Baixe const - geometricas - 1 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Ecoyoym oTIÇ Ieopuetpam Koataokevéç Eduardo Wagner Uma introdução às Construções geométricas Eduardo Wagner A multiplicação de dois segmentos podia ser visualizada como a área de um retângulo e a razão entre dos segmentos era … . Bem, era simplesmente isso mesmo, a razão entre dois segmentos. Um problema comum hoje é, por exemplo, o de calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são 2 e 3. A solução é simples e usa o teorema de Pitágoras. Se x é o comprimento da hipotenusa então ! x = 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13 . O mesmo problema antigamente era enunciado assim: construir o triângulo retângulo cujos catetos medem 2 unidades e 3 unidades. A solução era completamente geométrica. Era dado um segmento unitário u e o triângulo era construido com as medidas dadas. Observe a figura acima. Se associarmos o segmento u ao número 1, o segmento AB é a visualização do número real ! 13 . Desta forma, calcular de hoje é sinônimo do construir de antigamente e as dificuldades são equivalentes. Se hoje achamos difícil calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo conhecendo o perímetro e a altura relativa à hipotenusa, é igualmente difícil desenhar o triângulo retângulo onde o perímetro e a altura são dados através de dois segmentos. 2. Paralelas e perpendiculares a b a – b u u u u u A B Nas construções geométricas são permitidos apenas a régua (não graduada) e o compasso. A régua serve apenas para desenhar uma reta passando por dois pontos dados e o compasso serve apenas para desenhar uma circunferência cujo raio é dado por um segmento e cujo centro é um ponto dado. Estes instrumentos não podem ser utilizados de nenhuma outra maneira. A pureza das construções com régua e compasso é a mesma da geometria analítica que também resolve, de forma equivalente, problemas de geometria usando as coordenadas (pontos dados), a equação da reta (régua) e a equação da circunferência (compasso). Para começar a desenhar, há dois problemas básicos que precisamos aprender. 1) Traçar por um ponto dado uma reta perpendicular a uma reta dada. 2) Traçar por um ponto dado uma reta paralela a uma reta dada. Para resolver o primeiro, seja P um ponto dado fora de uma reta r dada. A construção é a seguinte. Com centro em P trace uma circunferência qualquer cortando a reta r nos pontos A e B como mostra a figura a seguir. Em seguida, desenhamos dois arcos de circunferência de mesmo raio, com centros nos pontos A e B, determinando na interseção o ponto Q. A reta PQ é perpendicular à reta r e o primeiro problema está resolvido. O fato importante das construções geométricas é que não basta encontrar a solução. É preciso justificar por que ela é correta. Neste primeiro problema, a primeira circunferência desenhada garante que ! PA = PB e as duas seguintes, garantem que ! QA =QB. Assim, os pontos P e Q equidistam de A e B. Portanto, eles pertencem à rA B P mediatriz do segmento AB que a reta perpendicular a AB passando pelo seu ponto médio. Para resolver o segundo problema, seja P um ponto dado fora de uma reta r dada. A construção é a seguinte. Traçamos três circunferências com mesmo raio: a primeira com centro em P cortando a reta r em A; a segunda com centro em A cortando a reta r em B e a terceira com centro em B e cortando a primeira circunferência em Q. A reta PQ é paralela à reta r e o problema está resolvido. Para justificar, observe que, pelas construções efetuadas, PABQ é um losango e, portanto seus lados opostos são paralelos. Com a régua e o compasso, resolva o problema seguinte. Problema 1 Dado um segmento AB construa o triângulo equilátero ABC e sua altura CM. Solução: Coloque a “ponta seca” do compasso em A e desenhe um arco de circunferência de raio AB e, em seguida faça o contrário: um arco de centro B e raio BA. Estes arcos r P BA Q A B C Problema 2 Dado o segmento AB, construa o quadrado ABCD. Solução: (figura por conta do aluno) Trace por A e B retas perpendiculares ao segmento AB. Trace as circunferências de centro A, passando por B e de centro B passando por A. As interseções dessas circunferências com as perpendiculares são os vértices C e D. Problema 3 Construir o triângulo ABC sendo dados os três lados: Solução: Desenhe uma reta r e sobre ela assinale um ponto que chamaremos B. Para transportar o segmento a, pegue o compasso, ponha a ponta seca em uma das extremidades e abra até que a ponta do grafite coincida com a outra extremidade. Ponha agora a ponta seca em B e trace um pequeno arco cortando a reta r. Este é o ponto C tal que ! BC = a . Pegue agora o segmento b com o compasso. Com centro em C desenhe, acima da reta r um arco de circunferência de raio b. Pegue o segmento c com o compasso e, com centro em B desenhe um arco de raio c. A interseção desses dois arcos é o vértice A do triângulo. a b c A B r a B C O exemplo anterior, mostrou como transportar segmentos de um lugar para outro. Vamos mostrar agora como transportar ângulos. Problema 4 Dado o ângulo α, e a semirreta OX construir o ângulo ! XOY =" : Solução: Com centro no vértice do ângulo dado trace um arco de cricunferência cortando seus lados nos pontos A e B veja figura a seguir). Sem modificar a abertura do compasso trace um arco com centro O cortando OX em C. Pegue com o compasso a distância AB e trace, com centro em C e com este raio, um arco determinando sobre o primeiro o ponto D. A semirreta OY que passa por D é tal que ! XOY =" . α O X a b c c b aB C A ! X AB Y OA B C D Problema 5 Construir o triângulo ABC dados o lado a e os ângulos B e C: Solução: (figura por conta do aluno) Desenhe na sua folha de papel o segmento ! BC = a e, em seguida transporte os ângulos dados construindo as semirretas BX e CY de forma que os ângulos CBX e BCY sejam iguais aos ângulos dados. A interseção das duas semirretas é o vértice A. A partir de agora, vamos permitir, por comodidade, utilizar a régua graduada para fornecer as medidas dos segmentos e o transferidor para as medidas dos ângulos. Assim o problema anterior poderia ser enunciado assim: construir o triângulo ABC sabendo que o lado ! BC mede 5cm e que os ângulos B e C medem 62o e 38o respectivamente. Os equadros, a régua graduada e o transferidor são instrumentos que permitem tornar mais rápida e prática a execução dos desenhos mas são apenas acessórios (podem ser dispensados). Os instrumentos essenciais são apenas a régua lisa e o compasso. 4. Divisão de um segmento em partes iguais Dividir um segmento dado em um número qualquer de partes iguais é uma das construções básicas e frequentemente vamos precisar usá-la. Dado o segmento AB, para dividí-lo, por exemplo em 5 partes iguais, traçamos uma semirreta qualquer AX e sobre ela, com o compasso, determinamos 5 segmentos iguais: ! AA 1 , ! A 1 A 2 , ! A 2 A 3 , ! A 3 A 4 , ! A 4 A 5 (v. figura a seguir). a B C 2 Lugares geométricos As primeiras ferramentas das construções geométricas são os lugares geométricos básicos. Essas figuras, que mostraremos a seguir, permitirão desenvolver um método de construção que é baseado nas propriedades das figuras. O que é um lugar geométrico? A expressão (muito antiga) lugar geométrico, nada mais é que um conjunto de pontos e, para definir tal conjunto, devemos enunciar uma propriedade que esses pontos devem ter. Se essa propriedade é p, o conjunto dos pontos que possuem p é o lugar geométrico da propriedade p. Por exemplo, o lugar geométrico dos pontos que distam 5cm de um ponto A é a circunferência de centro A e raio 5cm. 1. A paralela Imagine que a base BC de um trângulo ABC é dada e que a altura (h) relativa a esta base é também dada. Então, conhecemos a distância do vértice A até a reta BC e o lugar geométrico do vértice A é, portanto, uma reta paralela à reta BC distando h dela. B C h LG de A Problema 6 Desenhe o triângulo ABC conhecendo os lados ! AB = 4,5cm, ! BC = 5,2cm e a altura relativa ao lado BC igual a 3,8cm. Solução: Trace uma reta r e sobre ela o segmento BC com o comprimento dado. Longe de BC desenhe uma reta perpendicular a r e seja X o ponto de interseção (veja figura a seguir). Assinale sobre ela o segmento ! XY = 3,8cm e trace por Y uma paralela à reta r. Este é o lugar geométrico do vértice A. Longe do seu desenho, construa um segmento de 4,5cm usando a régua. Agora, ponha o compasso com esta abertura e, com centro em B, desenhe uma circunferência com este raio. A circunferência cortará a reta paralela em dois pontos mostrando que há duas soluções (diferentes) para o problema. 2. A mediatriz A mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a AB que contém o seu ponto médio. Veja que todo ponto da mediatriz tem mesma distância aos extremos do segmento. r 3,80cm 4,50cm 5,20cm 4,50cm B C X YA A' Observe também que se um ponto não está na mediatriz de AB então ele não equidista de A e B. Portanto, dizemos que a mediatiz de um segmento AB é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de A e B. Para construir, traçamos dois arcos de circunferência com centros em A e B e com interseções P e Q como na figura a seguir. A reta PQ é a mediatriz de AB. Qual é a justificativa? Observe a figura e pense um pouco. Pela construção que fizemos, APBQ é um losango e, como sabemos, suas diagonais são perpendiculares. 3. A bissetriz A bissetriz de um ângulo AÔB é a semirreta OC tal que AÔC=CÔB. Costumamos dizer que a bissetriz “divide” o ângulo em dois outros congruentes. Todo ponto da bissetriz de um ângulo equidista dos lados do ângulo. Na figura a seguir, P é um A B P P A B P Q 4) A interseção de AY com a mediatriz, é o ponto O, centro do arco capaz. Com centro em O desenhe o arco AB. O arco AB que você desenhou é o lugar geométrico do ângulo α construído sobre so segmento AB. Para justificar, observe que se ! BAX =" então ! BAY = 90 o "# e, sendo M o ponto médio de AB, temos que ! AOM =" . Assim ! AOB = 2" e, para qualquer ponto M do arco AB tem-se ! AMB =" . Problema 7 Construir a circunferência que passa por três pontos A, B, e C dados em posição. Solução: Seja O o centro da circunferência que passa por A, B, e C. Como ! OA =OB então O pertence à mediatriz de AB. Como ! OB =OC então O pertence à mediatriz de BC. Assim, o ponto O é a interseção destas duas mediatrizes. X ! Y O A B O B C A Problema 8 Construir a circunferência inscrita em um triângulo dado. Solução: Seja ABC o triângulo dado. O centro da circunferência inscrita (incentro) é o ponto de interseção das bissetrizes internas. Precisamos então traças as bissetrizes de dois ângulos do triângulo. O ponto de interseção das duas bissetrizes (I) é o centro da circunferência inscrita, mas não podemos ainda desenhá-la pois não conhecemos o raio. Atenção: o compasso só pode ser usado para desenhar uma circunferência com centro e raio conhecidos. Não se pode ajeitar nada ou traçar nada “no olho”. Continuando o problema, traçamos por I uma reta perpendicuar a BC, cortando BC em D. Temos agora um ponto por onde passa a circunferência inscrita. Traçamos então a circunferência de centro I e raio ID e o problema está resolvido. Nas construções geométricas a solução de um problema, em geral, não nos ocorre imediatamente. É preciso analisar a situação e pensar. Para analisar a situação devemos imaginar o problema já resolvido para buscar as propriedades que permitirão a solução. Você verá, a partir de agora, os problemas sendo analisados desta maneira. A B C I D Problema 9 Traçar por um ponto exterior a uma circunferência as duas retas tangentes. Solução: Imagine que o ponto P e a circunferência de centro O estejam dados em posição. Imaginemos o problema resolvido. Se PA é tangente em A à circunferência então OA é perpendicular a PA. Como o ângulo PAO é reto então o ponto A pertence a uma semicircunferência de diâmetro PO. Como o mesmo vale para o ponto B a construção é a seguinte. Determinamos o ponto M médio de PO traçando a mediatriz de PO. Traçamos a circunferência de centro M e raio ! MP = MO que corta a circunferência dada em A e B. As retas PA e PB são tangentes à circunferência dada. O problema está resolvido. Problema 10 São dados: uma circunferência de centro O, um ponto P e um segmento a. Pede-se traçar por P uma reta que determine na circunferência uma corda de comprimento a. OP M B A a O P Se ! BAC = 60 o então A está no arco capaz de 60o construido sobre BC. Por outro lado, como o vértice A dista 3,2cm da reta BC, ele está em uma reta paralela a BC distando 3,2cm da reta BC. A construção está a seguir. Sobre uma reta r assinale o ponto B e construa o segmento BC. Construa o arco capaz de 60o sobre BC que é o primeiro lugar geométrico para o vértice A. Para colocar a altura, assinale um ponto P qualquer sobre a reta r (de preferência longe do arco capaz), trace por P uma perpendicular a r e, sobre ela, determine o ponto Q tal que ! PQ = h . A paralela à r traçada por Q é o segundo lugar geométrico de A e o problema está resolvido. A reta paralela cortou o arco capaz em dois pontos, A e A′. Como os triângulos ABC e A′BC são congruentes, dizemos que o problema possui apenas uma solução. Problema 12 Construir o triângulo ABC conhecendo os lados ! AB = 5,2cm, ! BC = 5,7cm e a altura relativa ao lado AB, ! h = 4,5cm. 60.0 ° h r B C O P QA A' Solução: Faça um desenho imaginando o problema resolvido e seja ! CD = h a altura relativa ao lado AB. Como o ângulo BDC é reto, o ponto D pertence ao arco capaz de 90o construido sobre BC. Como CD é conhecido, determinamos o ponto D. Sobre a reta BD determinamos o ponto A e o problema está resolvido. O próximo problema tem especial interesse pois o artifício que vamos utilizar será útil na solução de vários outros problemas. Problema 13 É dado o triângulo ABC com ! AB = 4 cm, ! BC = 6,5 e ! CA = 7cm. Trace uma reta paralela a BC cortando AB em M e AC em N de forma que se tenha ! AN = BM . Solução: Imaginemos o problema resolvido. Repare que não adianta nada termos dois segmentos de mesmo comprimento sem coneção entre si. Uma idéia, portanto na nossa figura de análise é traçar por N o 4,5cm 5,2cm 5,7cm B C D A B C A D NM segmento ND paralelo a MB. Como MNDB é um paralelogramo temos ! ND = MB (dizemos que foi feita uma translação no segmento MB). Logo, ! AN = ND e o triângulo AND é isósceles. Veja agora que: ! "ADN ="DAN porque ! AN = ND, ! "ADN ="DAB porque são alternos internos nas paralelas AB e ND. Assim, AD é bissetriz do ângulo A do triângulo ABC e o problema está resolvido. Para construir: (figura final por conta do leitor) Construa inicialmente o triângulo ABC com os três lados dados. Trace a bissetriz do ângulo BAC que corta BC em D. Trace por D uma paralela a AB que corta AC em N. Trace por N uma paralela a BC que corta AB em M. (figura final por conta do leitor) Problema 14 Desenhe uma reta r e dois pontos A e B situados de um mesmo lado de r. Determine o ponto P sobre a reta r de forma que a soma ! AP + PB seja mínima. Solução: Para analisar o problema, desenhamos a reta r, e dois pontos A e B quaisquer de um mesmo lado de r. Obtenha o ponto B′, simétrico de B em relação à r. Para fazer isto, trace por B uma perpendicular à r e, com o compassso, passe B para o outro lado obtendo o seu simétrico. Assinale um ponto Q, qualquer, sobre a reta r. Trace QA, QB e QB′. Como r é mediatriz de BB′ então ! QB = Q " B . Assiml a soma ! AQ+QB é sempre igual a r A B B' Q P 17) As paralelas r e s são as margens de um rio e os pontos A e B estão em lados opostos desse rio. Determine a posição de uma ponte PQ perpendicular às margens ( ! P " r e ! Q" s) de forma que o percurso ! AP + PQ+QB seja mínimo. 18) Construir o triângulo ABC sabendo que ! AB = 5,8cm, ! cosA = 0,6 e que o lado BC é o menor possível. 19) Dado um segmento m e, em posição, os pontos P, A e B (figura a seguir), traçar por P uma reta r de forma que A e B fiquem de um mesmo lado de r e de tal forma que a soma das distâncias de A e B à r seja igual a m. r s A B m P A B 20) São dados duas circunferências K e K′ e um segmento a (figura a seguir). Traçar pelo ponto A a secante PAQ ( ! P " K e ! Q" # K ) de forma que se tenha ! PQ = a . 21) Usando uma figura igual à do exercício anterior, trace a secante PAQ de comprimento máximo. 22) Uma mesa de sinuca tem vértices dados em coordenadas: ! A = (0, 0), ! B = (8, 0) , ! C = (8, 4) e ! D = (0, 4) . Uma bola P é atirada, sem efeito, em um ponto Q da tabela BC. Após as reflexões nas tabelas BC e CD ela cai na caçapa A. Determine a posição exata do ponto Q e faça o desenho da trajetória. 23) De uma circunferência C conhecemos apenas o arco abaixo. Limitando-se ao espaço disponível (interior do retângulo), determine o raio de C. K K' a A 24) Na figura abaixo, cada um dos pontos M, N, P e Q pertence a um lado de um quadrado. Construa esse quadrado. 25) São dados em posição (figura a seguir) os pontos A, B, C e D sobre a reta r. Trace por A e B duas paralelas e trace por C e D outras duas paralelas de forma que as interseções dessas retas formem um quadrado. M N P Q rA B C D