Algebra linear

Algebra linear

(Parte 2 de 6)

Prova:

A prova dos outros resultados e deixada como exercıcio.

1.3 Exercıcios

Ex. 1.6 Verifique se em cada um dos itens o conjunto V com as operacoes indicadas e um espaco vetorial sobre R.

b a

5. V = P(R) = { polinomios com coeficientes reais }, operacoes usuais de funcoes.

14 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS 14 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS

Capıtulo 2 Subespacos Vetoriais

2.1 Introducao e Exemplos

Definicao 2.1 Seja V um espaco vetorial. Dizemos que W ⊂ V e um subespaco vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condicoes:

SV2 Se u,v ∈ W entao u + v ∈ W; SV3 Se u ∈ W entao λu ∈ W para todo λ ∈ R.

Observacao 2.2 Note que todo subespaco vetorial W de um espaco vetorial V e ele proprio um espaco vetorial. As propriedades comutativa, associativa, distributivas e EV8 sao herdadas do proprio espaco vetorial V. O elemento neutro da adicao e um elemento de W por SV1. Finalmente, se u ∈ W entao −u = (−1)u ∈ W pelo item 4 da proposicao 1.5 e por SV3.

Observacao 2.3 Obviamente {0} e V sao subespacos vetoriais do espaco vetorial V. Sao chamados de subespacos vetoriais triviais.

Observacao 2.4 Note que W e subespaco vetorial de V se e somente se sao validas as seguintes condicoes:

16 CAPITULO 2. SUBESPACOS VETORIAIS

Vejamos alguns outros exemplos:

Verifiquemos que P∗ n e, de fato, um subespaco vetorial de Pn.

Exemplo 2.6 Verifiquemos que S = {(x,y,z) ∈ R3;x + y + z = 0} e um subespaco vetorial de R3.

Exemplo 2.7 Considere o seguinte conjunto S = {y ∈ C2(R;R);y′′ − y = 0} onde y′′ representa a derivada de segunda ordem de y. Verifiquemos que S e um subespaco vetorial de C2(R;R).

Deixamos como exercıcio a verificacao de que os seguintes exemplos sao subespacos vetoriais dos respectivos espacos vetoriais.

2.2. INTERSEC AO E SOMA DE SUBESPACOS 17

Exemplo 2.9 O conjunto das funcoes contınuas da reta na reta, C(R;R), e um subespaco vetorial de F(R).

Exemplo 2.10 O conjunto das funcoes f ∈ C([a,b];R) tais que ∫ b subespaco vetorial de C([a,b];R).

Exemplo 2.1 O conjunto das matrizes simetricas quadradas de ordem m com coeficientes reais e um subespaco vetorial de Mm(R).

Exemplo 2.12 Sejam m,n ∈ N com m ≤ n. Entao Pm e um subespaco de Pn.

2.2 Intersecao e Soma de Subespacos

Proposicao 2.13 (Intersecao de subespacos) Sejam U e W subespacos vetoriais de V. Entao U ∩ W e subespaco vetorial de V.

Observacao 2.14 Note que o subespaco V ∩ W esta, obviamente, contido em ambos subespacos: U e V.

Se U e W sao subespacos vetoriais de um espaco vetorial V e V ′ e um subespaco de

V que contenha U e W, isto e, U ∪ W ⊂ V ′ entao V ′ tera que conter todos os vetores da forma u + w, u ∈ U e w ∈ W. Isto motiva a seguinte

Definicao 2.15 Sejam U e W subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. Definimos a soma de U e W como U +W = {u+w;u ∈ U,w ∈ W}.

18 CAPITULO 2. SUBESPACOS VETORIAIS

Proposicao 2.16 (Soma de subespacos) Sejam U,W e V como na definicao acima. Entao U + W e um subespaco vetorial de V. Alem do mais, U ∪ W ⊂ U + W.

Prova: Verifiquemos que U + W e subespaco vetorial de V. 1. Como 0 ∈ U e 0 ∈ W entao 0 = 0+0 ∈ U +W;

Definicao 2.17 Sejam U e W subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. Dizemos que U +W e a soma direta de U e W se U ∩W = {0}. Neste caso usaremos a notacao U ⊕ W para representar U + W.

Observacao 2.18 Note que trivialmente {0} ⊂ U ∩ W se U e W sao subespacos vetoriais.

Proposicao 2.19 (Soma de subespacos) Sejam U e W subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. Temos V = U ⊕ W se e somente se para cada v ∈ V existirem um unico u ∈ U e um unico w ∈ W satisfazendo v = u + w.

Prova: Suponha que V = U ⊕ W, isto e, V = U + W e U ∩ W = {0}. Entao, dado v ∈ V existem u ∈ U e w ∈ W satisfazendo v = u + w. Queremos mostrar que tal decomposicao e unica. Suponha que existam u′ ∈ U e w′ ∈ W tais que v = u′ + w′. Entao, u + w = u′ + w′, o que implica em u − u′ = w′ − w. Mas u − u′ ∈ U e w′ − w ∈ W e, portanto, u − u′ = w′ − w ∈ U ∩ W = {0}, ou seja u = u′ e w = w′.

Suponha agora que para cada v ∈ V existam um unico u ∈ U e um unico w ∈ W satisfazendo v = u + w. E claro que V = U + W. Resta mostrar que U ∩ W = {0}. Obviamente, 0 ∈ U ∩ W. Seja v ∈ U ∩ W, isto e, v ∈ U e v ∈ W. Entao, existem um unico u ∈ U e um unico w ∈ W satisfazendo v = u + w. Observe que v = u + w = (u + v) + (w − v) com u + v ∈ U e w − v ∈ W e, pela unicidade da decomposicao, devemos ter u = u + v e w = w − v, isto e, v = 0. Logo, U ∩ W = {0}.

Alternativamente, poderıamos supor a existencia de v 6= 0 em U ∩ W e daı obterıamos v = 2v −v = 4v −3v, duas decomposicoes distintas para v ja que 2v,4v ∈ U, 2v 6= 4v e −v,−3v ∈ W.

2.2. INTERSEC AO E SOMA DE SUBESPACOS 19

Note que W e de fato um subespaco vetorial de R3 pois W = {(x,y,z) ∈ R3;x = 0}∩

Se λ ∈ R entao

Finalmente, (0,0,0) ∈ W, o que conclui a prova de que W e um subespaco vetorial. Prosseguindo, dado (x,y,z) ∈ R3 podemos escrever

Definicao 2.21 Sejam U1,...,Un subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. A soma de U1 a Un e definida por

Definicao 2.2 Sejam U1,...,Un subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. Dizemos que a soma de U1 a Un e uma soma direta se

Neste caso usaremos a notacao U1 ⊕ · ⊕ Un para denotar a soma de U1 a Un. Observacao 2.23 E obvio que

20 CAPITULO 2. SUBESPACOS VETORIAIS

Proposicao 2.24 Sejam U1,...,Un subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. Entao V = U1⊕·⊕Un se e somente se para cada v ∈ V existe, para cada j = 1,...,n, um unico uj ∈ Uj tal que v = u1 + · + un.

Prova: A prova e analoga a da proposicao 2.19.

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