Relatório de Ensaios Fatoriais em Blocos Casualizados

(Parte 1 de 5)

Universidade Federal do Amazonas

Instituto de Ciencias Exatas Departamento de Estat stica

Ensaios Fatoriais no Delineamento em Blocos Casualizados

M arcia Brand~ao Thiago Bentes

Manaus - Amazonas mar co de 2012.1

M arcia Brand~ao Thiago Bentes

Ensaios Fatoriais no Delineamento em Blocos Casualizados

Relat orio t ecnico apresentado ao professor Dr. Edmilson de Ara ujo Silva da disciplina Planejamento de Experimentos I (IEE733) do curso de Estat stica como pr e-requisito de avalia c~ao academica do per odo de 2012.1.

Manaus - Amazonas mar co de 2012.1

Ensaios Fatoriais no Delineamento em Blocos Casualizados CONTE UDO i

2.1 Pros e Contras da Experimentac~ao Fatorial	2
2.1.1 Vantagens do Esquema Fatorial	2
2.1.2 Desvantagens do Esquema Fatorial	3
2.2 O Modelo Matematico	3
2.3 O Processo Geral de Analise de Variancia	4
2.3.1 Determinac~ao das Somas de Quadrados	6
2.3.2 Quadrados Medios	7
2.3.3 Teste F e Quadro de ANOVA	7

3.1 Analise Exploratoria de Dados	9
3.2 Analise de Resduos: Vericando a Adequac~ao do Modelo	13
3.2.1 Vericando Violac~ao de Independencia dos Erros	13
3.2.2 Vericando Violac~ao de Homoscedasticidade	14
3.2.3 Vericando Violac~ao de Normalidade dos Erros	15
3.3 Analise de Variancia (ANOVA)	16

Planejamento de Experimentos I M arcia Brand~ao & Thiago Bentes

Ensaios Fatoriais no Delineamento em Blocos Casualizados INTRODUC ~AO 1

Este relat orio foi desenvolvido como um estudo de abordagem sobre a teoria dos \ensaios fatoriais"(ou \esquema fatorial"), muito utilizada em experimentos agronomicos, por em como n~ao se trata de um delineamento experimental, a mesma e empregada dentro dos diversos tipos de delineamentos conhecidos, onde o escolhido para o estudo mencionado ser a o delineamento em \blocos ao acaso". Em seguida, a abordagem darse- a atrav es da pr atica na an alise de um conjunto de dados te oricos retirados da obra de Barbin (pg. 98 e 9, 2003).

Tal an alise foi realizada mediante t ecnicas computacionais de programa c~ao baseadas na teoria e elaboradas no software estat stico R1. Os resultados e discuss~oes anal ticas a respeito dos mesmos foram digitados em linguagem de programa c~ao TEX, a partir do pacote de macros tipogr a cas LATEX2, na forma de relat orio cient co. Na segunda se c~ao, temos a abordagem da teoria e, posteriormente, o seu uso posto em pr atica no estudo anal tico da base de dados do exemplo escolhido para a abordagem.

1Sobre o software R, ver R Development Core Team (2006). 2Para mais detalhes sobre o universo LATEX, ver Lamport (1994).

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2 Ensaios Fatoriais

Segundo Barbin (2003), ensaios fatoriais (ou experimentos fatoriais) s~ao aqueles que levam em conta combina c~oes entre os n veis de dois ou mais fatores (ou tratamentos). Quando se consideram todas as poss veis combina c~oes, tem-se os \fatoriais completos" e, quando apenas parte das combina c~oes, tem-se os \fatoriais incompletos". Um exemplo retirado de Zonta et al. (1982) nos diz que:

Exemplo 1. Em um experimento de aduba c~ao, com nitrogenio (N), f osforo (F) e pot assio (K), se cada fator for testado em dois n veis { presen ca (1) e ausencia (0) {, por exemplo, ter-se- a um fatorial 2 × 2 × 2 = 23 com 8 tratamentos (combina c~oes), os quais s~ao

Pode-se, ent~ao, de nir experimentos fatoriais como sendo aqueles cujos tratamentos resultam da combina c~ao de todos os n veis de todos os fatores que est~ao sendo estudados (Yates, 1937).

De acordo com Zonta et al. (1982), deve-se ressaltar que os experimentos fatoriais diferem dos demais apenas pela composi c~ao de seus tratamentos, sendo estes dispostos nos delineaamentos j a conhecidos, ou sejam,delineamento inteiramente ao acaso, delineamento em blocos casualizados, delineamento em quadrado latino e em parcelas subdivididas.

2.1 Pr os e Contras da Experimenta c~ao Fatorial

As vantagens da experimenta c~ao fatorial dependem da nalidade do experimento em quest~ao, onde se deseja investigar os efeitos dos fatores, contudo, tal processo tamb em pode gerar procedimentos desvantajosos se o experimento for mal planejado.

2.1.1 Vantagens do Esquema Fatorial

A grande vantagem do esquema fatorial e que se pode estudar dois ou mais fatores (tratamentos) ao mesmo tempo e, o que e talvez o mais importante, pode-se estudar a in uencia de um fator sobre o comportamento do outro (ou dos outros). Para resumir, a experimenta c~ao fatorial e conveniente quando o objetivo e:

• Determinar s efeitos de diversos fatores simultaneamente;

• Estudar as intera c~oes entre os efeitos de diversos fatores, os quais, por sua natureza, n~ao podem ser estudadas em experimentos isolados;

• Obter conclus~oes cujas recomenda c~oes devem ser aplicadas em condi c~oes muito diversas.

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2.1.2 Desvantagens do Esquema Fatorial 3

2.1.2 Desvantagens do Esquema Fatorial

A grande desvantagem deste tipo de ensaio e que quando se aumenta o n umero de n veis por fator { ou mesmo aumentando-se o n umero de fatores {, o n umero de tratamentos cresce rapidamente, o que traz problemas quanto a homogeneidade da area experimental. Por em, essa desvantagem pode ser contornada atrav es do uso do \confundimento" { que n~ao ser a abordado neste relat orio {, o qual consiste em se repartir o bloco em sub-blocos, de maneira orientada, procurando-se \confundir" o efeito de intera c~oes sem interesse pr atico com o efeito de blocos.

2.2 O Modelo Matem atico

O modelo matem atico e, consequentemente, os respectivos esquemas de an alise, dependem do n umero de fatores, seus n veis e do delineamento empregado, como os experimentos fatoriais n~ao s~ao delineamentos, geralmente s~ao dispostos em blocos ao acaso (ou blocos casualizados), podendo serem dispostos em qualquer outro tipo de delineamento. Caso consideremos um esquema fatorial com dois fatores: A e B com I e J n veis, respectivamente, ocorrer a um desdobramento dos tratamentos, os quais s~ao decompostos em efeitos do fator A, efeitos do fator B e efeitos da intera c~ao AB, resultando no modelo matem atico dado por

â "ijk e o erro experimental aleat orio, o qual independente e identicamente distribu do, tal que "ijk ∼ Normal (0; 2).

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2.3 O Processo Geral de An alise de Variancia 4

2.3 O Processo Geral de An alise de Variancia

Para a constru c~ao do quadro (ou tabela) da an alise de variancia (\analysis of variance" em ingles cuja abrevia c~ao e \ANOVA") de um experimento fatorial com dois fatores A e B com I e J n veis, respectivamente, supondo o delineamento em blocos ao acaso, segundo Montgomery (2009), e necess ario testarmos as seguintes hip oteses:

• Para o fator A, testa-se

A partir do modelo matem atico em (E.1), pelo m etodo dos m nimos quadrados ordin arios (MQO), encontramos o sistema de equa c~oes normais para a ANOVA, logo tem-se onde

Derivando parcialmente em rela c~ao a m edia geral, obt em-se

i=1 bai −IK j=1 bbj −K i=1 bai +IK j=1 bbj +K k=1 brk = G;

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2.3 O Processo Geral de An alise de Variancia 5 em que

que, iguaando a zero, tem-seJ∑ j=1 K∑ j=1 bbj −K j=1 bbj +K a qual e a equa c~ao normal para o fator A. De maneira an aloga, encontra-se a equa c~ao normal para o fator B dada por

i=1 bai +IKbbj +K

Denominando de (AB)ij = ∑ k = 1KYijk ao total do tratamento resultante da que e a equa c~ao normal da intera c~ao do fator A com o fator B. Finalmente, a equa c~ao normal para as repeti c~oes e i=1 bai + I

Portanto, temos, assim, o sistema de equa c~oes normais:

i=1 bai +IK j=1 bbj +K k=1 brk =G;

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