Sistemas de Equações Lineares

Sistemas de Equações Lineares

Definição

Os números reais naaa,...,,21 são denominados coeficientes das variáveis nxxx,...,,21, respectivamente, e b é denominado de termo independente.

lineares com 1≥n variáveis, e é representado por:

Um Sistema Linear sobre R com m equações e n incógnitas é um conjunto de 1≥m equações mnmnmm n n

bxa...xaxa bxa...xaxa bxa...xaxa

Matrizes Associadas a um Sistema Linear Sistemas podem ser representados na forma matricial:

n n b b x x

C X B
Independentes

Denominadas, matriz C de Coeficientes, matriz X de Variáveis e matriz B de Termos

Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial BXC=⋅.

Outra matriz que se pode associar a um sistema linear é a Matriz Ampliada ou Completa do sistema.

mmnmm n n b ... b b

Classificação de Sistemas Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução.

Uma solução para um sistema de equações lineares é uma n-upla de números reais ),...,,(21nsss que

por 2s,e nx por ns em cada uma das equações, todas as igualdades são verdadeiras. O conjunto

satisfaz todas as equações, simultaneamente, isto é, substituindo-se a variável 1x pelo valor 1s, 2x solução S do sistema é o conjunto de todas as soluções.

Exemplo: Dado o sistema

De forma geral, temos que um dado sistema de equações lineares sobre R pode ser classificado como:

• Sistema Possível (ou Compatível ou Consistente) • Determinado (SPD): há uma única solução

• Indeterminado (SPI): há infinitas soluções

• Sistema Impossível (ou Incompatível ou Inconsistente) (SI): não há solução.

Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana

resolução utilizado será o Método de Eliminação Gaussiana

Dado um sistema de equações lineares, espera-se encontrar sua solução, isto é resolvê-lo. O método de A idéia do método é obter um sistema mais “simples” equivalente ao sistema dado. Dois sistemas de equações lineares são denominados sistemas equivalentes quando possuem a mesma solução.

Exemplo: Os sistemas yx são equivalentes pois ambos possuem o mesmo

O Método de Eliminação Gaussiana Dado um sistema linear com m equações e n variáveis: 1. Obter a matriz ampliada.

2. Escalonar a matriz ampliada utilizando operações elementares.

3. Fazer a análise, de acordo com o teorema abaixo: Teorema: Um sistema linear de m equações e n variáveis admite solução se e somente se o posto

da matriz ampliada escalonada )(AP for igual ao posto da matriz de coeficientes )(CP

a) Se nPPCA==, o sistema é Possível Determinado (SPD). b) Se nPPCA<=, o sistema é Possível Indeterminado (SPI). c) Se CAPP≠, o sistema é Impossível (SI).

4. Reescrever o sistema, associado a matriz escalonada, equivalente ao sistema dado, e: a) Se o sistema for SPD, encontrar o valor de uma variável e, por substituição, determinar as demais variáveis. Indicar o conjunto solução S, que neste caso, conterá apenas uma n-upla.

b) Se o sistema for SPI, escolher APn− variáveis livres ou independentes. O número, APn− também é denominado o grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema.

livres
c) Se o sistema for SI, indicar ∅=S

As variáveis que dependem das variáveis livres são denominadas variáveis amarradas ou ligadas. Indicar o conjunto solução S, apresentando todas as ordenadas da n-upla em função das variáveis

Exemplo: Seja o sistema

com 3 equações e 3 incógnitas

zyx zyx zyx

31

Análise: 3===nPPCA. Logo, o sistema é possível determinado (SPD).

O sistema equivalente é z zy zyx

Geometricamente tem-se o plano R2, descrito por dois eixos - eixo X e eixo Y - perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto )0,0(, denominado origem.

Exemplos:

Aplicando o Método de Eliminação Gaussiana:

1101

Matriz de coeficientes Análise, 2===nPPCA: Sistema Possível Determinado (SPD).

Interpretando geometricamente: cada equação do sistema representa uma reta, estas retas se interceptam em um único ponto )5,4(−.

y, isto é, 2−=yx
solução é impossível, pois não há ponto de interseção entre retas paralelas

Assim, se um sistema possui equações que representam retas paralelas, como no exemplo, uma

Resumindo, para sistemas de equações de duas incógnitas com duas ou mais equações, tem-se o seguinte quadro:

Retas Classificação do Sistema

Concorrentes Possível e Determinado Coincidentes Possível e Indeterminado Paralelas Impossível

Exemplos:

1) Considere o sistema zy zy zyx

Análise, 3===nPPCA: Sistema Possível Determinado (SPD) .

Sistema equivalente z zy zyx

2) Dado o sistema zx zy zyx

Sistema equivalente z zy zyx

Pela terceira equação, a variável z está livre, assim a variável y fica em função de z, isto é, zy22−=. A variável x também fica amarrada a variável z, após as substituições, tem-se que

Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam em uma reta.

3) Seja o sistema zyx zyx zyx

Sistema equivalente z y zyx

As variáveis y e z estão livres, o grau de liberdade do sistema é igual a 2, e a variável x está amarrada pela relação zyx−−=23.

Geometricamente, os três planos são coincidentes e, consequentemente, qualquer ponto deste plano é solução para o sistema.

4) Seja o sistema zyx zyx zyx

Sistema equivalente z zy zyx

A variável z está livre, o grau de liberdade é 1. As variáveis x e y estão ligadas à variável z, e irão

Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes que interceptam um terceiro. A interseção é uma reta.

5) Seja o sistema zy zyx zyx e matriz de coeficientes

Sistema equivalente z zy zyx

Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam dois a dois, isto é, sem solução comum.

6) Dado o sistema zyx zyx zyx e matriz de coeficientes

Sistema equivalente z y zyx

As duas últimas equações são impossíveis. A solução é ∅=S. Geometricamente, o sistema representa três planos paralelos.

7) Dado o sistema:

zyx zyx zyx

Sistema equivalente z zy zyx

A última equação não possui solução. Assim, a solução do sistema é ∅=S. Geometricamente, o sistema representa dois planos paralelos interceptados por um terceiro.

8) Seja o sistema zyx zyx zyx

Sistema equivalente z y yx

A segunda equação não possui solução. A solução é ∅=S. Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes paralelos a um terceiro.

Sistema Homogêneo É um sistema de equações lineares onde todos os termos independentes são iguais a zero.

nmnmm n n

xa...xaxa xa...xaxa xa...xaxa

A matriz de Termos Independentes B é a matriz nula, assim um sistema homogêneo é sempre possível, já que admite a solução trivial, isto é, )}0,...,0,0{(=S.

No entanto, um sistema possível pode ainda ser classificado como determinado ou indeterminado. Se o sistema é possível e determinado, a única solução é a trivial. Se o sistema é possível e indeterminado, outras soluções, além da trivial, existem.

Exemplos:

1) Seja o sistema zyx zyx zyx

Análise, 3===nPPCA: Sistema Possível Determinado (SPD).

Sistema equivalente z y zyx

2) Seja o sistema zyx zyx zyx zyx

Matriz ampliada

, matriz escalonada

34 e matriz de coeficientes

Sistema equivalente z zy zyx

Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes

O sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, com nm=, pode ser representado pela equação matricial BXC=⋅, sendo C uma matriz quadrada de ordem n.

determinado

Se a matriz C for invertível, isto é, existir a matriz inversa 1−C, significa que o sistema é possível e BXC=⋅

Como X é uma matriz de ordem 1×n, BC x x x

Exemplo: Seja o sistema zyx zyx zyx yx .

Exercícios Utilizando o Método de Eliminação Gaussiana:

1) Resolva o sistema zyx zyx zyx .

2) Indique a solução do sistema zyx zyx zyx , o posto da matriz ampliada e o posto da matriz de coeficientes.

3) Um fabricante de objetos de cerâmica produz jarras e pratos decorativos. Cada jarra exige 16 minutos de modelagem, 8 minutos de polimento e 30 minutos de pintura. Cada prato decorativo necessita de 12 minutos de modelagem, 6 de polimento e 15 de pintura. Sabendo-se que são reservadas por semana 8 horas para modelagem, 4 horas para polimento e 13 horas para pintura, encontre a quantidade de cada tipo de objeto que deverá ser fabricada por semana, considerando-se a melhor utilização do tempo disponível para cada etapa.

Jarras Pratos Decorativos Minutos Por Semana

Modelagem 16 12 8.60 Polimento 8 6 4.60 Pintura 30 15 13.60

Considerando-se x como sendo a quantidade de jarras a serem produzidas por semana e y a quantidade de pratos decorativos, escreva o sistema de equações lineares que representa o problema e resolva-o.

4) Determine os valores de a de modo que o sistema zayx azyx zyx seja:

a) SPD
b) SPI
c) SI

5) Calcule os valores para a e b de modo que o sistema zbyx zyx azyx seja SPI e resolva-o para estes valores. 6) Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que o sistema czyx bzyx azyx

7) Escreva a condição para que o sistema czyx bzyx azyx

8) Indique o conjunto solução do sistema homogêneo zyx zyx zyx .

9) Determine o conjunto solução S do sistema tzyx tzyx tzyx tzyx

10) Escreva um sistema homogêneo com quatro incógnitas, x, y, z e t, quatro equações e grau de liberdade igual a dois. Resolva-o.

1) Considere o sistema zyx zyx zyx . Escreva na forma matricial e calcule a matriz X utilizando a inversão de matrizes.

Respostas

1) Sistema Impossível 6) qualquer e 032cab=−

4) a) 3 e 2−≠≠a

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