Cálculo vetorial

Cálculo vetorial

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CIII© M. A. Monge

Capıtulo 1

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El calculo vectorial alcanzo su pleno desarrollo gracias a Jovial Gibbs, que en su libro Elements of Vector Analysis (1863) introdujo la notacion vectorial mas comun en la actualidad. La gran claridad en la exposicion de conceptos fısicos que permite dicho formalismo quedo plasmada por James Clerk Maxwell en su obra maestra Treatise on Electricity and Magnetismo (1873), donde sento las bases del electromagnetismo clasico.

Este capıtulo presenta una introduccion al calculo vectorial, integrales de lınea y superficie, y sistemas de coordenadas. Tras definir el concepto de vector, se explican las operaciones algebraicas basicas. A continuacion se estudian los operadores vectoriales gradiente, divergencia y rotacional. Por ultimo, se desarrollan los teoremas de Green y Stokes.

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1.1. ¿Que es un vector?. Si deseamos tener toda la informacion

60 km/h V

Figura 1.1: Para conocer la velocidad del viento,~v, no es suficiente con medir su intensidad o modulo, V = 60 km/h, ademas es necesario conocer su direccion.

posible del viento (figura.(1.1)), no solo necesitaremos conocer su intensidad, 60 km/h , ademas es necesario saber su direccion y sentido. No es lo mismo para un velero que quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h hacia el mar que hacia la costa.

Existen muchas magnitudes fısicas cuya descripcion completa exige conocer su intensidad y direccion. Una forma de describir un viento a 60 km/h de forma sencilla es mediante una flecha cuya longitud sea proporcional a su velocidad y que apunte en la direccion del viento. A estas flechas se las denomina vectores, y a las magnitudes que miden vectoriales.

Existen muchas magnitudes fısicas que se encuentran completamente determinadas con el valor de su intensidad, por ejemplo la temperatura, T = 25o C. Estas magnitudes se las denominan escalares.

Esta forma grafica de representar un vector, si bien es muy util para visualizar la situacion fısica, dificulta la realizacion de calculos algebraicos. La forma abreviada de representar un vector es mediante tres numeros, denominados componentes del vector, que indican cual es la longitud entre el comienzo y el final del vector en las tres direcciones del espacio.

Lo primero que debemos hacer es elegir cual es la derecha e izquierda, cual es el arriba y el abajo, y donde esta adelante y atras. Ademas, debemos poder medir la longitud de los vectores. Esto es lo que se denomina elegir un sistema de coordenadas, el mas simple de los cuales es el cartesiano. La figura.(1.2) muestra la mas comun de todas las representaciones de un sistema de coordenadas cartesiano. Se elige la derecha, u orientacion positiva, como aquella en la que el eje Z tiene el sentido del dedo pulgar de la mano derecha al cerrar el resto de los dedos desde el eje X positivo al eje Y positivo c© M. A. Monge Dpto. Fısica 2001-2002 Electromagnetismo

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(ver figura.(1.2)).

Una vez elegido nuestro sistema de coordenadas, solo hay que medir cual es la longitud de nuestro vector en cada una de las direcciones para obtener las componentes del vector. Hay tres formas tradicionales de repre- n v

V(x,y,z) si

Figura 1.2: Representacion del vector velocidad ~V = (2,2,3) km/h, en un sistema de coordenadas cartesianas.

sentar un vector. La primera consiste en escribir las componentes del vector entre parentesis separadas por comas, siendo la primera la componente del vector en la direccion X, la segunda en la Y y la tercera en la Z.

La segunda consiste en escribir las componentes como una suma, multiplicando la componente X por~i, la componente Y por ~j, y la componente Z por ~k. 1

La ultima forma de representar un vector consiste en dar el punto de origen del vector y el final. Por ejemplo en la figura.(1.1), el vector velocidad se podrıa escribir como ~V = ~AB ya que A es su origen y B el final. Para pasar de esta notacion a una de las anteriores, solo hay que restar las coordenadas del punto final B con el inicial A. En la figura.(1.1) A = (0,0,0) y B = (2,2,3) y la velocidad es

1.2. Operaciones sencillas con vectores.

La notacion vectorial se desarrollo para facilitar el calculo algebraico con vectores. A continuacion se resumen las principales operaciones elementales.

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1.2 Operaciones sencillas con vectores. 3 1.2.1. Suma vectorial.

La figura.(1.3) muestra la suma de dos vectores, ~V + ~W. El procedimiento seguido para obtener la suma vectorial es el siguiente; situamos el origen del vector ~W en el final del vector ~V (el desplazamiento se realiza manteniendo la direccion y sentido del vector, es decir paralelo al propio vector), el vector suma va desde el origen de ~V a la final de ~W , tal como muestra la figura.(1.3).

Si conocemos las componentes de los dos vectores, la forma mas sencilla de obtener la suma vectorial es mediante una simple suma algebraica de las componentes vectoriales,

muestra en la figura.(1.4). Para obtener el vector resta situamos los vectores ~V y ~W desplazandolos paralelamente de forma que sus orıgenes coincidan. El vector resta es el que va desde la punta de ~V a la de ~W (ver figura.(1.4)).

Al igual que la suma, si conocemos las componentes de los dos vectores, la forma mas sencilla de obtener

el vector resta es mediante la sustracc© M. A. Monge Dpto. Fısica 2001-2002 Electromagnetismo

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1.2.3. Producto de un vector por un escalar.

Los escalares operan sobre los vec- V

Figura 1.5: Producto de un vector por un escalar: La longitud y sentido de c ~V dependen del valor de c, manteniendo su direccion.

tores estirandolos o contrayendolos. Ası, un vector ~V multiplicado por un escalar c da lugar a otro vector ~W con la misma direccion que ~V , pero cuya longitud final es mayor , si |c| > 1, o menor, si 0 < |c| < 1, y cuyo sentido es el mismo si c es positivo y contrario si es negativo ( ver figura.(1.5)).

El producto por un escalar consiste en multiplicar todas las componentes del vector por el escalar

1.2.4. Modulo de un vector. El modulo es la longitud total del

Figura 1.6: El modulo |~V | de las velocidades de todos los pajaros es el mismo, aunque su direccion y sentido sean diferentes.

vector. Cuando un vector representa una variable fısica, por ejemplo la velocidad, el modulo es su magnitud o intensidad, perdiendose toda informacion sobre la direccion o sentido del vector.

En la figura.(1.6) todos los pajaros vuelan a la misma velocidad, pero con diferentes direcciones y sentidos.

El modulo de un vector ~V se calcula como

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1.2 Operaciones sencillas con vectores. 5

Un vector cuyo modulo es 1 se denomina vector unitario. Es muy sencillo obtener un vector unitario ~U en la direccion y sentido de cualquier otro vector. Es suficiente con dividir dicho vector por su modulo. Por tanto, un vector unitario ~U con la misma direccion y sentido de ~W se obtiene como

1.2.5. Producto escalar. El producto escalar de dos vecto-

Figura 1.7: Producto escalar: El producto escalar de dos vectores ~V y ~W relaciona el modulo de los vectores con el angulo que forman, ~V · ~W = |~V || ~W|cos(Θ).

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