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Analise I - Notas de Aula Primeiro Semestre de 2007

Alexandre N. Carvalho 2 de novembro de 2007

Sumario

1.1 Teoria de Conjuntos3
1.2 Espacos Metricos4
1.2.1. Distancia de um ponto a um conjunto e entre conjuntos6
1.2.2. Coberturas e Conjuntos Totalmente Limitados6
1.3 Analise Funcional Elementar9
1.3.1. Espacos Vetoriais Normados9
1.3.2. O Teorema de Hahn-Banach Analıtico12
1.3.3. Consequencias do Teorema de Categoria16
1.4 Exercıcios19

1 Introducao 3

2.1 Formas Geometricas do Teorema de Hahn-Banach20
2.2 Funcoes Convexas Conjugadas24
2.3 Complemento Topologico3
2.4 Relacoes de Ortogonalidade35
2.5 Transformacoes Lineares41
2.6 Caracterizacao de Transformacoes Lineares com Imagem Fechada46
2.7 Exercıcios50
3.1 Lema de Riesz52
3.2 Topologia induzida por uma famılia de funcoes53
3.3 Produto Carteziano e o Teorema de Tychonoff57
3.4 Topologia Fraca e suas Propriedades58
3.5 Os Conjuntos Convexos e a Topologia Fraca62
3.6 A Topologia Fraca∗64
3.7 Exercıcios70

3 Topologias Fraca e Fraca∗ 52

4.1 Espacos Reflexivos72
4.2 Espacos Separaveis79
4.3 Espacos Uniformemente Convexos83
5.1 Definicao e Propriedades Elementares85
5.2 Convexidade Uniforme e Reflexividade86
5.3 Separabilidade94
5.3.1. Separabilidade de C(K, M)94
5.3.2. Separabilidade dos Espacos Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞96
5.4 Particularidades dos Espacos L1(Ω) e L∞(Ω)98
5.4.1. Particularidades do Espaco L1(Ω)98
5.4.2. Particularidades do Espaco L∞(Ω)100
5.5 Primeira Prova103
5.6 Convolucao e Regularizacao109
5.6.1. Definicao e Propriedades Elementares109
5.6.2. Suporte da Convolucao1
5.6.3. Sequencias Regularizantes114
5.7 Criterio de Compacidade Forte em Lp(Ω)116
5.8 Operadores de Nemitiskiı119
5.9 Exercıcios122
6.1 Revisao123
6.2 Os Teoremas de Lax-Milgram e Stampachia128
6.3 Apendice I: Base de Hilbert131
6.4 Apendice I: Operadores Com Resolvente Positivo134

6 Espacos de Hilbert 123

7.1 Definicao e Propriedades Elementares137
7.1.1. Complemento Topologico139
7.2 A Teoria de Riesz-Fredhohm142
7.3 Espectro de Um Operador Compacto144
7.4 Decomposicao Espectral de Operadores Compactos e Auto-Adjuntos149
7.5 Teoria Espectral de Operadores Dissipativos e a Imagem Numerica153

7 Operadores Compactos e Auto Adjuntos 137

8.1 Introducao157
8.2 Os Espacos de Sobolev W1,p(I)158
8.3 Os Espacos Wm,p(I)175
8.4 O Espaco W1,p0 (I)176
8.5 O Dual de W1,p0 (I)179
8.6 Exemplos de Problemas de Contorno180
8.7 Auto-Funcoes e Decomposicao Espectral184

8 Espacos de Sobolev em Dimensao Um 157 2

Capıtulo 1 Introducao

Preliminares ↓

1.1 Teoria de Conjuntos

Seja X um conjunto nao vazio. Uma relacao de ordem parcial em X e uma relacao ≤ com as seguintes propriedades:

i) Se x ≤ y e y ≤ z, entao x ≤ z; i) Se x ≤ y e y ≤ x, entao x = y; i) x ≤ x para todo x ∈ X.

Se alem disso iv) quando x,y ∈ X entao ou x ≤ y ou y ≤ x, entao ≤ e dita uma relacao de ordem total e X e dito totalmente ordenado.

Se X e parcialmente ordenado por ≤ um elemento x ∈ X e dito maximal (minimal) se e so se x ≤ y (y ≤ x) implica x = y. Se A ⊂ X um elemento x ∈ X e dito limitante superior (inferior) para A se, e somente se, a ≤ x (x ≤ a), ∀ a ∈ A.

Se X e totalmente ordenado por ≤ diremos que X e bem ordenado se todo subconjunto nao vazio de X tem um (necessariamente unico) elemento minimal.

Princıpio Maximal de Hausdorff Todo conjunto parcialmente ordenado tem um subconjunto totalmente ordenado maximal.

Lema de Zorn Se X e um conjunto parcialmente ordenado e todo subconjunto totalmente ordenado de X tem um limitante superior entao X tem um elemento maximal.

O Princıpio da Boa Ordenacao Todo conjunto nao vazio X possui uma boa ordenacao.

O Axioma da Escolha Se {xα}α∈A e uma colecao de conjuntos nao vazios entao Πα∈AXα = {f : A → ∪α∈AXα : f(α) ∈ Xα} e nao vazio.

Corolario Se {Xα}α∈A e uma colecao disjunta de conjuntos nao vazios, existe

Y ⊂ ∪α∈AXα tal que Y ∩ Xα contem precisamente um elemento para cada α ∈ A.

1.2 Espacos Metricos

Um conjunto X equipado com uma metrica ρe chamado um espaco metrico (X,ρ).

• A ⊂ X e fechado se Ac e aberto.

• A uniao qualquer e a intersecao finita de conjuntos abertos sao abertos.

• A intersecao qualquer e a uniao finita de conjuntos fechados sao fechados.

• A uniao de todos os abertos contidos em A e chamada interior de A e e denotado por Ao.

• A intersecao de todos os fechados contendo A e o fecho de A e e denotado por A−.

• X e separavel se tem um subconjunto contavel e denso.

Proposicao 1.2.1. Se X e um espaco metrico, E ⊂ X e x ∈ X, as seguintes afirmativas sao equivalentes:

Prova:

dita contınua se e contınua em todo x ∈ X1 e uniformemente contınua se δ na definicao de continuidade puder ser escolhido independentemente de x.

Prova: Se f e contınua e U ⊂ X2 e aberto entao para cada x ∈ f−1(U) temos

Uma sequencia {xn} em um espaco metrico (X,ρ) e dita de Cauchy se ρ(xn,xm) → 0 quando n,m → ∞. Um subconjunto E de X e dito completo se toda sequencia de Cauchy em E converge em E.

Proposicao 1.2.3. Um subconjunto fechado de um espaco metrico completo e completo e um subconjunto completo de um espaco metrico qualquer e fechado.

Prova: Se X e completo, E ⊂ X e fechado e {xn} e de Cauchy em E {xn} tem um limite x ∈ X. Segue da Proposicao 1.2.1 que x ∈ E− e como E

1.2.1. Distancia de um ponto a um conjunto e entre conjuntos

Seja (X,ρ) um espaco metrico e E,F ⊂ X. Definimos a distancia de um ponto x ∈ X a E e a distacia entre E e F por

1.2.2. Coberturas e Conjuntos Totalmente Limitados

Se E ⊂ X e {Vα}α∈A e uma famılia de conjuntos tal que E ⊂ ∪α∈AVα entao,

{Vα}α∈A e dita uma cobertura de E. Um conjunto E e dito totalmente limitado se, para todo ² > 0, E pode ser coberto por um numero finito de bolas de raio ². Todo conjunto totalmente limitado e limitado mas a recıproca em geral e falsa. Se E e totalmente limitado E− tambem o e.

Teorema 1.2.4. Se E e um subconjunto de um espaco metrico (X,ρ), sao equivalentes:

a) E e completo e totalmente limitado b) (Bolzano-Weierstrass) Toda sequencia em E tem uma subsequencia convergente em E.

c) (Heine-Borel) Se {Vα}α∈A e uma cobertura aberta de E existe um conjunto finito F ⊂ A tal que {Vα}α∈F cobre E.

Prova: A prova seguira o seguinte roteiro a ⇔ b a,b ⇒ c c ⇒ b a ⇒ b Se {xn} ⊂ E e uma sequencia, E pode ser coberto por um numero finito de bolas de raio 1/2 e pelo menos uma delas deve conter xn para um numero infinito de ındices n. Digamos que N1 ⊂ N e um conjunto infinito e que B1 e uma bola de raio 1/2 tal que xn ∈ B1, ∀n ∈ N1. E ∩ B1 pode ser coberto por um numero finito de bolas de raio 1

2 e pelo menos uma dessas bolas contem xn para um numero infinito de ındices n ∈ N1. Digamos que

bolas abertas Bj com raio 2−j contendo xn, n ∈ Nj, onde Nj ⊂ N e infinito Nj+1 ⊂ Nj. Se {nj} e uma sequencia de numeros naturais tais que nj ∈ Nj,

ρ(xnj , xnk

Portanto, {xnj } e de Cauchy. Segue do fato que E e completo que {xnj convergente em E.

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