Matemática Telecurso 2000 - Matematica - Livro 2

Matemática Telecurso 2000 - Matematica - Livro 2

(Parte 1 de 4)

O Telecurso 2000 Ø uma proposta de educa- çªo a distância para dar atendimento, prioritariamenteprioritariamenteprioritariamenteprioritariamenteprioritariamente, a jovensjovensjovensjovensjovens e adultosadultosadultosadultosadultos que desejam fazer o curso ou complementar sua escolaridade atØ o nível de 2” Grau, bem como adquirir competŒncias bÆsicas para o exercício de uma profissªo.

No Telecurso 2000, o participante tem a oportunidade de adquirir conhecimentos gerais correspondentes ao ensino de 3“ à 8“ sØries do 1” Grau, às trŒs sØries do 2” Grau e, ainda, conhecimentos específicos relativos aos Cursos Profissionalizantes.

Constitui-se, tambØm, numa possibilidade de reciclagem para os professores e num reforço à aprendizagem dos participantes de modo geral, dentro da perspectiva de um processo permanente de educaçªo.

Quais sªo as disciplinas

1”1”1”1”1”GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU
1“FASEFASEFASEFASEFASE-----LNGUALNGUALNGUALNGUALNGUA PORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESAPORTUGUESA, , , , , MATEMTICAMATEMTICAMATEMTICAMATEMTICAMATEMTICA E HISTÓRIAHISTÓRIAHISTÓRIAHISTÓRIAHISTÓRIA
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2”2”2”2”2”GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU
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CURSOSCURSOSCURSOSCURSOSCURSOSPROFISSIONALIZANTESPROFISSIONALIZANTESPROFISSIONALIZANTESPROFISSIONALIZANTESPROFISSIONALIZANTES
1“FASEFASEFASEFASEFASE-----UNIVERSOUNIVERSOUNIVERSOUNIVERSOUNIVERSO MECNICOMECNICOMECNICOMECNICOMECNICO, , , , , ORGANIZAOORGANIZAOORGANIZAOORGANIZAOORGANIZAO DODODODODO TRABALHOTRABALHOTRABALHOTRABALHOTRABALHO, , , , , NORMALIZAONORMALIZAONORMALIZAONORMALIZAONORMALIZAO,,,,,
MATERIAISMATERIAISMATERIAISMATERIAISMATERIAIS, , , , , LEITURALEITURALEITURALEITURALEITURAE INTERPRETAOINTERPRETAOINTERPRETAOINTERPRETAOINTERPRETAO DEDEDEDEDE DESENHODESENHODESENHODESENHODESENHO MECNICOMECNICOMECNICOMECNICOMECNICO,,,,,
ELEMENTOSELEMENTOSELEMENTOSELEMENTOSELEMENTOSDEDEDEDEDE MQUINASMQUINASMQUINASMQUINASMQUINAS, , , , , CLCULOCLCULOCLCULOCLCULOCLCULO TÉCNICOTÉCNICOTÉCNICOTÉCNICOTÉCNICO
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ESEGURANASEGURANASEGURANASEGURANASEGURANA DODODODODO TRABALHOTRABALHOTRABALHOTRABALHOTRABALHO, , , , , QUALIDADEQUALIDADEQUALIDADEQUALIDADEQUALIDADE, , , , , PROCESSOSPROCESSOSPROCESSOSPROCESSOSPROCESSOS DEDEDEDEDE FABRICAOFABRICAOFABRICAOFABRICAOFABRICAO,,,,,
ENSAIOSENSAIOSENSAIOSENSAIOSENSAIOSDEDEDEDEDE MATERIAISMATERIAISMATERIAISMATERIAISMATERIAIS
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PROCESSOSPROCESSOSPROCESSOSPROCESSOSPROCESSOSDEDEDEDEDE FABRICAOFABRICAOFABRICAOFABRICAOFABRICAO, , , , , TRATAMENTOTRATAMENTOTRATAMENTOTRATAMENTOTRATAMENTO DEDEDEDEDE SUPERFCIESSUPERFCIESSUPERFCIESSUPERFCIESSUPERFCIES,,,,,

No Telecurso 2000, as disciplinas curriculares apresentam esta estrutura: AUTOMATIZAOAUTOMATIZAOAUTOMATIZAOAUTOMATIZAOAUTOMATIZAO/////AUTOMAOAUTOMAOAUTOMAOAUTOMAOAUTOMA˙ˆO

Cada fase tem a duraçªo mØdia de seis meses. O participante pode iniciar seus estudos na fase que for melhor para sua realidade, para seus interesses e para suas necessidades.

Recursos de aprendizagem

O Telecurso 2000 combina o uso de programas de TV (teleaulas) com materiais impressos próprios, referentes a cada disciplina, permitindo - alØm da aprendizagem dos conteœdos - a construçªo de novos conhecimentos e sua aplicaçªo. -Cada aula na TV tem duraçªo de 15 minutos.

-Nos livros do Telecurso, o participante estuda, pesquisa e realiza exercícios.

-É importante o uso de dicionÆrios e de diferentes materiais de leitura: jornais, revistas, livros, entre outros, que enriqueçam a aprendizagem.

O Telecurso 2000

Como participar

O Telecurso 2000 Ø aberto a todos os interessados, e o participante pode trabalhar de vÆrias formas, escolhendo a alternativa que lhe seja mais adequada e que se ajuste à sua possibilidade de participaçªo.

Alternativa 1 Freqüentando a telessala instalada numa instituiçªo privada ou pœblica. Neste caso, o participante: lfaz sua inscriçªo; lfreqüenta o curso no local e nos horÆrios estipulados pela instituiçªo.

Trata-se da recepçªo organizadarecepçªo organizadarecepçªo organizadarecepçªo organizadarecepçªo organizada, na qual os alunos se reœnem com a presença do Orientador de Aprendizagem e realizam atividades individuais ou em grupo.

Alternativa 2 Assistindo às teleaulas, sozinho ou em pequenos grupos, em qualquer lugar em que haja um aparelho de TV disponível: em casa, na casa de um amigo, no sindicato, na igreja, no clube e atØ no trabalho, sem necessitar da presença do Orientador de Aprendizagem durante a veiculaçªo dos programas.

Essa alternativa atende aos que tŒm dificuldade de freqüentar diariamente uma sala de aula.

Neste caso, o participante: lfaz sua inscriçªo num centro controlador; lfreqüenta o curso pelo menos uma vez por semana.

Trata-se da recepçªo controladarecepçªo controladarecepçªo controladarecepçªo controladarecepçªo controlada, com a presença do Orientador de Aprendizagem para tirar dœvidas, orientar, analisar exercícios, trocar idØias, fornecer leituras suplementares e avaliar o desempenho do aluno.

Alternativa 3 Assistindo às teleaulas em qualquer lugar, sem nenhuma orientaçªo anterior ou posterior e, portanto, sem freqüentar a telessala ou o centro controlador.

Trata-se da recepçªo livre ou isoladarecepçªo livre ou isoladarecepçªo livre ou isoladarecepçªo livre ou isoladarecepçªo livre ou isolada, destinada aos participantes que tenham total impossibilidade de freqüentar uma telessala ou centro controlador.

Como obter certificado de conclusªo

O participante poderÆ prestar os exames supletivos oficiais, oferecidos pelas

Secretarias de Educaçªo de cada EstadoSecretarias de Educaçªo de cada EstadoSecretarias de Educaçªo de cada EstadoSecretarias de Educaçªo de cada EstadoSecretarias de Educaçªo de cada Estado.

Os procedimentos sªo os seguintes: linformar-se sobre datas de inscriçªo, local e documentos necessÆrios; l inscrever-se; lprestar os exames das matØrias que desejar, nªo necessitando aguardar a conclusªo de todo o telecurso; lpedir, no local em que realizou as provas, o atestado da matØriaatestado da matØriaatestado da matØriaatestado da matØriaatestado da matØria em que foi aprovado - quem Ø aprovado em determinada matØria nªo precisa mais prestar exame dessa disciplina; lsolicitar à Secretaria de Educaçªo o certificado de conclusªocertificado de conclusªocertificado de conclusªocertificado de conclusªocertificado de conclusªo, quando tiver sido aprovado em todas as matØrias do currículo do Telecurso 2000.

O Telecurso 2000 Ø uma proposta de educa- çªo a distância para dar atendimento, prioritariamenteprioritariamenteprioritariamenteprioritariamenteprioritariamente, a jovensjovensjovensjovensjovens e adultosadultosadultosadultosadultos que desejam fazer o curso ou complementar sua escolaridade atØ o nível de 2” Grau, bem como adquirir competŒncias bÆsicas para o exercício de uma profissªo.

No Telecurso 2000, o participante tem a oportunidade de adquirir conhecimentos gerais correspondentes ao ensino de 3“ à 8“ sØries do 1” Grau, às trŒs sØries do 2” Grau e, ainda, conhecimentos específicos relativos aos Cursos Profissionalizantes.

Constitui-se, tambØm, numa possibilidade de reciclagem para os professores e num reforço à aprendizagem dos participantes de modo geral, dentro da perspectiva de um processo permanente de educaçªo.

Quais sªo as disciplinas

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No Telecurso 2000, as disciplinas curriculares apresentam esta estrutura: AUTOMATIZAOAUTOMATIZAOAUTOMATIZAOAUTOMATIZAOAUTOMATIZAO/////AUTOMAOAUTOMAOAUTOMAOAUTOMAOAUTOMA˙ˆO

Cada fase tem a duraçªo mØdia de seis meses. O participante pode iniciar seus estudos na fase que for melhor para sua realidade, para seus interesses e para suas necessidades.

Recursos de aprendizagem

O Telecurso 2000 combina o uso de programas de TV (teleaulas) com materiais impressos próprios, referentes a cada disciplina, permitindo - alØm da aprendizagem dos conteœdos - a construçªo de novos conhecimentos e sua aplicaçªo. -Cada aula na TV tem duraçªo de 15 minutos.

-Nos livros do Telecurso, o participante estuda, pesquisa e realiza exercícios.

-É importante o uso de dicionÆrios e de diferentes materiais de leitura: jornais, revistas, livros, entre outros, que enriqueçam a aprendizagem.

O Telecurso 2000

Como participar

O Telecurso 2000 Ø aberto a todos os interessados, e o participante pode trabalhar de vÆrias formas, escolhendo a alternativa que lhe seja mais adequada e que se ajuste à sua possibilidade de participaçªo.

Alternativa 1 Freqüentando a telessala instalada numa instituiçªo privada ou pœblica. Neste caso, o participante: lfaz sua inscriçªo; lfreqüenta o curso no local e nos horÆrios estipulados pela instituiçªo.

Trata-se da recepçªo organizadarecepçªo organizadarecepçªo organizadarecepçªo organizadarecepçªo organizada, na qual os alunos se reœnem com a presença do Orientador de Aprendizagem e realizam atividades individuais ou em grupo.

Alternativa 2 Assistindo às teleaulas, sozinho ou em pequenos grupos, em qualquer lugar em que haja um aparelho de TV disponível: em casa, na casa de um amigo, no sindicato, na igreja, no clube e atØ no trabalho, sem necessitar da presença do Orientador de Aprendizagem durante a veiculaçªo dos programas.

Essa alternativa atende aos que tŒm dificuldade de freqüentar diariamente uma sala de aula.

Neste caso, o participante: lfaz sua inscriçªo num centro controlador; lfreqüenta o curso pelo menos uma vez por semana.

Trata-se da recepçªo controladarecepçªo controladarecepçªo controladarecepçªo controladarecepçªo controlada, com a presença do Orientador de Aprendizagem para tirar dœvidas, orientar, analisar exercícios, trocar idØias, fornecer leituras suplementares e avaliar o desempenho do aluno.

Alternativa 3 Assistindo às teleaulas em qualquer lugar, sem nenhuma orientaçªo anterior ou posterior e, portanto, sem freqüentar a telessala ou o centro controlador.

Trata-se da recepçªo livre ou isoladarecepçªo livre ou isoladarecepçªo livre ou isoladarecepçªo livre ou isoladarecepçªo livre ou isolada, destinada aos participantes que tenham total impossibilidade de freqüentar uma telessala ou centro controlador.

Como obter certificado de conclusªo

O participante poderÆ prestar os exames supletivos oficiais, oferecidos pelas

Secretarias de Educaçªo de cada EstadoSecretarias de Educaçªo de cada EstadoSecretarias de Educaçªo de cada EstadoSecretarias de Educaçªo de cada EstadoSecretarias de Educaçªo de cada Estado.

Os procedimentos sªo os seguintes: linformar-se sobre datas de inscriçªo, local e documentos necessÆrios; l inscrever-se; lprestar os exames das matØrias que desejar, nªo necessitando aguardar a conclusªo de todo o telecurso; lpedir, no local em que realizou as provas, o atestado da matØriaatestado da matØriaatestado da matØriaatestado da matØriaatestado da matØria em que foi aprovado - quem Ø aprovado em determinada matØria nªo precisa mais prestar exame dessa disciplina; lsolicitar à Secretaria de Educaçªo o certificado de conclusªocertificado de conclusªocertificado de conclusªocertificado de conclusªocertificado de conclusªo, quando tiver sido aprovado em todas as matØrias do currículo do Telecurso 2000.

21AULA21 AULA

Semelhança e Æreas

Introduçªo Na Aula 17, estudamos o Teorema de Tales e a semelhança de triângulos. Nesta aula, vamos tornar mais geral o conceito de semelhança e ver como se comportam as Æreas de figuras semelhantes. Dizemos que duas figuras sªo semelhantes quando uma Ø ampliaçªo da outra. Mas, o que significa ampliar?

Ampliar (ou reduzir) uma figura significa obter uma outra com a mesma forma mas de tamanho diferente. Numa ampliaçªo, todos os comprimentos ficam multiplicados por um mesmo nœmero. Numa reduçªo, todos os comprimentos ficam divididos por um mesmo nœmero.

Veja abaixo o mapa do Brasil em dois tamanhos diferentes, onde estªo assinaladas as capitais dos estados. O maior Ø uma ampliaçªo do menor em 1,5 vezes. Isto significa que todas as distâncias medidas no mapa maior sªo iguais às mesmas distâncias do mapa menor multiplicadas por 1,5. VocŒ pode verificar isso com o auxílio de uma rØgua.

· 1,5fififififi

AULADuas figuras sªo semelhantes quando todas as distâncias de uma delas sªo iguais às da outra, multiplicadas por um fator constante. Para tornar essa

definiçªo mais clara, vamos mostrar inicialmente um mØtodo que nos permite ampliar uma figura. Suponha que desejamos tornar o polígono ABCDE da figura abaixo trŒs vezes maior. Escolhemos entªo um ponto O qualquer, unimos esse ponto a cada um dos outros e triplicamos todos os comprimentos: OA, OB, OC, OD e OE. O novo polígono A’B’C’D’E’ Ø o triplo de ABCDE.

Na figura acima, fizemos OA’ = 3 . OA, OB’ = 3 . OB, OC’ = 3 . OC e assim por diante. Observe entªo o que acontece: os lados do polígono maior sªo paralelos aos lados do polígono menor, e cada lado do polígono maior Ø o triplo do lado correspondente ao polígono menor. Em linguagem matemÆtica:

A’B’’//ABeA’B’’=3 . AB
B’C’//BCeB’C’’= 3 . BC

e assim por diante. Repare ainda que essas relaçıes valem tambØm para outros segmentos que nªo estªo desenhados. Por exemplo, as diagonais A D e AD sªo paralelas e a maior Ø o triplo da menor.

A figura a seguir explica por que, ao construirmos OA = 3 • OA e OB = 3

• OB, encontramos um segmento A B paralelo a AB e de comprimento trŒs vezes maior que AB. Observe que, no interior do triângulo OA B , existem trŒs triângulos iguais e trŒs paralelogramos tambØm iguais:

Nossa aula

O x B b a a b x x x x x

AULAO mØtodo que descrevemos permite criar uma figura semelhante à figura dada. Podemos dizer que a figura maior Ø uma ampliaçªo da

menor, mas tambØm que a figura menor Ø uma reduçªo da maior. O que importa Ø que as duas figuras sªo semelhantes. Para relacionar seus tamanhos, definimos um nœmero chamado razªo de semelhança, isto Ø, a razªo entre os comprimentos correspondentes das duas figuras. Ela sempre pode ser escrita de duas formas (porque a semelhança tanto pode ser considerada uma ampliaçªo ou uma reduçªo) e no nosso exemplo ela Ø:

ou

Uma outra propriedade da semelhança Ø que ela conserva os ângulos. No nosso exemplo, todos os ângulos do polígono A B C D E sªo exatamente os mesmos do polígono ABCDE. Mais uma vez, Ø bom lembrar que isso vale para quaisquer ângulos.

Precisamos agora aprender a reconhecer quando dois polígonos sªo semelhantes. O critØrio geral Ø o seguinte:

Dois polígonos sªo semelhantes quando seus lados sªo proporcionais e seus ângulos internos respectivamente iguais.

ABCDØ semelhante a A’B’C’D’...

Entªo razªo de semelhança

EXEMPLO 1

Os dois quadrilÆteros desenhados abaixo sªo semelhantes. Quais sªo as medidas dos lados a, b e c? a c

AB1A’B’ 3
ABBC CDA’B’ B’C’ C’D’

AULASoluçªo: Nas figuras da pÆgina anterior, os ângulos iguais estªo marcados com o mesmo símbolo. Assim, se as figuras nªo aparecerem na mesma

posiçªo, podemos reconhecer os lados correspondentes. Como os lados correspondentes das duas figuras sªo proporcionais, podemos escrever:

A primeira fraçªo nos dÆ a razªo de semelhança:

5 = razªo de semelhança

Um caso especial Ø o da semelhança de triângulos, que jÆ estudamos na

Aula 17. Para reconhecer triângulos semelhantes, basta verificar se eles possuem os mesmos ângulos ou se seus lados sªo proporcionais. Por exemplo, consideremos dois triângulos: o primeiro de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm e o segundo de lados 27 cm, 36 cm e 45 cm. Serªo esses triângulos semelhantes? A resposta Ø sim, porque:

Repare que as trŒs fraçıes sªo iguais porque cada uma delas Ø igual a 19 (a razªo de semelhança). Nós sabemos que o triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm

Ø retângulo porque 3² + 4² = 5². Como triângulos de lados proporcionais sªo semelhantes e, portanto, possuem os mesmos ângulos, concluímos que o triângulo de lados 27 cm, 36 cm e 45 cm tambØm Ø um triângulo retângulo.

AULASemelhança e Æreas

Para que vocŒ perceba a relaçªo entre as Æreas de figuras semelhantes, vamos examinar o que ocorre com os quadrados. Na figura a seguir, vocŒ vŒ trŒs quadrados, o primeiro com lado a, o segundo com lado 2a e o terceiro com lado 3a:

O segundo quadrado Ø o dobro do primeiro, mas sua Ærea Ø quatro vezes maior. O terceiro quadrado Ø o triplo do primeiro, mas sua Ærea Ø nove vezes maior. Assim, se o lado de um quadrado Ø cinco vezes maior que o de outro, conseqüentemente sua Ærea Ø vinte e cinco vezes maior; da mesma forma, se vocŒ aumentar o lado de um quadrado dez vezes, a Ærea fica cem vezes maior .

Esse fato, fÆcil de perceber com quadrados, Ø geral; isto Ø, ele vale para qualquer figura. Se todos os comprimentos de uma figura forem multiplicados por um nœmero k, a nova figura serÆ semelhante à primeira e sua Ærea ficarÆ multiplicada por k2. O teorema que enunciamos a seguir resume o que acabamos de observar.

Se a razªo de semelhança entre duas figuras Ø k, entªo a razªo entre suas Æreas Ø k†.

Acompanhe os exemplos a seguir para ver se vocΠentendeu o que acabamos de dizer.

EXEMPLO 2

A figura abaixo mostra dois triângulos semelhantes. Se a Ærea do menor Ø 8 cm2, qual Ø a Ærea do maior? a 3a

3a 2a

AULASoluçªo: A razªo de semelhança Ø a razªo entre dois lados correspondentes, ou seja,

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