DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I

Capítulo 6 Independência das Equações

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I 6.1 Grafo de uma Rede

Estudo de como os elementos de uma rede elétrica são conectados (topologia).

Topologia de redes:fornece um método sistemático para a determinação de quantas equações são necessárias para a análise, quantas delas são independentes e a escolha do melhor conjunto de equações para a análise direta.

Problema a ser resolvido:análise de redes complicadas, geralmente não planares e com muitos laços.

Circuitos não planares: nãopermitem a análise por malhas e a aplicação direta da lei de Kirchhoff de tensão.

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I v g c d

Circuito não planar: 15 laços.

Desejamos obter um conjunto de equações independentes!

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I Desejamos saber quais laços são independentes.

Então, precisamos saber como os elementos são conectados ⇒grafo de rede:

Contém 9 ramos e 6 nós (+1 nóse considerarmos o nóentre 9 e vg ).

c d ra mo nóde rede 8

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Grafo de rede éconexose existe um percurso de um ou mais ramos entre quaisquer dois nós.

Exemplo de grafo de rede não conexo:

ab c d e f g sem ligação

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I 6.2 Árvore e Co-Árvore

Árvoreéuma porção conexa de um grafo (subgrafo) que contém todos os nós mas nenhum laço.

Exe mplo:

árvoregrafo árvore

Total de árvores: 24

3 ramos determinam uma árvore, mais que isso formam um laço. Combinação de 7 ramos 3 a 3 = 35, entretanto, 1 delas não são árvores.

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I árvore

Ramos do grafo que não estão na árvore são denominados enlaces.

Enlaces mais os seus nós = co-árvoreda árvore correspondente. Exe mplo:

co- árvore

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Generalização: Grafo com Bramos e Nnós:

•em qualquer árvore existem Nnós e N−1ramos.

•número de enlaces em uma co-árvore qualquer é B–N+ 1.

árvore co- árvore grafo

Grafo: B = 7ramos e N = 4nós: Árvore:N= 4nós e N −1 = 3ramos. Co-árvore: B–N+ 1 = 4enlaces .

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I todos os nós da árvore estarão no mesmo potencial todas as tensões de enlace serão zero

Se todas as tensões dos ramos de uma árvore são reduzidas a zero substituindo os ramos por curto-circuitos

6.3 Equações Independentes de Tensões

Então,tensões de enlacedependem das tensões de ramo da árvore.

Se uma tensão de enlace for independente das tensões da árvore, ela não pode ser forçada a zero por curto-circuito no ramo da árvore.

Conclusão:As N–1tensões de ramo de uma árvore são independentes e podem ser usadas para encontrar as tensões de enlace.

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I Exe mplo:

+v2
–+v4

Pela lei de Kirchhoff de tensão:

v v tensões de enlacetensões de ramo da árvore

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I Procedimento para se obter as equações de tensões de ramo da árvore:

•Abre-se um ramo da árvore separando-a em duas partes.

•Correntes fluem entre as duas partes através do ramo aberto e pelos enlaces.

•Aplica-se a lei de Kirchhoff de corrente, a soma algébrica destas correntes em um dado sentido é zero.

•Escreve-se a equação de tensões.

•Repete-se este procedimento para os outros ramos da árvore.

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Exe mplo: a b c

Imaginando ramo a-b(v1 ) aberto ⇒a árvore édividida em 2 partes.

Estas partessão conectadas pelo ramo a-be os enlaces: (a, c), (b, d) e (d, c) como indicado pela linha marcada com I.

Correntes no sentido da seta: 011

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I b c d

Estas partessão conectadas pelo ramo b-ce os enlaces: (a, c) e (d, c) como indicado pela linha marcada com I.

Correntes no sentido da seta: 011

Imaginando ramo b-c(v2 ) aberto ⇒a árvore édividida em 2 partes.

b c

V 1 eV 8

== v Resolvendo as equações, obtemos

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O conjunto de cortedo grafo é o conjunto mínimo de elementos que, quando cortado ou removido, separa este grafo em duas partes.

As duas partes determinadas por um corte no grafo serão ou um nó ou um supernó.

Então, a soma algébrica das correntes que deixam qualquer das partes é zero.

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Exe mplo:

Grafo

CS = conjunto de corte {i7 , i5

Lei de Kirchhoffde corrente: i2 – i3 + i5

Mesma equação para a Lei de Kirchhoff de corrente aplicada no supernó contendo i6 .

Árvoree enlaces

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Conjunto de corte nãobaseado na árvore dada:

Conjunto de corte incidente: elementos conectados (ou incidentes) ao nóa.

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Obs.:Na análise de circuito, onde as incógnitas são as tensões, precisamos encontrar apenas os valores das N–1tensões de ramos de árvore que constituem um conjunto independente.

Portanto, sóN–1 equações independentes de tensão são necessárias para a análise.

Outro conjunto possível deN–1tensões independentes éo de nós de não referência, usado no método nodal.

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I Exemplo: Relação das tensões de nós com as tensões dos ramos da árvore.

b c d b c nó de referêncianó de referência

Tensões de nós de não referência: va , vb

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I 6.4 Equações Independentes de Corrente

Forma sistemática para escrever as equações de laços para uma rede genérica com Bramos e Nnós.

Para uma dada árvore existem B–N+ 1enlaces.

Supondo que todas as correntes de enlaces são iguais a zero, isto é, que os enlaces são circuitos abertos, e que a árvore não contém laços, então todas as correntes da árvore dependem das correntes de enlace.

Assim, pode-se expressar as correntes da árvore em termos das correntes de enlace.

Note que se a corrente de árvore for independente das correntes de enlace, ela não poderáser igualada a zero ao se abrir os enlaces.

Note ainda que se o enlace não for tornado um circuito aberto, existiráum laço no grafoe uma corrente fluiráno enlace.

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AsB–N+ 1correntes de enlace são um conjunto independente.

A análise do circuito necessita de B–N+ 1equações independentes.

Processo sistemático para calcular B–N+ 1laços independentes: •a partir da árvore adiciona-se um dos enlaces.

•determina-se o laço que contém aquele enlace.

•remove-se este enlace e adiciona-se outro àárvore, determinando o 2ºlaço.

•continua-se atéque os B–N+ 1laços sejam encontrados.

O conjunto éindependente porque cada laço contém um enlace diferente.

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I Exe mplo:

c d

Laço I: enlace 2 + ramos 1, 8, 9.

Laço I: enlace 3 + ramos 7, 9, 1.

Laço I: Enlace 4 + ramos 5, 7, 9. Laço IV: Enlace 6 + ramos 5, 7, 8.

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I Exe mplo:

b c

Lei de Kirchhoff de tensão: d b c

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Caso geral para as redes planares: 1.Inicia-se por separar o circuito planar em Mmalhas.

2.Reconstrói-se o circuito uma malha de cada vez.

•Primeira malha tem o mesmo número k1 de nós e ramos.

1ºramo possui 2 nós e cada ramo adicional acrescenta 1 nó, o último ramo não adiciona nó.

4 ramos e 4 nós

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3.Cada malha subseqüente éformada pela conexão de ramos e nós às malhas anteriores.

•Cada ramo adicionado acrescenta um nó, a não ser no último ramo onde nenhum nóéacrescentado. Assim, o número de nós adicionado émenor em uma unidade que o número de ramos.

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4.Se a segunda malha acrescenta k2 ramos, então ela adiciona k2 –1nós, e assim por diante.

5.A última malha adiciona kM ramos ekM – 1nós.

6.Se no grafo inteiro o número de ramos éBe o número de nós éN, temos:

++ kM
–1) ++ ( k
++ kM

M= B –N + 1 Número de enlaces no grafo.

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Correntes de malha constituem um conjunto de correntes que descreve completamente uma rede planar.

Nºde correntes independentes de malha = Nºde correntes independentes de enlace.

Pois, cada nova malha contém pelo menos um ramo inexistente na malha anterior.

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I 6.5 Aplicação em um Circuito e 2 Ω

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I c e bc v

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 –Circuitos Elétricos I c e

Por inspeção:

v v dc bc bc v

Substituindo v bc , v dc e v be nas expressões e resolvendo, obtemos:

V 20e V 1

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6.6 Equivalência Estrela-Triângulo (Y− −−

R b i R

R i

R v i R

R i

R v cba cab cba bc cba bc cba bac

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R i

R v cba bc cba

R i

R v cba cab cba cba bc cba bac cba cab R cba ca R cba bc R cba ba R

Resistência Y = Produto das resistências ∆adjacentes

Soma das resistências ∆

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Resistência ∆= Soma do produto das resistências Y duas a duas resistência Y oposta

Alternativamente, resolvendo as equações para o circuito triângulo:

R b

R c

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