Teorema do ponto fixo de Brouwer em sistemas não lineares

Teorema do ponto fixo de Brouwer em sistemas não lineares

Uma Aplicacao do Teorema de Ponto Fixo de Brouwer em Sistemas Nao Lineares ∗

Marcilene de Fatima Dianin lene@mat.puc-rio.br Ma To Fu matofu@dma.uem.br

Nesse texto apresentaremos uma forma equivalente do Teorema de Ponto

Fixo de Brouwer em termos de produto interno. Essa variante e muito util para verificar se um sistema algebrico de equacoes (lineares ou nao) possui solucao. Outras equivalencias do Teorema de Brouwer, principalmente aquelas relacionadas com o Grau Topologico, podem ser encontradas em [3]. A nossa abordagem e feita no espaco Rn e nao utiliza nenhum conceito especıfico da Topologia. Um exemplo simples de aplicacao dos resultados aqui discutidos sera apresentado no fim do texto.

2 - O Teorema de Brouwer:

Seja 〈·,·〉 um produto interno do Rn. Logo a funcao ‖ · ‖ definida por ‖u‖ = √〈u,u〉 e uma norma em Rn. Uma bola fechada de centro 0 e raio R e entao por definicao o conjunto

Lembremos tambem a definicao de ponto fixo. Dizemos que um ponto w ∈ Rn e um ponto fixo de uma aplicacao G : Rn → Rn se G(w) = w. Isto e, o ponto w se mantem fixo em relacao a aplicacao G. Agora podemos enunciar o Teorema de Ponto Fixo de Brouwer e uma das suas variantes, tambem conhecida por Lema do Angulo Agudo.

∗http://w.goecities.com/cnumap. (Fevereiro 2000)

Teorema de Ponto Fixo de Brouwer: Toda aplicacao contınua G : BR → BR possui um ponto fixo, isto e, existe w ∈ BR tal que G(w) = w.

Lema do Angulo Agudo: Seja F : Rn → Rn uma aplicacao contınua satisfazendo a seguinte propriedade:

Interpretacao Geometrica de (∗):

Nosso objetivo e provar o teorema abaixo.

Teorema : O Teorema de Ponto Fixo de Brouwer implica no Lema do Angulo Agudo e vice-versa.

Demonstracao: A primeira parte da demonstracao e baseada naquela da referencia [5]. Seja F : Rn → Rn uma aplicacao contınua satisfazendo (∗).

Suponhamos, para obter uma contradicao, que F(u) 6= 0 para todo u ∈ BR. Entao podemos definir a aplicacao

de forma que ‖G(u)‖ ≡ R em BR, e portanto G aplica BR em BR. Observe que G e tambem contınua porque a funcao norma e F sao contınuas. Logo, pelo Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, existe w ∈ BR tal que G(w) = w, e assim,

Reciprocamente, seja G : BR → BR uma aplicacao contınua. Devemos mostrar que G possui um ponto fixo. Seja F : Rn → Rn a aplicacao

Isto mostra que F satisfaz (∗) e entao pelo Lema do Angulo Agudo, existe u ∈ BR tal que F(u) = 0. Consequentemente G(u) = u.

Sistemas nao lineares geralmente sao difıceis de serem estudados. Nao existem metodos gerais de resolucao, e na pratica, metodos iterativos de Newton [4] sao utilizados.

Aqui queremos mostrar como o Lema do Angulo Agudo pode ser utilizado para mostrar que um sistema (linear ou nao) de equacoes algebricas possui solucao. Consideramos o sistema

Definindo a aplicacao F : Rn → Rn por meio de segue que (x,y) e solucao do sistema se e somente se F(x,y) = (0,0). Vamos mostrar que F satisfaz (∗). Como

Portanto pelo Lema do Angulo Agudo o sistema (∗∗) possui uma solucao.

Outras aplicacoes deste Lema, em sistemas abstratos, podem ser encontradas em [1] e [2].

Referencias

[1] D. Andrade & T. F. Ma, An operator equation suggested by a class of nonlinear stationary problems, Comm. Appl. Nonl. Anal. 4 (1997), 65-71.

[2] J. Mawhin & R. Manasevich, Periodic solutions for nonlinear systems with p-Laplacian like operators, J. Diff. Equations 145(1998), 367-393.

[3] J. Dugundji, Topology, Allyn Bacon, Boston, 1966.

[4] P. Shaw, Calculo Numerico e Matematica Aplicada, Site na Internet, http://www.geocities.com/cnumap

[5] S. Kesavan, Topics in Functional Analysis and Applications, John Wiley & Sons, New York, 1989.

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