Delineamento em Quadrado Latino

Delineamento em Quadrado Latino

(Parte 1 de 4)

Universidade Federal do Amazonas

Instituto de Ciencias Exatas Departamento de Estat stica

Delineamento em Quadrado Latino: Um Exemplo Pr atico Aplicado a Agronomia

Thiago Bentes

Manaus - Amazonas dezembro de 2011.2

Thiago Bentes

Delineamento em Quadrado Latino: Um Exemplo Pr atico Aplicado a Agronomia

Relat orio t ecnico apresentado ao professor Dr. Edmilson de Ara ujo Silva da disciplina Planejamento de Experimentos I (IEE630) do curso de Estat stica como pr e-requisito de avalia c~ao academica do per odo de 2011.2.

Manaus - Amazonas dezembro de 2011.2

2.1 O Modelo Estatstico do DQL2

2 O Delineamento em Quadrado Latino 2

3.1 Analise Exploratoria de Dados5
3.2 Analise de Resduos: Veri cando a Adequac~ao do Modelo8
3.2.1 Veri cando Violac~ao de Independencia dos Erros9
3.2.2 Veri cando Violac~ao de Homoscedasticidade10
3.2.3 Veri cando Violac~ao de Normalidade dos Erros1
3.3 Analise de Variancia (ANOVA)12

Planejamento de Experimentos I Thiago Bentes

Este relat orio foi desenvolvido como um estudo sobre a teoria da experimenta c~ao conhecida como \delineamento em quadrado latino", muito utilizada em experimentos agronomicos, cuja abordagem dar-se- a atrav es da pr atica na an alise de um conjunto de dados reais retirados da obra de Barbin (pg. 89, 2003).

Tal an alise foi realizada mediante t ecnicas computacionais de programa c~ao baseadas na teoria e elaboradas no software estat stico R1. Os resultados e discuss~oes anal ticas a respeito dos mesmos foram digitados em linguagem de programa c~ao TEX, a partir do pacote de macros tipogr a cas LATEX2, na forma de relat orio cient co. Na segunda se c~ao, temos a abordagem da teoria e, posteriormente, o seu uso posto em pr atica no estudo anal tico da base de dados do exemplo escolhido para a abordagem.

1Sobre o software R, ver R Development Core Team (2006). 2Para mais detalhes sobre o universo LATEX, ver Lamport (1994).

Planejamento de Experimentos I Thiago Bentes

2 O Delineamento em Quadrado Latino 2

2 O Delineamento em Quadrado Latino

O delineamento em quadrado latino (DQL) e um delineamento que utiliza o controle local (blocagem) quando se tem duas vari aveis (fatores) perturbadoras conhecidas e control aveis; os tratamentos s~ao denotados por letras do alfabeto latino.

Segundo Barbin (2003), os ensaios em quadrado latino levam em conta o controle local aplicado em dois sentidos. Em se tratando de ensaio de campo, em terrreno com gradientes de variabilidade em dois sentidos, os blocos s~ao feitos procurando eliminar os poss veis efeitos desses gradientes nos dois sentidos (perpendiculares).

Os blocos (ou controle num sentido do terreno) s~ao chamados \linhas" e o controle no outro sentido de \colunas". A caracter stica principal neste tipo de ensaio e que o n umero de linhas e igual ao n umero de colunas e igual ao n umero de tratamentos, alguns pontos importantes s~ao:

â Cada tratamento ir a aparecer uma unica vez em cada linha e em cada coluna; â Se tivermos K tratamentos, teremos K2 parcelas (unidades experimentais).

Supondo K = 5 tratamentos, a distribui c~ao das parcelas nas linhas e colunas do quadrado latino ca

Coluna Linha 1a Col. 2a Col. 3a Col. 4a Col. 5a Col.

1a Lin. A B C D E 2a Lin. B C D E A 3a Lin. C D E A B 4a Lin. D E A B C 5a Lin. E A B C D

Depreende-se do exposto que o n umero de repeti c~oes e igual ao n umero de tratamentos, a casualiza c~ao deve ser feita do seguinte modo:

¶ Atribuem-se as letras do quadrado latino que representam os tratamentos;

• Sorteiam-se as posi c~oes de linhas e/ou colunas no local onde ser a instalado o experimento.

O modelo estat stico (ou matem atico) para an alise do delineamento em quadrado latino e

Planejamento de Experimentos I Thiago Bentes â Yijk e a observa c~ao da vari avel resposta na i- esima linha e na j- esima coluna para o k- esimo tratamento;

â "ijk e o erro experimental aleat orio suposto ser independente e identicamente distribu do com "ijk ∼ N(0; 2).

Por sua vez, a equa c~ao das estimativas dos parametros do modelo em (E.1) para dados amostrais e dada por

Para a contru c~ao do quadro (ou tabela) da an alise de variancia (ANOVA), considerando N = r2, temos as equa c~oes das somas de quadrados a seguir.

i;j;k=1 â Varia c~ao entre tratamentos

SQTrat = 1

â Varia c~ao entre linhas

â Varia c~ao entre colunas

â Soma de quadrados dos res duos SQRes = SQTot−SQTrat−SQLin−SQCol:

Planejamento de Experimentos I Thiago Bentes

Na ANOVA, queremos testar as hip oteses em rela c~ao ao efeito dos tratamentos sobre o modelo em (E.1), a estat stica de teste utilizada e

QMRes :

Ent~ao, o quadro da ANOVA constru ndo a partir das equa c~oes das somas de quadrados e dado por

Rejeitamos a hip otese de nulidade a um determinando n vel de signi cancia pr eestabelecido se onde Ftab e um quantil associado a distribui c~ao F com (r − 1) e (r − 1)(r − 2) graus de liberdade. Portanto, conclui-se que h a evidencias de que os tratamentos exercem efeito sobre a vari avel resposta.

Utilizaremos um exemplo retirado de Barbin (pg. 89, 2003) para aplica c~ao e posterior an alise sobre um ensaio em quadrado latino da produ c~ao de cana-de-a c ucar em kg/parcela, onde foram comparados cinco tipos distintos de cultivares, os quais foram designados por: A, B, C e E, sendo:

Os resultados j a classi cados por tratamentos (cultivares) em cada linha e coluna representam quilos (kg) de cana-de-a c ucar.

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3.1 An alise Explorat oria de Dados 5

Tabela 1. Produ c~ao de cana-de-a cucar em kg/parcela. Coluna Totais de

Na Tabela 1, podemos notar que, para este exemplo, temos cinco tratamentos ou cultivares aplicados no mesmo n umero de linhas e colunas. Para esse conjunto de dados, o modelo matem atico proposto para a an alise e

â Yijk e a produ c~ao de cana-de-a c ucar em kg/parcela do k- esimo cultivar aplicada na i- esima linha da j- esima coluna; â ai e o efeito da i- esima linha; â cj e o efeito da j- esima coluna; â tk(·) e o efeito do k- esimo cultivar; â eijk e o erro experimental aleat orio do modelo.

3.1 An alise Explorat oria de Dados

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