Exercícios Resolvido Eletricidade Halliday 3

Exercícios Resolvido Eletricidade Halliday 3

(Parte 1 de 4)

LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 1 de Dezembro de 2004, as 10:58 a.m.

Exercıcios Resolvidos de Teoria Eletromagnetica

Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fısica teorica, Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fısica

Materia para a QUARTA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro “Fundamentos de Fısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conteudo

3.1 Questoes2
3.2 Problemas e Exercıcios2
3.2.1 Indutancia – (1/8)2
3.2.2 Auto-Inducao – (9/13)5
3.2.3 Circuitos – (14/28)6
Campo Magnetico – (29/37)10

3.2.4 Energia Armazenada num

Campo Magnetico – (38/46)12
3.2.6 Indutancia Mutua – (47/53)13

3.2.5 Densidade de Energia de um

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LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 1 de Dezembro de 2004, as 10:58 a.m. 3 Indutancia

3.1 Questoes

Quando o fluxo magnetico que atravessa cada espira de uma bobina e o mesmo, a indutancia da bobina pode ser calculada por (Eq. 3-2). Como poderıamos calcular de uma bobina para a qual tal hipotese nao e valida?Basta computar a fem para cada uma das espiras, soma-las, e depois usar para obter o valor de .

Desejamos enrolar uma bobina de modo que ela tenha resistencia mas essencialmente nenhuma indutancia.

Como fazer isto?Uma maneira de fazer e enrolar o fio que compoe a bobina em duas camadas, de modo que a corrente passe nelas em sentidos contrarios. Deste modo a indutancia tendera para zero.

3.2 Problemas e Exercıcios

A indutancia de uma bobina compacta de espiras vale mH. Calcule o fluxo magnetico atraves da bobina quando a corrente e de mA.Como , onde e o numero de espiras, e a indutancia e a corrente, temos

H AWb

Uma bobina circular tem um raio de cm e e formada por espiras de arame enroladas muito proximas. Um campo magnetico externo de mT e perpendicular a bobina. (a) Nao havendo corrente na bobina, qual e o fluxo atraves dela? (b) Quando a corrente na bobina e de A, num certo sentido, o fluxo lıquido atraves da bobina e nulo. Qual e a indutancia da bobina?(a) Wb

(b) H/m Preste atencao nas unidades envolvidas.

Um solenoide e enrolado com uma unica camada de fio de cobre isolado (diametro m). Ele tem cm de diametroe um comprimentode m. (a) Quantas espiras possui o solenoide? (b) Qual e a indutancia por metro de comprimento, na regiao central do solenoide? Suponha que as espiras adjacentes se toquem e que a espessura do isolamento seja desprezıvel.(a) O numero de espiras multiplicado pelo diametro de cada espira deve ser igual ao comprimento do solenoide. Portanto, temos fio espiras (b) Portan- to, simplificando a corrente, segue H/m

Um solenoide longo e estreito, pode ser curvado de modo a formar um toroide. Mostre que, para um solenoide suficientemente longo e estreito, a equacao que da a indutancia do toroide (Eq. 3-7) assim formado e equivalente a de um solenoide (Eq. 3-4) com um comprimen- to apropriado.Para um solenoide muito comprido, com o qual desejamos construir um toroide, escrevemos a indutancia em funcao do numero total de espiras, , e nao de http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 2 de 14

LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 1 de Dezembro de 2004, as 10:58 a.m., a densidadede espiras porunidadede comprimento. As expressoes da indutancia para um solenoide e um toroide sao, respectivamente,

Para poder comparar estas formulas, expandimos o lo- garıtmo que aparece em . Para que isto seja possıvel assumimos que o toroide tenha dimensoes suficientemente grandes tais que , ou seja, tal que. Calculando (ou simplesmente olhando numa

Tabela qualquer), vemos que para um valor arbitrarioo logarıtmo pode ser representado pela seguinte serie de potencias:

Considerando apenas o primeiro termo na serie acima, segue, para :

de modo que

Observando agora que e que obtemos, nestas condicoes, que, realmente,

Como para um toroide sempre temos , da expansao do logarıtmo acima vemos que a aproximacao feita e bastante boa.

Indutores em serie. Dois indutores e estao li- gados em serie e separados por uma distancia gran- de. (a) Mostre que a indutancia equivalente e dada poreq . (b) Por que a separacao entre os in- dutores tem de ser grande para que a relacao acima seja valida? (c) Qual e a generalizacao do item (a) para indutores em serie?(a) Nas condicoes discutidas abaixo, no item (b), a conservacao da energia requer que a queda de tensao , ao atravessarmos os dois indutores, seja igual a soma das quedas ao atravessarmos cada indutor separadamente:

Como a corrente que atravessa os tres indutores em questao e exatamente a mesma, da definicao de indutancia, podemos escrever eq Substituindo estes valores na equacao acima e simplifi- cando obtemos eq

(b) A expressao acima sera valida sempre que o fenomeno de inducao mutua puder ser desprezado. Pa- ra tanto e preciso que e estejam bem afastados, como requerido pelo problema. O caso em que a indutancia mutua nao pode ser desprezada e tratado explicitamente no Problema 3-49, adiante.

(c) Quando tivermos indutores em serie (e sem a presenca de inducao mutua!), vemos facilmente que e, consequentemente, que eq

Indutores em paralelo. Dois indutores e estao ligados em paralelo e separados por uma distancia grande. (a) Mostre que a indutancia equivalente e dada por

(b) Por que a separacao entre os indutores tem de ser grande para que a relacao acima seja valida? (c) Qual a generalizacao do item (a) para indutores separados?Este problema e analogo e sua resposta tem a mesma fundamentacao teorica do Problema 3-5.

(a) Da definicao de ligacao em paralelo vemos que ago- ra vale , sendo que a queda de tensao nos tres componentes em questao e a mesma, . Portanto eq Substituindo estes valores na relacao obtida derivando-se , segue facilmente que eq http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 3 de 14

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(b) A justificativa e identica a do item (b) do Problema 3-5.

(c) Para indutores em paralelo, extendendo o calculo feito no item (a) acima, obtemos

Uma tira larga de cobre (largura ) e curvada formando um tubo de raio com duas extensoes planas, co- mo mostra a Fig. 3-14. Uma corrente flui atraves da tira, distribuida uniformemente sobre sua largura. Fezse, deste modo, um “solenoide de uma unica espira”. (a) Deduza uma expressao para o modulo do campo magnetico na parte tubular (longe das bordas). (Sugestao: Suponha que o campo magnetico fora deste solenoide de uma unica espira seja desprezıvel.) (b) Determine a indutancia deste solenoide de uma unica espira, desprezando as duas extensoes planas.(a) Aplicando-se a lei de Ampere a parte tubular, tal como feito no caso do solenoide, produz donde tiramos (b) O fluxo e

Sabemos que Como temos uma unica es- pira, , e, portanto, o que implica que(a) Observe que podemos considerar o tubo como “composto” por espiras, cada uma transportando uma corrente . Neste caso, estaremos tratando de um solenoide para o qual a densidade de espiras por uni- dade de comprimento e .

Assim sendo, usando a Eq. 31-12, pag. 194, para o so- lenoide ideal, encontramos, notando que , que coincide com o valor acima.

Dois fios longos e paralelos, cada um com raio , cujos centros estao separados por uma distancia , sao per- corridos por correntes iguais mas em sentidos opostos. Mostre que, desprezando o fluxo dentro dos proprios fios, a indutancia para um comprimento deste par de fios e dada por:

Veja o Exemplo 31-3, pag. 188. (Sugestao: calcule o fluxo atraves de um retangulo que tem os fios como la- dos).A area de integracao para o calculo do fluxo magnetico e limitada pelas duas linhas tracejadas na Figura abaixo e pelas bordas do fio.

Se a origem for escolhida como estando sobre o eixo do fio a direita e medir a distancia a partir deste eixo, a integracao se estendera desde ate .

Considere primeiramente o fio a direita. Na regiao de integracao o campo que ele produz entra na pagina e tem magnitude . Divida a regiao em tirinhas de comprimento e largura , como indicado. O fluxo atraves da tirinha a uma distancia do eixo do fio e e o fluxo atraves da regiao toda e

O outro fio produz o mesmo resultado, de modo que o fluxo total atraves do retangulo tracejado e

Total Portanto, temos para a indutancia total

Total http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 4 de 14

LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 1 de Dezembro de 2004, as 10:58 a.m.A indutancia tambem pode ser encontrada combinando-se a lei da inducao de Faraday e a Eq. 3- 1, de modo que

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