Algebra linear

Algebra linear

(Parte 4 de 6)

Isto equivale a resolver o sistema

que possui como unica solucao, α = β = γ = 0. Logo, a sequencia acima e l.i..

Exemplo 4.8 Considere os vetores em R3 dados por

Encontre uma condicao necessaria e suficiente para que os vetores u1,u2,u3 sejam linearmente independentes.

Vejamos, os vetores acima serao l.i. se e somente se α1u1+α2u2+α3u3 = 0 apresentar

possua solucao unica e, como se sabe, isto e equivalente que a matriz

possua determinante diferente de zero. Note que as colunas desta matriz sao formadas pelos coeficientes de u1,u2 e u3. O mesmo resultado vale se colocarmos os coeficientes dos vetores u1, u2 e u3 como linhas. Por que?

4.1. INTRODUC AO E EXEMPLOS 3

Exercıcio 4.9 Enuncie e demonstre um resultado analogo ao exemplo anterior para uma sequencia com n vetores do Rn.

Exemplo 4.10 Verifique se as matrizes( 1 0

sao linearmente independentes em M2(R).

Procuremos as solucoes deα

que equivale a ( α+β β +γ que possui como solucao (α,β,γ) = (α,−α,α) para qualquer α ∈ R. Dessa forma, a sequencia de matrizes dada e linearmente dependente, bastando tomar, por exemplo, α = 1, β = −1 e γ = 1.

Exemplo 4.1 Verifique se as funcoes cos e sen sao l.d. em C1(R;R).

Como cos e sen sao funcoes definidas em R, a combinacao nula αcos+β sen = 0 significa que αcosx + β senx = 0 para todo x ∈ R. Em particular, para x = 0 vemos que α = 0 e para x = pi/2, vem β = 0. Portanto, cos e sen sao l.i..

resulta que as funcoes acima sao l.d..

Exercıcio 4.13 Sejam f(x) = cos2x, g(x) = cos2 x e h(x) = sen2x, x ∈ R. Mostre que f,g,h sao linearmente dependentes em C1(R;R).

34 CAPITULO 4. DEPENDENCIA LINEAR

4.2 Propriedades

Proposicao 4.14 Se u1,...,un sao l.d. em um espaco vetorial V entao pelo menos um destes vetores se escreve como combinacao linear dos outros.

Proposicao 4.15 Se u1,...,un em V sao l.d. entao qualquer sequencia finita de vetores de V que os contenha, tambem sera l.d..

Como existem numeros reais β1,...,βn nao todos nulos tais que β1u1 + · + βnun = 0, podemos escrever β1u1 + · + βnun + 0un+1 + · + 0um = 0 sendo que nesta ultima expressao nem todos os coeficientes sao nulos.

Proposicao 4.16 Se u1,...,un,un+1,...,um sao l.i. em um espaco vetorial V entao qualquer subsequencia destes vetores tambem e l.i..

Agora, se βn+1 = 0 entao a expressao acima ficaria β1u1 · + βnun = 0.

Proposicao 4.18 Sejam u1,...,un vetores l.i. em um espaco vetorial V. Entao cada vetor v ∈ [u1,...,un] se escreve de maneira unica como v = α1u1 + · + αnun.

Prova:

j = 1,, n.

4.3 Exercıcios

Ex. 4.19 Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o subconjunto S do espaco vetorial V e l.i. ou l.d.

36 CAPITULO 4. DEPENDENCIA LINEAR 36 CAPITULO 4. DEPENDENCIA LINEAR

Capıtulo 5 Base, Dimensao e Coordenadas

Definicao 5.1 Seja V 6= {0} um espaco vetorial finitamente gerado. Uma base de V e uma sequencia de vetores linearmente independentes B de V que tambem gera V.

...,0),, en = (0,...,0,1) formam uma base de Rn.

Resolucao: E preciso mostrar que estes vetores sao l.i. e que todo ponto de R2 se escreve como combinacao linear de (1,1) e (1,−1). No entanto, se mostrarmos que todo ponto de R2 se escreve de maneira unica como combinacao linear de (1,1) e (1,−1) ja estaremos mostrando as duas propriedades ao mesmo tempo. (Por que?)

Esta ultima expressao e equivalente ao seguinte sistema linear{ α+β = x

38 CAPITULO 5. BASE, DIMENSAO E COORDENADAS

Resolvendo o sistema obtemos uma unica solucao dada por α = (x + y)/2 e β = (x − y)/2. ¤

Exemplo 5.5 As matrizes em B =

)} formam uma base para M2(R).

Exercıcio 5.6 Verifique se os elementos de B = {1 + x,1 − x,1 − x2} formam uma base de P2(R).

Teorema 5.7 Todo espaco vetorial V 6= {0} finitamente gerado admite uma base. Em outras palavras, ha uma sequencia de vetores l.i. de V formada por geradores.

[u1,, un]. Se u1, . . . , un forem l.i., entao esta sequencia e uma base de V e nao ha

Prova: Como V 6= {0} e finitamente gerado existem u1,...,un ∈ V tais que V = nada mais a ser provado.

Como u1 6= 0, u1 e l.i. Agora, se todo uj, j = 2,...,n puder se escrever como combinacao linear de u1 entao V = [u1] e u1 e uma base de V. Caso isto nao ocorra, e porque existe algum uj, com 2 ≤ j ≤ n tal que u1,uj sao l.i.. Por simplicidade, suponhamos que seja o u2, isto e, u1,u2 sao l.i.. Bem, se todos os vetores u3,...,un forem combinacoes lineares de u1 e u2 entao V = [u1,u2] e u1,u2 formam uma base de

V. Podemos repetir este processo e como o numero de elementos de L = {u1,...,un} e finito, ele finda. Desse modo, existe uma sequencia de vetores l.i. dentre os vetores L que gera V. Esta sequencia forma uma base de V.

5.2 Dimensao

Teorema 5.8 Em um espaco vetorial V 6= {0} finitamente gerado toda base possui o mesmo numero de elementos.

Prova: Sejam u1,...,un e v1,...,vm bases de um espaco vetorial finitamente gerado

V. Suponhamos que n > m e mostremos que isto implicara que u1,...,un sao l.d., o que contraria o fato de formarem uma base.

Como os vetores v1,...,vm geram V podemos escrever para cada 1 ≤ j ≤ n,

5.2. DIMENS AO 39 Assim, a combinacao linear nula x1u1 + · + xnun = 0 e equivalente a

ou ainda,

j=1 xjαmj representam um sistema linear homogeneo com n incognitas. Como n > m, existe uma

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