Aleta Transiente Nao Linear

Aleta Transiente Nao Linear

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Análise de uma aleta transiente com condutividade térmica não-linear 24 de Maio de 2012

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Fundamentos dos Métodos Matemáticos Prof. Dr. Marcelo Krajnc Mestrando David Roza José

Conteúdo 1 Descrição do Problema 3 2 Formulação Forte 4 3 Formulação Fraca 5 4 Discretização por Galerkin 7 5 Discretização no tempo 9

6.1 Código10
6.2 Resultados12

6 Simulação no MatLab 10 2

1 Descrição do Problema Considerar o problema ilustrado a seguir:

Figura 1: Diagrama esquemático de uma aleta.

E as seguintes hipóteses:

• Ac(x) é constante ao longo do comprimento;

• A temperatura na origem é prescrita, T(0,t) = Ta; • A ponta da aleta é isolada, q(L,t) = 0;

• O fluxo é uni-dimensional;

• Despreza-se a transferência de calor por irradiação;

• O regime é transiente;

• O comprimento total da aleta é L;

2 Formulação Forte A partir do balanço de energia no elemento diferencial:

Onde qh é a transferência de calor por convecção, definida como qh = h(T − Tf) ; Pe é o perímetro da seção transversal; A é a área da seção transversal; ρ é a densidade do sólido; Cp é a capacidade térmica a pressão constante;

T∞ = Tf. Pode-se fazer a expansão do termo q(x + dx,t) por Taylor:

Substituindo 2 em 1:

Os termos de segunda ordem vão a zero, o que nos dá

O que nos dá a formulação forte do problema, que é encontrar T(x,t), solução de:

Com

3 Formulação Fraca

Seja KT o conjunto das temperaturas admissíveis para T(x,t) para cada t [0,tf];

Seja V arT um espaço linear, conjunto das variações térmicas admissíveis;

Supondo-se TP(x,t) conhecido, já que ele satisfaz a condição de contorno em ΓT, o problema agora consiste em

Temos então ˆ

Ω ρCp T TdΩ− hPe

Ao observar o termo: ˆ

Podemos escrever

Ao se aplicar uma integral do lado esquerdo de 9, tem-se

Note-se que k∂T também é zero. Desta maneira:

Aplicando isto à 9, temos que:

Podemos então substituir 10 em 7: ˆ

Ω ρCp T TdΩ+ hPe

Sendo:

Temos que:

Temos que a Equação 1 modificada fica: ˆ

hPe hPe

E a formulação fraca é encontrar T , solução da Eq. 12.

4 Discretização por Galerkin Procede-se à discretização pro Galerkin assumindo as seguintes substituições:

T = φi Efetuando-se a substituição em 12, tem-se:

Ω ρCp ajφjφidΩ + Ω hPe

A ajφjφidΩ = hPe

Reorganizando:

Ω ρCpφjφidΩ + aj Ω

Ta (Tp + asφs)

∂x dΩ+aj hPe

A φjφidΩ = hPe

Levando ao espaço L2 e aplicando a norma:ˆ

Ω T TdΩ =

Ω Ta TdΩ

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