[apostila] Análise de Sistemas Lineares - PUCRS - aula11

[apostila] Análise de Sistemas Lineares - PUCRS - aula11

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 1

Aula 1 – Representação Entrada-Saída

Transformada de Laplace

Função de Transferência Exemplos

Transformada de Laplace

Equações diferenciais lineares invariantes no tempo são facilmente resolvidas empregando transformadas de Laplace. A teoria desenvolvida por Laplace permite empregar métodos para soluções de equações algébricas para resolver equações diferenciais lineares invariantes no tempo. A definição de transformada de Laplace é dada na equação a seguir tfLdtetfsF st == ∫ e sua utilização na solução de equações diferenciais lineares invariantes no tempo segue os passos esquematizados no diagrama de blocos apresentado abaixo:

Fig. 1.1: Esquema para solução de equações diferenciais empregando transformadas de Laplace.

Outra vantagem associada ao emprego da transformada de Laplace é a possibilidade de usar técnicas gráficas para esboçar o comportamento previsto do processo sem a necessidade da solução analítica de equações diferenciais lineares invariantes no tempo que o descrevem.

Com base no esquema proposto na Figura 1.1, uma vez descrito o comportamento do processo que se deseja modelar por um conjunto de equações diferenciais lineares invariantes no tempo, o próximo passo seria a obtenção da transformada de Laplace de cada uma destas equações. Tal tarefa é realizada com base no teorema apresentado a seguir:

Teorema 1.1: Derivação Real A transformada de Laplace da derivada de uma função f(t) é dada por

Equações Diferenciais Lineares Invariantes no Tempo

Transformada de Laplace

Condições

Iniciais

Transformada Inversa de

Laplace

Solução Temporal

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 2 onde f(0) é o valor inicial de f(t) calculado em t=0. A prova deste teorema é feita diretamente com base na definição de transformada de Laplace apresentada em (1.1).

Prove que a igualdade estabelecida na equação (1.2) se verifica. Dica: Derive por partes a equação (1.1).

A generalização de (1.2) para o caso de derivada de ordem n de f(t), é obtida de modo similar e é dada pela seguinte equação:

n n ffsfsfssFstf onde 12 )0(,)0(,),0(),0( −− n ffffL& são as derivadas temporais sucessivas de f(t) avaliadas em t=0.

Dispositivos eletromecânicos são comumente empregados como atuadores em diversos tipos de sistemas de controle. Processos robotizados são exemplos clássicos de sistemas de controle que utilizam tais atuadores. Em braços robóticos, é comum que o movimento de cada uma de suas juntas seja efetuado por meio de servoatuadores eletromecânicos. Em fábricas com elevado nível de automatização o emprego de veículos com capacidade de navegação autônoma vem se tornando cada vez mais comum. O movimento destes veículos só é possível porque existem motores elétricos acoplados em suas rodas. A Figura 1.2 mostra o robô de serviço em desenvolvimento no Laboratório de Automação e Controle da PUCRS.

Fig. 1.2: Robô de serviço em desenvolvimento no LACS.

No robô apresentado na figura acima, a movimentação das rodas dianteiras é realizada por dois motores de corrente contínua controlados pela armadura. O motor de corrente contínua tem uma estrutura muito simples, uma vez que o fluxo magnético constante produzido no enrolamento de campo é ortogonal

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 3 ao torque eletromagnético. Isto quer dizer que variações no torque eletromagnético do motor não afetam o fluxo constante em seu campo. A equação que descreve o comportamento do torque eletromagnético do motor é dada pela seguinte relação:

afaeIKTλ=(1.4)

sendo Ka a constante de torque do motor, λf o fluxo magnético do campo e Ia a corrente que circula pelo circuito de armadura do motor. O esquema elétrico utilizado na representação de um motor de corrente contínua controlado pela armadura é apresentado na Figura 1.3.

Fig. 1.3: Representação esquemática de um motor de corrente contínua com controle por armadura.

Neste exemplo observa-se uma relação entre dois sistemas físicos de diferentes naturezas. Um de natureza elétrica e outro de natureza mecânica, interagindo entre si através de relações eletromecânicas.

Fig. 1.4: Interação entre os modelos elétromagnético e mecânico.

Para a parte elétrica, conforme se pode constatar pela Figura 1.3, tem-se o seguinte equacionamento:

LaRaatVVEV+=−(1.5)

onde Vt é a tensão aplicada nos terminais de armadura do motor, Ea é a força contra eletromotriz, VRa queda

armadura

de tensão na resistência do enrolamento de armadura e VLa a queda de tensão associada a indutância da

Lens de Lei etc.. Kirchhoff, Ohm, de Leis

Magnético e Elétrico Sistema

Newtoniana

Mecânica da Leis

Mecânico Sistema

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Reescreva a equação (1.5), relacionando as tensões na resistência e na indutância do enrolamento de armadura do motor DC com a corrente de armadura do mesmo. Neste caso, cite o conjunto de leis físicas utilizadas neste equacionamento.

BJmecânicoTTT+=(1.6)

Para parte mecânica, tem-se o seguinte equacionamento:

que relaciona o torque mecânico aos torques associados ao momento de inércia do rotor, representado na equação (1.6) por TJ, e a parcela de torque dissipada pelo atrito existente entre as partes fixas e móveis do rotor.

Reescreva a equação (1.6), relacionando as parcelas torque associadas ao momento de inércia do rotor “J” e ao atrito viscoso “B” presente entre as partes fixas e móveis do rotor com a velocidade mecânica do mesmo.

As relações entre os sistemas eletromagnético e mecânico ocorrem quando considera-se que o torque eletromagnético, apresentado na equação (1.4), é igual ao torque mecânico no eixo do rotor e a força contra eletromotriz causada pela interação entre os fluxos magnéticos da armadura e do campo do motor é diretamente proporcional a velocidade mecânica do rotor, i.e.

aTmecânicoIKT=(1.7)
ωωKEa=(1.8)

A aplicação dos conceitos físicos básicos nas equações (1.5) e (1.6) levam as seguintes equações diferenciais de 1ª ordem:

tdItItt a

)(L)(R)(K)(Vt+=−ωω(1.9)
+=(1.10)

tdtIaT ωω

Para simplificar a aplicação da transformada de Laplace nas equações diferenciais acima, supõe-se que as condições iniciais são nulas, isto é, Ia(0) = 0 e ω(0) = 0.

Utilizando a transformada de Laplace, como definida em (1.1) e (1.2), as seguintes equações algébricas são obtidas:

No exemplo acima, a variável de entrada é a tensa Vt e a variável de saída é a velocidade angular ω. Como as equações acima são puramente algébricas é possível determinar uma relação única entre essas variáveis:

Autores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner 5 a RsL s +

Rs sKsV a

KKBRsJRBLJsL K sV s

A relação que define uma relação direta entre as variáveis de entrada e saída é conhecida como a função de transferência do sistema. Em outras palavras:

sYsG=(1.16)

onde Y(s) e U(s) são as transformadas de Laplace dos sinais de saída e entrada, respectivamente, e G(s) é conhecida como a função de transferência do sistema. Na determinação da função de transferência supõe-se que as condições iniciais são todas nulas.

A função de transferência é uma função racional na variável s de Laplace, isto é, é uma razão entre duas funções polinomiais em s.

De maneira similar ao exemplo acima, pode-se obter a função de transferência de um sistema diretamente de sua representação por variáveis de estado.

())0()()()()(1xAsICsUDBAsICsY−−−++−=(1.19)

Para a obtenção da função de transferência considera-se que as condições iniciais são nulas levando ao seguinte resultado:

)()((1.20)

Exemplo 1.2 Considere o seguinte sistema dinâmico descrito pela seguinte equação diferencial:

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Uma possível representação por variáveis de estado é dada a seguir:

tutxtx

Utilizando a expressão (1.20), obtém-se a seguinte função de transferência:

−= s ss AsI

Qual é a definição dos estados x1(t) e x2(t) para obter-se a representação (1.2)?

Pólos e Zeros

Observa-se que todas as funções de transferência resultam em quocientes de polinômios em s, que é uma variável complexa constituída por uma parte real e por uma parte imaginária, i.e.,

ωσjs+=(1.24)

Desta forma, cada uma das relações descritas anteriormente possui uma parte real e outra parte imaginária, ou seja:

yxjGGsG+=:)((1.25)

onde Gx representa a parte real e jGy representa a partes imaginária de G(s). Cada uma destas funções também pode ser representada em coordenadas polares sendo caracterizadas por um módulo dado por e um argumento angular dado por

G1tan(1.27)

xyG

Diz-se que uma função complexa genérica G(s) é analítica em uma região do plano s se G(s) e as suas derivadas sucessivas existem para todo ponto pertencente a esta região. Pontos do plano s nos quais G(s) é analítica são chamados de pontos ordinários, enquanto os pontos do plano s em que a função G(s) não é analítica são chamados de pontos singulares. Pontos singulares nos quais G(s) tendem ao infinito são ditos pólos de G(s). Pontos nos quais G(s) apresenta valor nulo são chamados de zeros de G(s). Para exemplificar, considere a seguinte função racional complexa G(s):

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sNsG(1.28)

Para determinarmos os zeros da função acima, calculam-se as raízes da equação N(s) = 0, e de forma similar os pólos são determinados pelas raízes da equação D(s) = 0.

Para a função complexa apresentada em (1.28) determine quantos e quais são os zeros e os pólos, seguindo a definição apresentada acima.

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Comentários Finais I. Derivação e Integração.

Observe que para resolver o problema proposto acima todas as derivadas temporais devem ser substituídas pelo operador s, estabelecendo-se a equivalência (1.29) entre os domínios tempo e freqüência.

s≡(1.29)

Da mesma forma que se estabelece equivalência entre domínios para operação de derivação, existe também uma equivalência entre os domínios tempo e freqüência para operação de integração, conforme a expressão abaixo:

≡ t dt

I. Autovalores e Pólos

A definição da função de transferência a partir da representação por variáveis de estado em (1.20) pode ser escrita da seguinte forma:

BAsIAdjC onde Adj(sI-A) é a matriz adjunta de (sI-A). Portanto, a determinação dos pólos do sistema é dada pela equação D(s) = det(sI-A) = 0 que é a equação característica do sistema utilizada para a determinação dos autovalores de A. Entretanto, se o numerador do de G(s), N(s) = C Adj(sI-A) B, tem termos comuns ao denominador estes serão cancelados na expressão final de G(s).

Por exemplo, considere o sistema (1.23) com β1 = β0 = 1, e α1 = 3, α0 = 2. Neste caso, a expressão de G(s) será s s s

Com base no exemplo acima, o que se pode concluir com relação aos pólos e uma função de transferência e os autovalores de um sistema dinâmico.

Quando a ordem do denominador da função de transferência for igual a ordem do sistema dinâmico, diz-se que a representação por variáveis de estado é mínima. Neste caso, não existe cancelamento em G(s), e os pólos coincidem com os autovalores do sistema.

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