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Karoline Nazaré Reis Suzana Carril Gama Tânia Suelen Borel Caldas

Karoline Nazaré Reis Suzana Carril Gama Tânia Suelen Borel Caldas

Pesquisa sobre Transformadas de Laplace elaborada junto à disciplina Física matemática do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado do Amazonas como requisito parcial para a obtenção do título de Licenciado em Matemática.

Prof. Dr. Alessandro Michiles

1. Introdução4
1.1 Vida e Obra de Pierre-Simon Laplace4
1.2 Contexto Histórico5
1.3 Obras e Contribuições5
2. A Integral de Laplace7
3. Transformada de Laplace8
4. Propriedades das Transformadas de Laplace1
4.1. Teorema da Linearidade1
4.2. Teorema do Deslocamento12
4.3 Transformada da Derivada12
4.4. Transformada da Integral13
5. Decomposição em Frações Parciais14
5.1. Casos Especiais da Decomposição em Frações Parciais15
6. Transformada Inversa de Laplace16
7. Aplicações da Transformada de Laplace17
Apêndice20

1. Introdução 1.1 Vida e Obra de Pierre-Simon Laplace

Pierre-Simon, marquês de Laplace, nasceu em 23 de março de 1749, filho de um pequeno trabalhador rural ou talvez de um empregado de fazenda que deve sua educação ao interesse de alguns vizinhos mais entendidos. Graças às suas habilidades e presença atrativa revelou grande talento para a matemática enquanto estudava teologia na Universidade de Caen. Ainda novo tornou-se professor assistente na escola em Beaumont, porém, tendo uma carta de recomendação de Jean Le Rond d'Alembert, foi à Paris tentar a sorte, e então, tornou-se professor da Escola Militar de Paris, em 1769.

Em 1773, iniciou a tradução das pesquisas e teorias astronômicas de Isaac

Newton, Edmundo Halley e outros célebres cientistas, cujas obras encontravam-se dispersas, e buscou explicar as aparentes anomalias das órbitas planetárias. Após uma breve incursão na biologia química, em que, com a colaboração de Lavoisier, demonstrou que a respiração dos seres vivos é uma forma de combustão produzida pela reação das substâncias orgânicas com o oxigênio inspirado, retomou seus estudos celestes. Nesse campo, realizou cálculos minuciosos sobre os efeitos gravitacionais recíprocos de todos os corpos do sistema solar e descobriu que as órbitas ideais propostas por Newton apresentavam desvios periódicos. Nessa época, concluiu também brilhante análise sobre eletromagnetismo. E, nesse mesmo ano, ganhou as eleições para a Academia das Ciências em 31 de Março e com esse trabalho ele começa a ganhar notoriedade. Em Exposition du système du monde (1796; Exposição do sistema do mundo) Laplace explicou a origem do Sol e dos planetas a partir de uma nebulosa. Em Traité de mécanique céleste (1798-1827; Tratado de mecânica celeste), em cinco volumes, fez uma completa interpretação da dinâmica do sistema solar, apoiada em teses matemáticas. Seus trabalhos sobre a teoria da probabilidade tornaram-se amplamente conhecidas e respeitadas nos círculos científicos. Ministro do Interior de Napoleão Bonaparte durante seis semanas, foi nomeado marquês da França por Luís XVIII, em reconhecimento a sua importante atividade científica e política. Laplace morreu em 5 de março de 1827, em Paris.

1.2 Contexto Histórico

Pode-se caracterizar a França de Laplace no parágrafo a seguir: “No final do século XVIII, a estrutura social da França era essencialmente

Aristocrática. Conservava características de origem, ou seja, da época em que a terra constituía a única forma de riqueza social e dava a seus possuidores o poder sobre aqueles que a cultivavam” (Albert Soboul, História da Revolução Francesa).

Este final do século que é referido foi marcado por um período conturbado, onde desejava-se mudanças radicais na estrutura social, política e econômica do país. As classes mais baixas, formadas por camponeses, burgueses e artesãos, lutavam pelo fim da desigualdade, pelo fim dos privilégios políticos da nobreza e pelo fim dos privilégios econômicos do clero. Basicamente buscava-se a liberdade e a igualdade e cada vez mais evidenciava-se o início de uma revolução. Culturalmente, presenciava-se a influência dos iluministas que caracterizavam-se por adotar uma filosofia de valorização da razão e o abandono dos preconceitos tradicionais. Entre os pensadores da época podemos citar Locke, Bayle, Adam Smith, Rousseau, Voltaire, Diderot e Kant.

1.3 Obras e Contribuições

A vida de Laplace como cientista pode ser dividida em quatro períodos, todos eles apresentando novas descobertas e evoluções.

No primeiro período (1768-1778), Laplace desenvolveu a solução de problemas de cálculo integral, matemática astronômica, cosmologia e teoria de chances de jogos. Durante esse período ele estabeleceu seu estilo, reputação, posição filosófica, certas técnicas matemáticas e um programa de pesquisas em duas áreas: probabilidade e mecânica celestial, nas quais, a partir de então, trabalhou para o resto de sua vida.

No segundo período (1778-1789), ele iniciou a pesquisa na sua terceira área de maior interesse: a física. Sua colaboração juntamente com Lavoisier foi relativa à teoria do calor.

O terceiro e revolucionário período (1789-1805), centralizou-se na preparação do Sistema Métrico. Na década de 1795 a 1805, sua influência foi fundamental para as ciências exatas no mais novo instituto fundado na França: a Escola Politécnica foi o local onde a primeira geração de físicos matemáticos foi treinada.

O trabalho do quarto período (1805-1827) mostra elementos de culminação e declínio de Laplace, em companhia de Berthollet, fundou uma escola, o centro de seu interesse foi a física: ação capilar, a teoria do calor, óptica corpuscular e a velocidade do som.

No começo de 1810, Laplace voltou novamente sua atenção para a probabilidade, tomando como tópico fundamental a teoria dos erros. Também foi abordado o problema dos quadrados mínimos.

Foi neste período que Laplace desenvolveu um método de solução integral para equações diferenciais: a Transformada de Laplace, cuja teoria o consagrou na área de cálculo devido à praticidade oferecida na resolução de equações diferenciais.

Nestes quatro períodos de pesquisa e descobertas, Laplace publicou diversas obras, sendo as principais já citadas anteriormente, e mais uma igualmente importante: Traité de mécanique céleste, na qual foi desenvolvida uma explanação matemática, com base na teoria da gravitação, dos movimentos dos corpos do sistema solar; Exposition du système du monde, na qual foi apresentada sua famosa hipótese nebular que considerava a origem do sistema solar como resultado de uma contração e resfriamento de uma grande , aplainada e rotativamente lenta nuvem de gás incandescente ; Théorie analytique des probabilités , em que como o próprio nome sugere , são abordados aspectos da ciência probabilística.

Laplace tinha um amplo conhecimento de todas as ciências e dominava todas as discussões na Academia. De forma razoavelmente única para um prodígio do seu nível, Laplace via os matemáticos apenas como uma ferramenta para ser utilizada na investigação de uma averiguação prática ou científica.

Ele é nos dias de hoje, lembrado como um dos maiores cientistas de todos os tempos (às vezes, chamado de Newton francês ou Newton da França) com uma fenomenal capacidade matemática natural sem igual entre os seus contemporâneos. Parece que Laplace não era modesto sobre suas habilidades e realizações e ele provavelmente não conseguia reconhecer o efeito de sua atitude sobre seus colegas. Anders Johan Lexell visitou a Académie des Sciences em Paris, no período de 1780 a 1781 e relatou que Laplace deixava claro que se considerava o melhor matemático da França. O efeito sobre os seus colegas só seria relativamente atenuado pelo fato de que Laplace muito provavelmente estaria correto.

2. A Integral de Laplace

Xea d e X Ad , para equações diferenciais, mas não analisou o

Em meados de 1744, Leonard Euler investigava soluções na forma problema muito a fundo. Lagrange, um admirador do trabalho de Euler, em seu trabalho de integrar funções de densidade de probabilidade, investigou integrais da forma:

Xe a .a d

Esses tipos de integrais chamaram a atenção de Laplace em 1782, quando ele estava seguindo as ideias de Euler, usando integrais como soluções de equações diferenciais. Porém, em 1785, Laplace deu um enorme passo à frente quando, ao invés de olhar para soluções na forma de integrais, ele passou a utilizá-las do modo em que se popularizaram. Ele usou uma integral da forma

S S d

parecida com a transformada de Mellin, f ss- .f d

8 , que transforma toda a equação e procura soluções para a equação transformada. Laplace então passou aplicar sua transformada de modo análogo e a perceber algumas de suas propriedades, começando a perceber seu verdadeiro potencial.

f t . e st dt

As transformadas integrais, de modo geral, servem para resolver problemas em que a solução em seu domínio original é muito difícil. Por exemplo, algumas equações diferenciais que dependem do tempo podem ser facilmente resolvidas em um domínio-alvo, ao fazer um mapeamento do domínio original para um domínioalvo e depois remapeando a solução para o domínio original.

3. Transformada de Laplace

Definição: Seja f(t) uma função definida para todo t ≥A Transformada de

A Transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de forma vantajosa na solução de equações diferenciais lineares. A facilidade proporcionada pela Transformada de Laplace advém do fato de que operações como diferenciação ou integração são convertidas em operações algébricas simples. Laplace de f(t), denotada por L{f(t)} é dada por:

f tf t . e st dt lim

a f t . e st dt

O intervalo de integração em f t . e-st dt é infinito. Uma integral deste tipo é chamada de integral imprópria.

A transformada de Laplace depende de “s”, é representada por uma letra maiúscula F = F(s), enquanto que a função original que sofreu a transformação depende de “t” é representada por uma letra minúscula f = f(t). Para representar a transformada de Laplace da função “f”, é comum usar a notação:

L[f(t)] = F(s)

A transformada de Laplace de uma função f(t) existe se a integral de Laplace, f t . e-st dt , convergir. A integral converge se f(t) for seccionalmente contínua para t > 0 e de ordem exponencial.

máximo, um número finito de descontinuidades finitas no intervalo 0 ≤ t ≤ , >

Diz-se que uma função f(t) é seccionalmente contínua para t ≥ se tiver, no

Diz-se que uma função f(t) é do tipo exponencial de ordem e t, > , quando t , se existirem constantes M e N reais e positivas tais que para cada t > N,

|f(t)| < Me t.

Exemplo 1: f t

Vejamos alguns exemplos de transformadas resolvidas pela definição.

lim a . e st dt lim a s e st lim a s

e

e sa s lim a s e sa s s

Exemplo 2: f(t), quando “k” é uma constante, k > 0.

lim a . e st dt lim a s e st lim a s

e sa
e

lim a s e sa s s

Portanto, tem-se que a transformada de uma constante, pela definição, é .

Exemplo 3: f(t) t t lim a t. e st dt

tlim

s e st s e st

tlim
e

s e sa s e sa s s e

tlim

a s e s

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