Algebra linear

Algebra linear

(Parte 3 de 6)

Assim, P2 = U1 +U2 +U3. Verifiquemos que a soma e direta.

2.3 Exercıcios

Ex. 2.26 Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W e um subespaco vetorial do espaco vetorial V. Caso nao sejam especificadas, as operacoes sao as usuais.

Ex. 2.27 Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmacao e verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. isto e, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa.

1. Se W1 e W2 sao susbespacos de um espaco vetorial V entao W1∪W2 e subespaco de V.

2. Sejam W1 e W2 subespacos de um espaco vetorial V. Entao W1∪W2 e subespaco de V se, e somente se, W1 ⊆ W2 ou W2 ⊆ W1. (Sugestao: mostre que se W e subespaco de V e x0, y0 ∈ V sao tais que x0 ∈ W e y0 6∈ W entao x0 + y0 /∈ W e use-o.)

Ex. 2.28 Em cada item abaixo encontrar os subespacos U + W e U ∩ W, onde U, W sao subespacos do espaco vetorial V indicado.

Ex. 2.29 Verifique em cada um dos itens abaixo se V = U ⊕ W.

2 CAPITULO 2. SUBESPACOS VETORIAIS

Ex. 2.30 Em cada um dos itens abaixo, dado U subespaco de V , encontrar o subespaco suplementar de U, isto e, o subespaco W de V tal que V = U ⊕ W.

Capıtulo 3 Combinacoes Lineares

3.1 Introducao e Exemplos

Definicao 3.1 Sejam u1,...,un elementos de um espaco vetorial V. Dizemos que u e combinacao linear de u1,...,un se existirem numeros reais α1,...,αn tais que u = α1u1 + · + αnun

Precisamos encontrar numeros reais α,β e γ tais que p(x) = αq1(x)+βq2(x)+γq3(x). Ou seja, precisamos encontrar α,β e γ satisfazendo que e equivalente ao sistema

24 CAPITULO 3. COMBINAC OES LINEARES

3.2 Geradores

Definicao 3.4 Sejam V um espaco vetorial e S um subconjunto nao vazio de V. Usaremos o sımbolo [S] para denotar o conjunto de todas as combinacoes lineares dos ele-

Proposicao 3.5 Sejam V um espaco vetorial e S um subconjunto nao vazio de V. Entao [S] e um subespaco vetorial de V.

2. Se u, v ∈ [S] entao existem α1,, αn, β1, . . . , βm ∈ R e u1, . . . , un, v1, . . . ,

Definicao 3.6 Sejam S e V como acima. Diremos que [S] e o subespaco vetorial gerado por S. Os elementos de S sao chamados de geradores de [S]. Se S = {u1,...,un} tambem usaremos a notacao [S] = [u1,...,un].

Proposicao 3.7 Sejam S e T subconjuntos nao-vazios de um espaco vetorial V. Temos 1. S ⊂ [S];

Prova:

3. Pelo item 1 desta proposicao, [S] ⊂ [[S]]. Seja u ∈ [[S]]. Segue da definicao que u e uma combinacao linear de elementos de [S], mas como cada elemento de [S] e uma combinacao linear de elementos de S resulta que u e uma combinacao linear de elementos de S, ou seja, u ∈ [S];

4. Pelo item 1, S ⊂ [S]. Seja u ∈ [S]. Entao u e uma combinacao linear de elementos de S. Como S e um subespaco vetorial, esta combinacao linear e um elemento de S;

5. Seja u ∈ [S ∪ T]. Por definicao, existem α1,, αn, β1, . . ., βm ∈ R e u1, . . .,

Definicao 3.8 Dizemos que um espaco vetorial V e finitamente gerado se existir um subconjunto finito S ⊂ V tal que V = [S].

2. Rn e gerado por e1 = (1, 0,, 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1).

Sao exemplos de espacos vetoriais finitamente gerados: 1. Pn(R) = [1,x,...,xn];

3. Mm×n(R) e gerado pelas matrizes Ekl = (δ (k,l)

i,j ), k = 1,, m, l = 1, . . . n,

onde

0 caso contrario .

26 CAPITULO 3. COMBINAC OES LINEARES

Exemplo 3.9 Seja P(R) o espaco vetorial formado por todos os polinomios. Afirmamos que P(R) nao e finitamente gerado.

Note que Pn(R) ⊂ P(R) para todo n ∈ N. Se P(R) fosse finitamente gerado existiriam polinomios p1(x),...,pn(x) tais que P(R) = [p1(x),...,pn(x)]. Seja N o grau mais alto dentre os polinomios p1(x),...,pn(x). E evidente que xN+1 nao pode ser es-

Exemplo 3.10 Seja V um espaco vetorial gerado por u1,...,un. Mostre que se, por exemplo, u1 e uma combinacao linear de u2,...,un entao V e gerado por u2,...,un.

Devemos mostrar que qualquer u ∈ V se escreve como uma combinacao linear de e existem tambem β1,...,βn−1 satisfazendo u1 = β1u2 + · + βn−1un. Combinando estas informacoes, obtemos

Veremos mais adiante que este e o numero mınimo de geradores para o subespaco U +V.

3.3 Exercıcios

Ex. 3.12 Para cada um dos subconjuntos S ⊆ V , onde V e o espaco vetorial indicado, encontrar o subespaco gerado por S, isto e, [S].

28 CAPITULO 3. COMBINAC OES LINEARES

Ex. 3.13 Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjunto S, finito, que gera o subespaco vetorial W do espaco vetorial V.

Ex. 3.14 Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos S do espaco vetorial V que geram U, W, U ∩W e U +W.

Ex. 3.15 Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos S do espaco vetorial V que geram U, W, U ∩W e U +W.

Ex. 3.16 Obtenha o subconjunto formado por vetores do espaco vetorial P3(R) que geram os seguintes subespacos;

30 CAPITULO 3. COMBINAC OES LINEARES 30 CAPITULO 3. COMBINAC OES LINEARES

Capıtulo 4 Dependencia Linear

4.1 Introducao e Exemplos

Definicao 4.1 Dizemos que uma sequencia de vetores u1,...,un de um espaco vetorial V e linearmente independente (l.i., abreviadamente) se a combinacao linear α1u1 + · + αnun = 0 so for satisfeita quando α1 = · = αn = 0.

Observacao 4.2 Note que se α1 = · = αn = 0 entao α1u1 + · + αnun = 0, porem, a recıproca nem sempre e valida. Basta ver que, por exemplo, em R2 temos

Definicao 4.4 Dizemos que uma sequencia u1,...,un de um espaco vetorial V e linearmente dependente (l.d., abreviadamente) se nao for linearmente independente.

Observacao 4.5 A definicao de dependencia linear para a sequencia u1,, un e equi-

valente a dizer que e possıvel encontrar numeros reais α1,...,αn nao todos nulos tais que α1u1 + · + αnun = 0.

Exemplo 4.6 O,u1,...,un ⊂ V e uma sequencia l.d., onde O e o elemento neutro do espaco vetorial V.

32 CAPITULO 4. DEPENDENCIA LINEAR

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