integração-por-partes (1)

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(Parte 1 de 3)

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Aula 13 Técnicas de Integração

Objetivos da Aula

Estudar técnicas especiais de integração: integração por substituição e por partes, mostrando que estes processos são ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla classe de funções.

Regra da Substituição

É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular integrais do tipo

Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (2x + 4) 5 e, em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo. Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis:

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Se substituirmos estas expressões na Equação [ 1 ], obtemos

Assim resolvendo esta integral teremos:

Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos

Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está correto calculando e observando que este resultado é precisamente o integrando de [ 1 ]. Regra da Substituição [ 2 ]

Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I, então

Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra da Substituição é imaginar dx e du em [ 2 ] como diferenciais.

Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após os sinais de integrais como se fossem diferenciais.

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Método de Integração por Substituição

Para vermos porque o método que usamos no cálculo da integral foi bem-sucedido, escrevamos

Então g’(x) = 2 dx. Além disso, o integrando de é precisamente a composta de f e g. De fato

Portanto,pode ser escrita como

Mostraremos em seguida que uma integral da forma pode ser escrita como

Suponhamos que F é uma antiderivada de f. Pela regra da cadeia temos

Portanto, Fazendo F ’ = f e efetuando a substituição u = g(x), temos como queríamos mostrar. Assim, se a integral transformada pode ser diretamente calculada, como é o caso da integral , então o método da substituição será bem-sucedido.

Podemos, agora, resumir os passos envolvidos na integração por substituição.

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Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em geral “a função interna” da função composta f (g(x)). Passo 2. Calcule du = g’(x) dx. Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter a integral em uma outra envolvendo apenas u. Passo 4. Calcule a integral resultante. Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como função de x.

Observação: Ás vezes é necessário considerarmos diferentes escolhas de g para a substituição u = g(x) para podermos executar os passos 3 e/ou 4.

Exemplo 1:

Calcule

Solução:

com “função interna”

Passo 1. Observemos que o integrando envolve a função composta

Assim, escolhemos

Passo 3. Fazendo a substituição, obtemos

Passo 2. Calculamos du = 2x dx. uma integral envolvendo de apenas a variável u.

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Passo 5. Substituindo u por, obtemos

Passo 4. Calculamos

Exemplo 2:

Calcule

Solução:

“função interna”

Passo 1. O integrando contém a função composta

Assim, seja

Passo 2. Calculamos Passo 3. Fazendo a substituição uma integral envolvendo apenas a variável u.

Passo 4. Calculamos Passo 5. Substituindo u por obtemos

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Aplicação

Um estudo preparado pelo departamento de marketing da Companhia Universal Instruments projeta que, após a nova linha de computadores pessoais Galaxy ser introduzida no mercado, as vendas crescerão à taxa de unidades por mês. Encontre uma expressão que forneça o número total de computadores que serão vendidos t meses após se tornarem disponíveis no mercado. Quantos computadores a Universal venderá no primeiro ano em que eles estiverem no mercado?

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