RODRIGUES, T. J. S. - Twin Rotor MIMO System (TRMS) - Modelagem de sistema não-linear, não-autônomo e estável

RODRIGUES, T. J. S. - Twin Rotor MIMO System (TRMS) - Modelagem de sistema...

(Parte 1 de 2)

Tadeu José Silva Rodrigues JUNHO de 2011

Descrição das etapas realizadas ao longo do semestre para a modelagem do TRMS (ou Rotor Duplo). Trabalho entregue ao professor Eduardo M. A. Mendes, do citado departamento, como requisito parcial para aprovação na disciplina Técnicas de Modelagem de Sistemas Dinâmicos

Etapa 1 – Descrição e simulação do sistema- 3 -
Descrição do sistema- 3 -
Etapas 2 e 3 – Linearização do sistema e obtenção de sua função de transferência- 5 -
Introdução- 5 -
Linearização- 5 -
Função de transferência- 6 -

Sumário

entrada em impulso- 7 -
Introdução- 7 -
Procedimentos- 7 -

Etapa 4 – Obtenção de um modelo a partir da resposta em frequência do sistema e uma

convolução- 9 -
Introdução- 9 -
Procedimentos- 10 -
Etapa 6 – Obtenção de um modelo pelo método de Levi- 12 -
Introdução- 12 -
Procedimentos- 13 -
Etapa 7 – Obtenção de um modelo pelo Método dos Mínimos Quadrados- 14 -
Introdução- 14 -
Procedimentos- 15 -
Etapa 9 – Validação dos modelos- 15 -
Modelo por linearização e obtenção de função de transferência- 16 -
Modelo pela resposta em frequência (aplicação de impulso)- 16 -
Modelo por somatório de convolução (aplicação de PRBS)- 17 -
Modelo pelo método de Levi- 17 -
Modelo pelo Método dos Mínimos Quadrados- 18 -
Etapa 10 – Obtenção de um modelo pelo método de Sundaresan- 18 -
Introdução- 18 -
Procedimentos- 20 -

Etapa 5 – Obtenção de um modelo a partir da resposta a um PRBS, utilizando o somatório de Referências bibliográficas ..................................................................................................... - 21 -

Etapa 1 – Descrição e simulação do sistema

Descrição do sistema

O sistema escolhido para a presente etapa é a unidade TRMS (Twin Rotor MIMO System), da

Feedback Instruments, também conhecido como Rotor Duplo. O principal motivo da escolha foi de o sistema, além de cumprir os requisitos de não ser linear, autônomo ou instável, já ter sido utilizado pelo autor na disciplina Laboratório de Controle e Automação I, o que implica em um grau razoável de familiaridade com a planta e na disposição de dados de ensaios reais (que serão utilizados nesta etapa).

O TRMS consiste em um modelo simplificado de um helicóptero e reúne algumas de suas características dinâmicas. Como o nome indica, ele é um sistema MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs) e apresenta como entrada as duas tensões de alimentação de seus rotores e, como saída, as velocidades angulares e os ângulos horizontal e vertical da unidade. Ao contrário de um helicóptero real, em que a velocidade é mantida praticamente constante e a propulsão é obtida pela variação nos ângulos das lâminas de seus rotores, a posição e a velocidade do TRMS são controladas pela velocidade dos rotores (manipulada pelas tensões aplicadas a eles). Assim, tanto a velocidade dos rotores quanto as tensões que os alimentam podem ser usadas como variáveis manipuladas no controle de posição e de velocidade da unidade. Como indica a Figura 1, o TRMS apresenta um rotor capaz de variar seu ângulo de arfagem (movimento vertical) e outro para comandar seu ângulo de guinada (movimento horizontal).

Figura 1 - Representação da estrutura mecânica do TRMS

Como indicado anteriormente, tanto as tensões sobre os rotores quanto a velocidade que estes apresentam podem ser consideradas entradas para o sistema, visto que a primeira tem poder de manipulação sobre a segunda e esta, por sua vez, acarreta em variações das saídas (ângulos de arfagem e de guinada e as velocidades da unidade em cada eixo de movimento). Tendo isso em vista, o sistema, na presente etapa e nas subsequentes, será considerado como SISO (Single Inputs, Single Outputs), sendo a entrada a velocidade angular do rotor principal e a saída, o ângulo de arfagem. Pelas grandezas físicas indicadas na Figura 1 e fazendo considerações do modelo fenomenológico, a primeira lei de Newton para rotações permite estabelecer:

Eq. 1

Em que:

Θ (em substituição de Ψ) é o ângulo de arfagem do TRMS

I1 é o momento de inércia do rotor principal para o eixo de arfagem M1 é o torque devido à rotação das hélices associadas ao rotor principal, dado por:

Sendo ω a velocidade angular e a1 e b1, associados a características não lineares estáticas.

MFG é o torque promovido pelo peso da unidade, dado por:

Sendo Mg o momento gravitacional sem a influência do ângulo de arfagem. MBΘ é o torque promovido por forças de atrito, dado por:

Sendoo sinal da derivada do ângulo de arfagem, assumindo os valores -1, 0

ou 1.

MG é o torque giroscópico, considerado desprezível na presente etapa, visto que a única saída considerada é o ângulo de arfagem, o que, na prática, é normalmente alcançado travando-se o movimento horizontal do TRMS. Substituindo as definições acima na Eq. 1, tem-se que:

Eq. 2

Os valores dos parâmetros da Eq. 2 constam na Tabela 1:

Tabela 1 - Valores dos parâmetros da equação diferencial que rege o sistema kg.m2

N.m.s/rad

N.m.s2 /rad

Vale ressaltar que a tensão aplicada ao rotor do TRMS deve estar dentro da faixa de -2,5V a

2,5V e, tomando esse cuidado, foi colhida a resposta ao degrau apresentada pela unidade. Como explicitado anteriormente, dispõe-se dos dados reais de tal ensaio e estes são apresentados na Figura 2. Vale ressaltar ainda que a aplicação do comando de degrau foi dada em forma de tensão e que as medidas foram feitas por um encoder incremental, cuja dinâmica foi considerada desprezível frente à do TRMS.

Figura 2 - Resposta ao degrao do TRMS (dados reais)

No ensaio, o ponto de operação tomado foi próximo à posição horizontal, o que será adotado nas demais etapas, a menos que se explicite o contrário. Apenas a fim de melhor visualização, as curvas foram deslocadas de modo que tal ponto de operação fosse representado por 0 no eixo das ordenadas.

0.25 Resposta ao degrau real do TRMS tempo (s) saídas (V)

Entrada em tensão (V) Resposta do TRMS físico, medida por encoder (V)

Etapas 2 e 3 – Linearização do sistema e obtenção de sua função de transferência

Introdução

Na Etapa 1, foi descrito e tomado como sistema a ser modelado o TRMS. Para tanto, ele foi considerado SISO e então foi obtida a equação diferencial que relaciona a entrada considerada (velocidade angular do rotor principal, que toca as hélices responsáveis pelo movimento vertical) e a saída (ângulo de arfagem). Tal equação consta a seguir.

Eq. 3 Em que:

I1: momento de inércia da unidade, que vale 6,8 ⋅10-2 kg m2 a1: parâmetro associado a características não lineares estáticas, que vale 0,0135

b1: parâmetro associado a características não lineares estáticas, que vale 0,0924

Mg: momento gravitacional, que vale 0,32 N m

B1: parâmetro relacionado a forças de atrito, que vale 6⋅10-3 N m s/rad

: sinal da derivada do ângulo de arfagem, que pode valer -1, 0 ou 1

B2: parâmetro relacionado a forças de atrito, que vale 1⋅10-3 N m s/rad

A relação entre entrada e saída descrita pela Eq. 3 foi implementada na ferramenta Simulink, do MATLab, e consta na Figura 3:

Figura 3 - Diagrama de simulação do TRMS

Linearização

A Eq. 4 representa a função de transferência entre a tensão aplicada ao rotor (u(t), no tempo, e U(s) no domínio de Laplace) e sua velocidade angular (ω(t), no tempo, e Ω(s) no domínio de Laplace).

Eq. 4 Essa função de transferência será útil para se determinar a velocidade do rotor principal em alguns pontos de operação de interesse, a saber:

Tensão de ±2,5 V, limites suportados pelo TRMS. Pela função de transferência, eles são correspondentes a: ⋅

Tensão de 1,5 V, necessária para levar a planta a seu ponto de operação (posição horizontal).

Esse nível de tensão corresponde a: ⋅

Tensão de 1,7 V, referente ao degrau de 0,2 V, a partir do ponto de operação, aplicado ao sistema. Esse valor corresponde a: ⋅ seno sin

Sinais

Sign

Saturação da Entrada

Ponto de operação 1.65

MgMg Integrador 1

Integrador

Velocidade do rotor principal

Aceleração angular

Velocidade angular

Ângulo de arfagem

Com os valores levantados até então, é realizada a linearização do sistema em torno do ponto de operação Θ0 = 0 rad e ω0 = 1,65 rad/s, truncando a série de Taylor em seu primeiro termo derivativo, conforme a seguir:

[⋅ ]
[]

Levando os termos sen(θ) e ω2 à Eq. 2, tem-se que:

( )
( )
O termo( ), que depende da velocidade angular do TRMS apenas por um termo

Eq. 5 multiplicativo, assemelha-se a um amortecimento. A utilização prévia do TRMS no Laboratório de

Controle e Autmoação I permitiu chegar à conclusão que uma boa aproximação para o amortecimento

em questão é, quando o modelo linearizado se fez necessário para os propósitos de controle da

posição do TRMS. Fazendo esta e as demais substituições dos parâmetros da Eq. 5, tem-se que:

Eq. 6

Função de transferência

Aplicando a transformada de Laplace à Eq. 6, a função de transferência do modelo linearizado pode ser obtida, conforme consta a seguir:

Desprezando o termo independente, tem-se que:

Eq. 7 A resposta ao degrau do sistema linearizado foi comparada à do sistema não linear

(representado pelo diagrama de simulação ilustrado na Figura 3) e consta na Figura 4.

Figura 4 - Superposição das respostas ao degrau do TRMS e do sistema linearizado 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

2 Respostas ao degrau do TRMS e de seu modelo linearizado tempo (s)

S a í d a s

Entrada

Resposta do TRMS Resposta do modelo linearizado

Etapa 4 – Obtenção de um modelo a partir da resposta em frequência do sistema e uma entrada em impulso

Introdução

A presente etapa visa obter um modelo para o sistema a partir de sua resposta em frequência.

O procedimento realizado foi aplicar um impulso e tomar a FFT de sua resposta. A partir da plotagem de tal resposta, o modelo pôde ser obtido.

Procedimentos

A resposta ao impulso temporal do sistema consta na Figura 5. Como indicado, não é possível a aplicação de um impulso propriamente dito na prática. O que foi feito foi a aplicação de um pulso de área unitária de duração curta o suficiente para que o sistema pudesse apresentar uma resposta próxima à resposta ao impulso propriamente dita.

Figura 5 - Resposta ao impulso do TRMS, usada para o método de identificação pela resposta em frequência

As curvas foram superpostas a despeito de seus níveis de aplicação originais, referentes ao ponto de operação adotado, para fins de uma melhor visualização. Como não foi aplicado um impulso propriamente dito ao sistema, foram tomadas as FFT’s da entrada e da saída apresentadas na Figura 5 e, a partir da divisão da FFT da saída pela da entrada, a resposta em frequência do TRMS pôde ser obtida. A Figura 6 consta os resultados obtidos.

Figura 6 - Resposta em frequência do sistema

Tempo (s) Sinais de entrada e saída

Resposta ao impulso do TRMS

Impulso Resposta ao impulso

Resposta em Frequência do TRMS

Tomando apenas a parte confiável da resposta em frequência, tem-se, para seu módulo, o descrito na Figura 7:

Figura 7 - Módulo da resposta em frequência do TRMS Pelas figuras, os seguintes parâmetros foram levantados, para obtenção do modelo:

A resposta em frequência do modelo obtido consta na Figura 8

Figura 8 - Diagrama de Bode do modelo obtido pelo método de resposta em frequência

A título de validação do modelo, uma nova massa de dados foi obtida e a resposta ao impulso real foi comparada à do modelo, como indica a Figura 9:

Resposta em Frequência do TRMS

Magnitude (dB)

Phase (deg)

Diagrama de Bode do modelo obtido

Frequency (rad/sec)

Figura 9 - Comparação entre a resposta ao impulso real e à do modelo obtido pelo método de Resposta em Frequência

Etapa 5 – Obtenção de um modelo a partir da resposta a um PRBS, utilizando o somatório de convolução

Introdução

A presente etapa consiste em aplicar ao sistema um PRBS (Pseudo Random Binary Signal) e colher sua resposta. Com esses dados – e, obviamente, os de entrada – em mãos, o somatório de convolução é utilizado para se obter a resposta ao impulso do sistema, conforme a seguir:

Sendo y(k) a saída resposta do sistema ao PRBS, h(k), sua resposta ao impulso, e u(k), o PRBS aplicado. O somatório de convolução pode ser desenvolvido conforme a seguir:

Eq. 8 Montando-se a matriz U, a resposta ao impulso do sistema pode ser obtida pela Eq. 8.

Tempo (s) Respostas do modelo e do TRMS

Validação do modelo pelo método de Resposta em Frequência

Resposta do modelo Resposta do TRMS

Procedimentos

Nesta etapa, foram aplicados dois PRBS’s: na presença e na ausência de ruído. Os sinais gerados constam na Figura 10:

Figura 10 - PRBS's aplicadas ao sistema durante o método de identificação por somatório de convolução

Para que houvesse uma diferença significativa na resposta do sistema aos sinais aplicados, o nível de ruído escolhido foi tão grande quanto é possível constatar na Figura 10. Aplicando o PRBS sem ruído ao sistema, obteve-se a seguinte resposta:

Figura 1 - Respsota do TRMS ao PRBS sem ruído

Após obter a matriz U-1 para o PRBS sem ruído, foi aplicada a entrada ruidosa, obtendo-se a seguinte resposta:

Tempo(s)

Entradas na forma de PRBS PRBS com e sem ruído

PRBS sem ruídoPRBS com ruído

Tempo (s) Entrada e Saída

Resposta do sistema ao PRBS sem ruído

PRBS Resposta do TRMS

Figura 12 - Resposta do TRMS ao PRBS com ruído

Obtidas as respostas ao impulso para ambos os casos, pela Eq. 8, foi aplicado ainda um impulso ao sistema, a fim de se validar os modelos. A superposição das respostas consta na Figura 13:

Figura 13 - Validação dos modelos obtidos por somatório de convolução

A primeira observação que pode ser feita na Figura 13 é a pequena robustez apresentada pelo método ao ruído, evidenciada pela diferença da entre as respostas ao impulso obtidas pelos ensaios com e sem ruído. Ainda que ambas se diferenciem significativamente da resposta real, principalmente em amplitude dos picos, é possível notar que a resposta obtida pelo somatório de convolução com o PRBS livre de ruído apresenta oscilações com uma tendência mais parecida com a real, quando comparada com as oscilações apresentadas pelo modelo na presença de ruído. Assumiu-se como plausível que os principais motivos para a divergência entre a resposta real e a dos modelos são a dificuldade prática de se aplicar ao sistema um impulso propriamente dito e as interpolações realizadas durante a manipulação dos vetores que representam os sinais. Para o caso da resposta ao impulso obtida pela aplicação do PRBS ruidoso, há ainda o motivo óbvio da pequena robustez do método à presença de ruído.

Tempo (s) Entrada e Saída

Resposta do sistema ao PRBS com ruído

PRBS Resposta do TRMS

Amostras Respostas ao impulso

Respostas ao impulso obtidas a partir de convolução com PRBS

Resposta para ensaio sem ruido

Resposta para ensaio com ruido Resposta ao impulso real

Etapa 6 – Obtenção de um modelo pelo método de Levi

Introdução

O método de Levi consiste em determinar os coeficientes de um modelo de forma que sua resposta em frequência se aproxime daquela estimada a partir de ensaios práticos ( ̂ ). O modelo paramétrico obtido é descrito a seguir:

Eq. 9 Cujos parâmetros podem ser obtidos pela Eq. 10, descrita a seguir:

Eq. 10

Em que, dado um número de elementos, Nf, tomados da resposta estimada dos ensaios práticos:

Dependendo do número de parâmetros a serem determinados, as divisões utilizadas são determinadas e a Eq. 10 pode ser reduzida. Para o TRMS, decidiu-se aproximá-lo de um modelo com dois polos e nenhum zero. Assim, apenas os termos b0, a1 e a2, na Eq. 9, precisam ser determinados e a Eq. 1 fica da forma descrita a seguir:

Eq. 1

Procedimentos Utilizando a parte confiável da resposta em frequência obtida experimentalmente, ilustrada na

Figura 6, o número de elementos, Nf, utilizado foi determinado e, a partir das equações Eq. 9 e Eq. 1, o modelo com dois polos e nenhum zero, descrito a seguir, foi obtido:

A resposta em frequência do modelo obtido consta na Figura 14:

Figura 14 - Diagrama de Bode do modelo obtido pelo método de Levi

Usando uma nova massa de dados, a resposta ao impulso do sistema e o módulo de sua resposta em frequência são comparados aos apresentados pelo modelo obtido, a fim de validação:

Figura 15 - Superposição das respostas ao impulso apresentadas pelo TRMS e pelo modelo obtido pelo método de Levi

Magnitude (dB)

Phase (deg)

Resposta em frequência do modelo obtido pelo método de Levi

Frequency (rad/sec)

Tempo (s) Respostas do modelo e do TRMS

Validação do modelo pelo método de Levi

Resposta do modelo Resposta do TRMS

Figura 16 - Validação do modelo obtido pelo método de Levi através da resposta em frequência do TRMS

Etapa 7 – Obtenção de um modelo pelo Método dos Mínimos Quadrados

(Parte 1 de 2)

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