Algebra linear

Algebra linear

(Parte 5 de 6)

de zero. Assim, u1,, un sao l.d., uma contradicao.

solucao nao trivial, isto e, uma solucao x1,...,xn onde pelo menos um xj e diferente

Definicao 5.9 Seja V um espaco vetorial finitamente gerado. Se V = {0} definimos a dimensao de V como sendo 0. Se V 6= {0} definimos a dimensao de V como sendo o numero de elementos de uma base qualquer de V. Usaremos o sımbolo dimV para designar a dimensao de V.

Definicao 5.10 Se um espaco vetorial nao e finitamente gerado dizemos que V possui dimensao infinita.

Proposicao 5.1 Todo espaco vetorial de dimensao infinita possui uma infinidade de vetores linearmente independentes.

Prova: Seja V um espaco vetorial de dimensao infinita. Claramente V 6= {0}. Selecione u2 ∈ V tal que u2 6∈ [u1]. Desta forma, os vetores u1 e u2 sao linearmente independentes.

tes. Como V nao e finitamente gerado, V 6= [u1,, un] e, assim, e possıvel escolher
un+1 ∈ V tal que un+1 6∈ [u1,, un], isto e, os vetores u1, . . ., un, un+1 ∈ V sao

Suponha que tenhamos encontrado vetores u1,...,un ∈ V linearmente independenlinearmente independentes.

Em resumo, existe em V uma sequencia infinita de vetores linearmente independentes.

A seguinte proposicao e um resultado da prova do teorema 5.8.

40 CAPITULO 5. BASE, DIMENSAO E COORDENADAS

Proposicao 5.12 Em um espaco vetorial de dimensao m qualquer sequencia de vetores com mais de m elementos e linearmente dependente.

Corolario 5.13 Todo subespaco vetorial de um espaco vetorial de dimensao finita tambem tem dimensao finita.

Prova: Seja V um espaco vetorial de dimensao finita e W um subespaco vetorial de V. Se W tivesse dimensao infinita, pela proposicao 5.1, existiria uma infinidade de vetores linearmente independentes em W. Como estes vetores tambem sao linearmente independentes em V, o numero deles deveria ser menor do que a dimensao de V (pela proposicao 5.12). Uma contradicao.

Exemplo 5.14 dimRn = n. Exemplo 5.15 A dimensao de P(R) e infinita. Veja o exemplo 3.9.

Exemplo 5.16 dimPn(R) = n + 1. Basta notar que os polinomios 1,x,...,xn formam uma base de Pn(R).

Note que o as matrizes

formam uma base de Mm×n(R).

Exercıcio 5.18 A dimensao do espaco das matrizes quadradas e simetricas de ordem n e n(n + 1)/2.

res u1,, ur sao l.i. em V com r < n entao existem ur+1, . . . , un tais que u1, . . . , ur,

Teorema 5.19 (Completamento) Seja V um espaco vetorial de dimensao n. Se os vetour+1,...,un formam uma base de V.

5.3. DIMENSAO DE SOMA DE SUBESPACOS VETORIAIS 41

Prova: Como r < n existe ur+1 ∈ V tal que u1,...,ur,ur+1 sao l.i., pois caso contrario os vetores u1,...,ur formariam uma base de V, o que e impossıvel pois dimV = n > r.

sao l.i., pois caso contrario a sequencia u1,, ur, ur+1 seria uma base de V, o que e
Repetindo os argumentos acima, encontramos vetores ur+1,ur+2,, ur+k, onde

r + k = n, de forma que

u1,, ur, ur+1, . . . , ur+k

sao l.i. e, como dimV = n = r +k, segue que esta sequencia de vetores e uma base de V que contem os vetores u1,...,ur.

Exemplo 5.20 Encontre uma base do R3 que contenha o vetor (1,1,−1).

Como a dimensao de R3 e tres, precisamos encontrar dois vetores, (a,b,c), (x,y,z), que juntamente com (1,1,−1) sejam l.i.. Porem, pelo exemplo 4.8, sabemos que isto e equivalente ao determinante de

5.3 Dimensao de Soma de Subespacos Vetoriais

Proposicao 5.21 Seja V um espaco vetorial de dimensao finita. Se U e W sao subespacos vetoriais de V entao

Prova: Lembre que todo subespaco de um espaco vetorial de dimensao finita tem tambem dimensao finita.

42 CAPITULO 5. BASE, DIMENSAO E COORDENADAS formam uma base de U. Por outro lado, v1,...,vm tambem pertencem a W e pelo mesmo teorema e possıvel encontrar w1,..., wq ∈ W de modo que w1,...,wq,v1,

...,vm formem uma base de W. Com a notacao usada, temos dim(U ∩ W) = m, dimU = m + p e dimW = m + q. Sendo assim, a fim de mostrarmos que 5.2 e valida, e necessario e, na verdade, suficiente mostrar que dim(U +W) = m+p+q. Para tanto, basta mostrarmos que os vetores

u1,, up, w1, . . . , wq, v1, . . . , vm (5.23)

formam uma base de U + W. MostremosprimeiramentequeelesgeramU+W :dadov ∈ U+W existemu ∈ U e

e w e uma cominacao linear de w1,...,wq,v1,,vm segue que v = u + w e uma
cominacao linear de u1,, up, v1, . . . , vm,1 , . . . , wq. Portanto,
U + W = [u1,, up, v1, . . . , vm,1 , . . . , wq].

w ∈ W tais que v = u + w. Como u e uma cominacao linear de u1,...,up,v1,...,vm Verifiquemos que os vetores em 5.23 sao l.i.. Suponha que

Consequentemente, existem γ1,...,γm tais que

α1 = · = αp = δ1 = · = δm = 0, donde se conclui que os vetores de 5.23 sao linearmente independentes.

5.3. DIMENSAO DE SOMA DE SUBESPACOS VETORIAIS 43

Corolario 5.25 Seja U um subespaco vetorial de um espaco vetorial de dimensao finita V. Se dimU = dimV entao U = V.

Prova: Suponha que exista u1 ∈ V com u1 6∈ U. Coloque W = [u1]. Como U ∩ W = {0} e dimW = 1, segue da proposicao 5.21 que dim(U +W) = dimU +1 = dimV +1 > dimV. Um absurdo pois dim(U + W) ≤ dimV.

Observacao 5.26 Note que se V, U e W sao como na proposicao 5.21 e se alem do mais tivermos V = U + W e dimU + dimW > dimV entao U ∩ W 6= {0}, isto e, a soma U + W nao e direta.

= dimU + dimW − dimV > 0, um absurdo.

U : Temos

Desse modo, U = [x2 − x,x3 − x] e estes polinomios sao l.i. pois como cada um tem um grau distinto do outro, nenhum pode ser multiplo do outro. Assim, x2 −x e x3 − x formam uma base de U.

4 CAPITULO 5. BASE, DIMENSAO E COORDENADAS

Desse modo, V = [1 + x,x2 + x,x3 − x] e estes polinomios sao l.i. pois como cada um tem um grau distinto do outro, nenhum pode ser uma combinacao linear dos outros dois. Portanto, 1 + x,x2 + x e x3 − x formam uma base de V.

Logo, x3 − x e uma base de U ∩ V.

Exemplo 5.28 Voltemos ao exemplo 3.1. Sabemos que

Verifiquemos que os geradores acima sao na verdade bases para os respectivos subespacos vetoriais. Para tanto basta verificar que cada sequencia de vetores acima e l.i.. Analisemos primeiramente para U: se

que implica em α = β = γ = 0. Vejamos agora o caso do subespaco V : se

que implica em α = β = γ = 0. Passemos agora a U ∩ V : se que implica em α = β = 0.

5.4 Coordenadas

Sejam V um espaco vetorial finitamente gerado e B uma base de V formada pelos ve-

eficientes α1,, αn sao unicamente determinados pelo vetor u. Estes coeficientes sao

tores u1,...,un. Como B e uma base de V, todo elemento de u ∈ V se escreve como α1u1 + · + αnun, com os coeficientes α1,...,αn ∈ R. Pela proposicao 4.18, os codenominados coordenas de u com relacao a base B. Representaremos as coordenadas de u com relacao a base como

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