Algebra linear

Algebra linear

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B ou, simplesmente, por

46 CAPITULO 5. BASE, DIMENSAO E COORDENADAS quando B estiver subentendida.

Exemplo 5.29 Mostre que os vetores (1,1,1), (0,1,1) e (0,0,1) formam uma base de R3. Encontre as coordenadas de (1,2,0) ∈ R3 com relacao a base B formada pelos vetores acima.

Ja sabemos que dimR3 = 3. Para verificar se os vetores acima formam uma base de V, basta verificar se eles sao l.i.. Utilizando o exemplo 4.8 vemos que estes vetores sao de fato l.i. pois a matriz

possui determinante igual a 1 6= 0. Agora, que e equivalente ao sistema

cuja (unica) solucao e α = 1, β = 1 e γ = −2. Desse modo, as coordenadas de (1,2,0) com relacao a base B sao dadas por

Exemplo 5.30 Mostre que os polinomios 1,x,x2 −x formam uma base, B, de P2(R). Encontre as coordenadas de 1 + x + x2 com relacao a base B. Encontre tambem as coordenadas deste mesmo polinomio com relacao a base C formada pelos polinomios 1, x e x2.

Pa verificar que 1,x,x2 −x formam uma base de P2(R) basta mostrar cada p(x) = a0 +a1x+a2x2 ∈ P2(R) se escreve de maneira unica como combinacao linear de 1,x e x2−x. Isto e equivalente a mostrar que a equacao p(x) = α1+βx+γ(x2−x) possui uma unica solucao (α,β,γ) ∈ R3. A equacao acima se escreve como que e equivalente ao sistema

que possui uma unica solucao dada por α = a0, β = a1 + a2, e γ = a2. Com isso em maos, vemos que as coordenadas de 1 + x + x2 com relacao a base B sao dadas por

Note que com relacao a base C formada por 1, x e x2 as coordenadas de 1 + x + x2 sao dadas por

5.5 Exercıcios

Ex. 5.31 Verificar em cada um dos casos se o subconjunto B do espaco vetorial V e uma base para V.

Ex. 5.32 Encontrar em cada um dos itens abaixo uma base e a dimensao do subespaco W do espaco vetorial V.

48 CAPITULO 5. BASE, DIMENSAO E COORDENADAS

Ex. 5.3 Dados U, W subespacos do espaco vetorial V determinar; i) uma base e a dimensao de U. i) uma base e a dimensao de W. i) uma base e a dimensao de U + W. iv) uma base e a dimensao de U ∩ W. nos seguintes casos;

tr(A) e a soma dos elementos da diagonal principal de A, chamado de traco de

Ex. 5.34 Determinar as coordenadas do vetor u = (−1,8,5) ∈ R3 em relacao a cada uma das bases de R3 abaixo;

Ex. 5.35 Determinar as coordenadas de p(t) ∈ P3(R), dado por p(t) = 10 + t2 + 2t3, t ∈ R em relacao as seguintes bases de P3(R);

1. base canonica

Ex. 5.36 Determinar as coordenadas do vetor seguintes bases de M2(R);

1. base canonica

50 CAPITULO 5. BASE, DIMENSAO E COORDENADAS 50 CAPITULO 5. BASE, DIMENSAO E COORDENADAS

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