Definição de limite

Definição de limite

Professor Logan – Danilo Menezes de Oliveira Machado DEFINIÇÃO DE LIMITE

Dada a função, definida no intervalo real , dizemos que esta função

possui um limite finito L quando x tende para um valor , se para cada numero positivo , por

menor que seja, existe em correspondência um numero positivo , tal que para
, se tenha, para todo .
Indicamos que e o limite de uma funçãoquando tende a , através da
simbologia abaixo:Exemplo: Prove, usando a definição de limite vista
acima, que:
Temos no caso:
Com efeito, deveremos provar que dado umarbitrário, deveremos encontrar um
, tal que, para, se tenha . Ora,
e equivalente a– . Portanto, a desigualdade , e verificada, e neste
casoConcluímos então que 8 e o limite da função para x tendendo a .
a) E conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando,, não
depende necessariamente que a função esteja definida no ponto, pois quando
queiramos do ponto, porem não coincidente com , ou seja, consideramos os
valores da função na vizinhança do pontoPara exemplificar, consideremos o calculo
do limite da função abaixo, para
Observe que para, a função não e definida. Entretanto, lembrando que
substituindo e simplificando, a função fica igual a
, cujo limite parae igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3.
b) O limite de uma função, quando , pode inclusive, não existir, mesmo a
função estando definida neste ponto, ou seja , existindo .
c) Ocorrerão casos nos quais a funçãonão esta definida no ponto , porem existira o
limite dequando .
d) Nos casos em que a funçãoestiver definida no ponto , e existir o limite da função
parae este limite coincidir com o valor da função no ponto , diremos que a
funçãoe Continua no ponto .
e) Já vimos a definição do limite de uma funçãoquando tende a , ou . Se

O calculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade. Assim e que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstra-las e, na sequencia, as utilizaremos para o calculo de limites de funções. Antes, porem, valem as seguintes observações preliminares: calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto tende para , para valores imediatamente inferiores a , dizemos que temos um limite a esquerda da função. Se tende para , para valores imediatamente superiores a , dizemos que temos um limite a direita da função.

Pode-se demonstrar que se esses limites a direita e a esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando .

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1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-onde é uma função polinomial

PROPRIEDADES DE LIMITE Exemplos:

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Suponha que, quando x tende a pela esquerda, Isto é, por valores menores que ,tende
ao númeroEste fato é indicado por:
Suponha que, quando x tende a pela direita, Isto é, por valores menores que ,tende ao
númeroEste fato é indicado por:
Os númerose são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de f em a e limite à

Limites Laterais direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a.

Exemplos

a)
b)
c)
d)

1) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir: e)

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a)
b)
c)
d)
e)

Solução:

Ao investigamosou pode ocorrer que, ao tender x para , o valor

Limites Infinitos da função ou aumente sem limite, ou decresça sem limites.

Por exemplo:

Assim:
e
,,

São consideradas indeterminações: ,

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1)

Exemplos: indeterminado

2)

indeterminado

Continuidade

geométrica na interrupção no gráfico da função. Assim, as funções, abaixo, são todas

O conceito de continuidade está baseado na parte analítica, no estudo de limite, e na parte descontínuas:

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Definição:

1° passo é definida (tem que existir imagem para o valor do domínio)
2° passo existe (os limites laterais devem existir e serem iguais)
3° passo (o 1° e 2° passos devem ser iguais).

Uma função é contínua em um ponto se:

A descontinuidade nos gráficos (1), (2) e (3) são chamados de descontinuidade por salto, por ponto e infinita.

Exemplos: 1- Estudar analiticamente a descontinuidade das funções:

a)
1° passo 

2° passo

3° passo 
é descontínua por ponto ou removível emPara remover a descontinuidade
basta fazerpara .
b)
1° passo 

2° passo

3° passo 

é contínua por ponto ou removível em .

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