas utilizadas neste equacionamento. i. Reescreva a equação (8.5), relacionando as parcelas torque associadas ao momento de inércia do rotor “J” e ao atrito viscoso “Bm” presente entre as partes fixas e móveis do rotor com a velocidade mecânica do mesmo.

As relações entre os sistemas eletromagnético e mecânico ocorrem quando considera-se que o torque eletromagnético, apresentado na equação (8.3), é igual ao torque mecânico no eixo do rotor, e a força contra eletromotriz causada pela interação entre os fluxos magnéticos da armadura e do campo do motor é diretamente proporcional a velocidade mecânica do rotor, i.e.

atmecânicoikT=(8.6)
ω=ωkEa(8.7)

Representação de Sistemas Dinâmicos por Variáveis de Estado

Com base no entendimento completo do funcionamento da máquina DC, estabeleceu-se as equações elétricas e mecânicas da máquina. Nestas equações observou-se a existência de variáveis elétricas e mecânicas, notadamente a corrente de armadura ia e a velocidade angular do rotor ω, que apresentam comportamento dinâmico descrito pelas seguintes equações diferenciais:

mat

BikJ1dt d

VkiRL1dtdi (8.8)

De uma forma mais abrangente, pode-se, sem perda de generalidade, considerar a corrente de armadura da máquina ia(t)=x1(t) e a velocidade angular do rotor da máquina ω(t)=x2(t). Além disso, podese representar a equação (8.8) na forma matricial, resultando em (8.9).

tCxty tButAxdt ti ty tVLt ti k LkL d dt mt a i. Na equação (8.9), defina para o caso do exemplo da máquina DC, quem são as variáveis x(t), denominado vetor de estados, A, denominada matriz de dinâmica, u(t), denominado vetor de entradas, B, matriz que pondera cada uma destas entradas, y(t), vetor de saídas, C, matriz de saída e D, matriz que pondera a influência direta das entradas na saída. i. Também para o caso da máquina DC, defina a dimensão (número de linhas e colunas), de cada uma destas matrizes. i. Avalie a generalidade de se representar sistemas dinâmicos de diferentes naturezas, da forma exposta em (8.9). Avalie também a possibilidade de se representar sistemas com dinâmica não-linear e de parâmetros variantes no tempo, através de (8.9).

Por vezes, é conveniente representar de forma mais visual as diferentes relações entre variáveis, apresentadas por sistemas dinâmicos descritos na forma explicitada em (8.9). Uma das maneiras de se

Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 6 realizar este tipo de representação é através do emprego de diagramas ou grafos de fluxo de sinal. Para o exemplo da máquina DC, pode-se representá-la empregando o diagrama de fluxo de sinal apresentado na figura 8.6.

Fig. 8.6: Diagrama de fluxo de sinal da máquina DC.

i. Para os sistemas dinâmicos apresentados no final da apostila da aula 06, esquematize o diagrama de fluxo de sinal que represente o comportamento dinâmico de cada um deles.

Diferentes Representações de um Mesmo Sistema Dinâmico

A modelagem matemática de um sistema dinâmico, conforme apresentado anteriormente para o caso do motor de corrente contínua, é realizada tomando por base o entendimento físico dos fenômenos que descrevem cada uma das partes do sistema. Tais fenômenos são descritos através de um conjunto de equações matemáticas, compostas por variáveis já denominadas de estados. No exemplo do motor de corrente contínua, as duas variáveis que foram empregadas para o seu equacionamento foram a corrente de armadura do motor, ia(t), e a velocidade mecânica do eixo do motor, ω(t). Ainda pensando em variáveis físicas, pode-se dizer que a corrente de armadura da máquina tem uma relação direta com o fluxo magnético gerado na armadura, dado pela relação

aaaiLλ=(8.10)

Da mesma forma, a velocidade angular observada no eixo do motor tem uma relação direta com a força contra-eletromotriz induzida no enrolamento de armadura da máquina, dada pela expressão

aEk=ωω(8.1)

É direta a conclusão que a representação do equacionamento da máquina DC apresentada em (8.9) também pode ser realizada empregando-se as relações (8.10) e (8.1), resultando na seguinte equação:

tzCty tuBtzAdt

E t k tV tE k L dE dt t a a

O conjunto de equações que descrevem o comportamento dinâmico da máquina DC, apresentados em (8.9) e (8.12), são semelhantes, porém o conjunto de variáveis de estado empregado é diferente. As figuras 8.7 e 8.8 ilustram os comportamentos das variáveis utilizadas em (8.9) e (8.12), empregando como parâmetros da aI& ω&em T =aI aR1− mB1− BTRV

Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 7 máquina DC os valores apresentados na Tabela 8.1. Deve-se observar que independente da natureza das variáveis de estado que são utilizadas para o equacionamento de um dado sistema dinâmico, o comportamento da variável de saída para um mesmo sinal de entrada se mantém inalterado, conforme se pode observar na figura 8.9.

Figura 8.7: Variáveis de estado do modelo do motor DC descrito em (8.9). Figura 8.8: Variáveis de estado do modelo do motor DC descrito em (8.9).

Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 8

Figura 8.9: Sinais de entrada e de saída para os dois modelos da máquina DC.

O comportamento das variáveis de estado apresentadas nas figuras 8.7 e 8.8 são semelhantes quanto a sua forma, diferindo claramente em amplitude. Isto é facilmente explicável, pois as variáveis de estado consideradas nas equações (8.9) e (8.12) apresentam uma relação que depende apenas de um coeficiente constante, expresso pelas equações (8.10) e (8.1). Neste caso, as variáveis de estado do sistema descrito em (8.12) podem ser rescritas na forma matricial em função das variáveis de estado do sistema descrito por (8.9), ou seja

A equação (8.13) caracteriza que existe um conjunto de variáveis de estado denotadas genericamente por um vetor z, que podem ou não apresentar um significado físico com relação ao sistema em estudo, que podem ser escritas através da combinação linear das variáveis de estado com que o sistema foi inicialmente descrito, denotadas genericamente por um vetor x. Esta combinação linear é realizada empregando-se os termos da matriz P, denominada de matriz de transformação de similaridades. A matriz P deve ser uma matriz quadrada e não singular, de forma que a identidade zPx1−= também se verifique. Sendo assim, as equações de estado apresentadas em (8.9) considerando um conjunto de variáveis de estado x, poderão ser rescritas considerando um novo conjunto de variáveis de estado z, seguindo o equacionamento apresentado em (8.14).

Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 9

Exercícios

8.1. Considere um motor DC, controlado pelo campo, cujos parâmetros são dados na tabela 8.1.

Tarefas: i. Com base nos parâmetros apresentados na tabela 8.1, utilizando o Simulink, simule o motor

DC empregando a realização através de variáveis de estado. Considere como variáveis a corrente de armadura do motor DC e a velocidade angular do rotor da máquina. Análise graficamente o comportamento das variáveis. i. Com base nos parâmetros apresentados na tabela 8.1, utilizando o Simulink, simule o motor

DC empregando a realização através de variáveis de estado. Considere como variáveis o fluxo concatenado no enrolamento de armadura do motor DC e a velocidade angular do rotor da máquina. Análise graficamente o comportamento das variáveis. i. Com base nos parâmetros apresentados na tabela 8.1, utilizando o Simulink, simule o motor

(Parte 1 de 2)

Comentários