apostila MATEMATICA FINANCEIRA

apostila MATEMATICA FINANCEIRA

(Parte 1 de 9)

FACULDADE DE CIÊNCIAS APLICADAS DR. LEÃO SAMPAIO

CURSO: ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS E

CIÊNCIAS CONTÁBEIS

PROFESSORES: FLAVIO MENDONÇA BEZERRA e JOFLÁBET SILVESTRE BEZERRA

JUAZEIRO DO NORTE/ CE, 2005

ÍNDICE

1. JUROS E DESCONTOS SIMPLES

03

2. JUROS COMPOSTOS

13

3. DESCONTO COMPOSTO

26

4. RENDAS

31

5. EMPRESTIMOS

43

6. FUNÇÕES FINANCEIRAS NA HP – 12C

49

7. ANÁLISE E DECISÕES DE INVESTIMENTO

57

8. BIBLIOGRAFIA

71

CAPITULO I

1. Juros e Descontos Simples

Noções preliminares sobre capital e juro. Ao emprestarmos certa quantia a uma pessoa, é justo recebermos a quantia emprestada mais outra quantia que representa o aluguel pago pelo empréstimo.

Assim trabalhando-se para outro, recebe-se o salário pelo trabalho executado; cedendo-se um prédio para residência, recebe-se o aluguel.

Pois bem: a quantia emprestada, o trabalho executado e o prédio alugado representam capitais; o aluguel e o salário representam juros.

Definição de juros simples
  • Juro é o prêmio que se paga por um capital emprestado.

  • Juro é o preço do “mercadoria” dinheiro.

  • Juro é o aluguel do dinheiro.

Assim se uma pessoa empresta a outra a importância de $1000,00 e no fim de um ano recebe, além da quantia emprestada, $120,00 como prêmio desse empréstimo, diremos que esse $120,00 representam o juro do capital emprestado.

Observamos que $120,00 correspondem a 12% de seu valor em um ano, ou seja a cada $100,00 temos $12,00 como prêmio ou remuneração do capital

Desse modo, o juro produzido na unidade de tempo representa uma certa percentagem do capital, cuja taxa se chama taxa de juro.

No problema proposto, temos o capital $1000,00, que foi a quantia emprestada; $120,00, rendimento do capital emprestado, são os juros; a taxa, representada pêlos 12%; o tempo durante o qual o capital rendeu juros é 1 ano.

As taxas de juro geralmente são apresentadas de dois modos:

Forma porcentual

Neste caso a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100.

EXEMPLO:

Qual o juro que rende um capital de $1.000,00 aplicado por 1 ano à taxa de juros de 10% ao ano?

Resolução:

    1. Forma unitária

Agora a taxa refere-se à unidade de capital, ou seja, estamos calculando o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo referido pela taxa.

Se tivermos uma taxa de 0,12 ao ano, então a aplicação de $1,00 por um ano gera juro de $0,12.

EXEMPLO:

O exercício anterior, com a taxa na forma unitária (0,10 a.a.).

Resolução:

Para transformar a forma porcentual em unitária basta dividir-se a taxa expressa na porcentual por 100

FORMA PORCENTUAL

TRANSFORMAÇÃO

FORMA UNITÁRIA

34 %

34:100

0,34

6%

6:100

0,06

432%

432:100

4,32

0,7%

0,7:100

0,007

40%

40:100

0,4

    1. Calculo do Juro

Quando o regime é juros simples, a remuneração pelo capital aplicado (também chamado de principal) é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. O fator de proporcionalidade é a taxa de juros.

EXEMPLOS:

1. Suponhamos que se tome emprestado a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 4 anos e a taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago de juros?

Resolução:

Capital inicial (P) = 1.000,00

Taxa de juros (i) = 10% = 0,1 (taxa unitária)

Numero de períodos (n) = 4 anos

Juros (J) = ?

Período

Calculo de juros numérico

Cálculo de juros literal

1 º

J1 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00

J1 = Pi

2 º

J2 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00

J2 = Pi

3 º

J3 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00

J3 = Pi

4 º

J4 = 1.000,00 x 0,1 = $100,00

J4 = Pi

soma

J = J1+ J2+ J3+ J4 = $400,00

J = J1+ J2+ J3+ J4 = 4xPi

Esta é a formula básica para o cálculo de juros em um regime de capitalização simples. Observe que, dados 3 valores da formula, podemos obter o quarto, por simples transformação algébrica:

2. Quanto rende um capital de $100,00, aplicado à juros de 5% ao semestre por um prazo de 2 anos?

Dados: P = 100,00; i = 5% a.s. = 0,05; n = 2 anos = 4 semestres

J = Pin  J = 100 x 0,05 x 4  J = $20,00

1.3. Montante

Define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i epelo prazo de n períodos, como sendo a soma do capital inicial mais o juro.

Sendo P o capital inicial, aplicado por n períodos à uma taxa i, temos o montante (F) como sendo:

F = P + J

F = P + Pin

F = P(1+in)

De modo análogo ao visto para o juro, dados 3 valores da fórmula podemos obter o quarto valor:

EXEMPLO:

Qual é o montante de um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 10% a.a. pelo prazo de dois anos?

Resolução:

P = 1.000,00 i = 0,10 n = 2

F = P (1+in)  F = 1.000,00( 1+ 0,1 x 2 )  F = 1,000 x 1,2  F = $1.200,00

É possível resolver o problema seguindo-se a definição para o montante:

  1. Calculando o juro devido:

J = Pin J = 1.000,00 x 0.1 x 2 J = $200,00

  1. Somando-se o juro ao principal (capital)

F = P+ J  F = 1.000,00 + 200,00 F = $1.200,00

1.4. Juro Exato e Juro Comercial

Nas aplicações correntes, muito embora as taxas sejam expressa em termos anuais, os prazos são fixados em dias. Como a curto prazo o regime geralmente adotado é o juros simples, torna-se necessário calcular a taxa proporcional referente a 1 dia.

Neste caso, podemos ter dois enfoques, dependendo do numero de dias adotado para o ano:

  1. ano civil: 365 dias;

  2. ano comercial: 360 dias;

nas aplicações práticas, onde é adotada a convenção de ano comercial, o mês comercial tem 30 dias. Por outro lado, como a contagem de dias deve ser exata, é necessário levar em conta também a existência de anos bissextos.

EXEMPLO:

Dada a taxa de 72% ao ano, qual a taxa proporcional ao dia para convenção do ano civil e do ano comercial?

Resolução:

Pelo ano civil: i365 = 0,197% ao dia

Pelo ano comercial: i360 = 0,2% ao dia

Juro Exato

Chama-se juro exato aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em dias e é adotada a convenção de ano civil:

Je =

EXEMPLO:

Qual é o juro exato de um capital de $10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% ao ano?

Je =  Je = $394,52

Juro Comercial

Denomina-se juro comercial (ou ordinário) o juro que é calculado quando se adota como base o ano comercial:

Jc =

Analogamente, neste caso o período (n) deverá ser expresso em números de dias.

EXEMPLO:

Calcular o juro comercial correspondente ao exercício anterior?

Jc =  Jc = $400,00

EXERCÍCIOS
  1. Calcular os juros anuais de $100,00, a 6% a.a..

Resp.: $6,00

  1. Calcular o juro mensal de $8.000,00, a taxa de 10% a.a..

Resp.: $66,67

  1. Qual o rendimento de $600,00, a 5% a.a., em 2 anos e 6 meses?

Resp.: $75,00

  1. $28,80 renderam durante certo tempo $6,00, a taxa de 5% a.a. Determine esse tempo.

Resp.: 4anos e 2meses

  1. Calcular os juros de $14.400,00, a 6% a.a., de 16 de março a 3 de agosto do mesmo ano (ano civil).

Resp.: $331,40

  1. Quais os juros de $122,00, a 8% a.a. de 10 de janeiro a 9 de maio (ano civil bissesto)?

Resp.:$3,20

  1. Qual o capital que a taxa de 9% a.a. produz $10,80, em dois anos?

Resp.: $60,00

  1. Qual o capital que a taxa de 4% a.a. em 40 dias produz um montante $72,32?

Resp.: $72,00

  1. A que taxa anual o capital de $144,00, em 2 meses e 15 dias renderia $3,30 de juros?

Resp.: 11%aa

  1. A que taxa anual um capital qualquer renderia em 2a, 1/5 do seu valor?

Resp.: 10%aa

  1. Uma pessoa coloca 2/5 do seu capital a taxa de 6% a.a. e o restante a 5% a.a., recebendo um juro anual de $324,00. Qual o capital?

Resp.: $6.000,00

  1. A que taxa devemos colocar um certo capital para que em 8 anos ele dobre?

Resp.: 12,5% a.a.

  1. Durante quanto tempo se deve emprestar certa quantia para que, a 12% a.a., ela triplique?

Resp.: 16 anos e 8 meses

1.5. Generalidades sobre a operação de desconto.

Como veremos mais adiante, a expressão máxima do progresso comercial é o crédito garantido por instrumentos jurídicos denominados títulos de crédito. Entre eles destacaremos a letra de câmbio, a nota promissória e a duplicata. Não vamos, neste trabalho, estudar estes títulos; apenas os mencionamos para justificar essas denominações no enunciado de nossos problemas, e sobre eles adiantar que gozam de todas as garantias de lei, podendo, portanto, ser transferidos e, com isto, facilitando de modo extraordinário a circulação da riqueza.

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