Geometria Básica - Volume 1

Geometria Básica - Volume 1

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Aula 1 { No c~oes elementares

Objetivos

• Criar os alicerces para que o aluno possa acompanhar todo o restante da disciplina.

Introduzir elementos primitivos e alguns axiomas b asicos da Geometria Euclidiana.

Geometria

Geometria signi ca medida da terra. A palavra geometria vem do grego geo, terra, e metrein, medir, que remonta a origem da Geometria, nascida da necessidade pr atica de medir o tamanho das propriedades agr colas. Desenvolveu-se, incialmente, no Egito, onde as cheias do rio Nilo cancelavam as divisas entre as glebas. As primeiras no c~oes geom etricas surgiram quando o homem teve necessidade de realizar medidas; como por exemplo, comparar distancias e determinar dimens~oes de corpos que estavam a sua volta. Mas o que se tem de mais interessante ao se estudar a hist oria, e que os primeiros passos no estudo da Geometria foram dados com base numa hip otese falsa: acreditava-se que a Terra era plana. Todas as pesquisas foram feitas segundo essa cren ca, mas isso n~ao impediu o desenvolvimento da Geometria.

“O estudo profundo da natureza e a mais fecunda fonte de descobertas matem aticas"

Joseph Fourier (1768-1830)

Fig. 1: A. Zelsing, Leipzig, Alemanha, 1854. 7 CEDERJ

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Os elementos b asicos do estudo da Geometria s~ao as id eias de ponto, reta e plano. No nosso dia-a-dia usamos essas palavras em diversas ocasi~oes, e com diversos signi cados diferentes, tais como:

- A que ponto chegamos!

- Estamos na reta nal do trabalho.

- Eu tenho um plano!

Sob o ponto de vista da Geometria, no entanto, essas palavras tem signi cados muito espec cos. Contudo, apesar de serem conceitos importantes e intuitivos, s~ao dif ceis de de nir. Tente dar uma de ni c~ao de um deles:

O ponto, a reta e o plano n~ao existem no mundo real, s~ao instrumentos que usamos para modelar a natureza. Um gr~ao de areia, uma vareta ou um tampo de mesa nos d~ao a id eia de ponto, reta e plano, mas nunca vimos um gr~ao de areia que n~ao tenha volume (mesmo pequeno), uma vareta que n~ao tenha espessura e se prolongue inde nidamente, ou um tampo de mesa que se prolongue em todas as dire c~oes...

Podemos, por em, imaginar esses elementos e estudar suas propriedades. Indo mais al em, podemos imaginar partes desses elementos (semi-retas, segmentos, semiplanos, etc.), composi c~oes dessas partes (angulos, triangulos, circunferencias, etc.) e estudar suas propriedades.

Fig. 2: Elementos do mundo real na Geometria. CEDERJ 8

Em nosso estudo da Geometria, n~ao de niremos ponto, reta e plano: esses ser~ao elementos primitivos. Usaremos letras mai usculas (A, B, C, etc.) para designar pontos, letras min usculas (a, b, c, etc.) para designar retas, e letras do alfabeto grego ( , , , etc.) para designar planos.

Veja na gura 3 como ser~ao representados no papel os elementos primitivos ponto, reta e plano.

r α Fig. 3: Ponto, reta e plano representados no papel.

Para evoluir em nosso estudo da Geometria Euclidiana precisamos estabelecer algumas rela c~oes entre os elementos primitivos, rela c~oes que chamaremos de axiomas. Axiomas s~ao verdades primitivas, aceitas a priori, e que re etem propriedades observ aveis dos objetos do mundo real que estamos modelando. Mais a frente voce entender a mais sobre o signi cado dos axiomas.

A partir dos elementos primitivos, ponto, reta e plano e das verdades intuitivas, os axiomas, usamos argumentos logicamente consistentes para decidirmos se novas propriedades s~ao verdadeiras ou falsas.

Justamente porque pontos, retas e planos s~ao modelos abstratos do mundo real e os axiomas verdades auto-evidentes, e importante sermos extremamente criteriosos na escolha dos axiomas. Eles devem, a princ pio, serem de f acil aceita c~ao como verdades evidentes.

Felizmente, estamos estudando uma disciplina que tem mais de 2.400 anos de existencia. A fase criativa mais importante da Geometria Euclidiana ocorreu no s eculo IV a.C., onde foram enunciados a quase totalidade dos axiomas na impressionante obra \Os Elementos" de Euclides.

Escolher um axioma e longe de ser tarefa f acil. Temos que usar a intui c~ao e nosso conhecimento do mundo. No entanto, e preciso sermos muito criteriosos. Freq uentemente, nossos sentidos, nosso bom senso, nos levam a conclus~oes equivocadas, como voce experimentar a nos exemplos a seguir.

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Exemplo 1

Observe a gura 4 e responda se as linhas que ligam M a N e P a Q s~ao linhas retas.

Fig. 4: Ilus~ao de otica?

Exemplo 2

Na gura 5, qual das linhas e maior: a horizontal ou a vertical ? Con ra as respostas com sua r egua.

Fig. 5: Qual e a maior linha?

Bom, se por um lado n~ao podemos con ar apenas no bom senso e na intui c~ao, por outro lado eles s~ao muito importantes.

Como j a lhe contamos, o estudo da Geometria come ca por admitir como propriedades verdadeiras apenas algumas a rma c~oes simples, chamadas axiomas ou postulados, que s~ao bastante intuitivas. A partir dos axiomas e poss vel provar (ou demonstrar) outras a rma c~oes. A essas a rma c~oes, que ser~ao provadas, daremos o nome de proposi c~oes ou teoremas. O que entendemos por provar car a mais claro ao longo do curso.

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Veja, a seguir, alguns dos axiomas da Geometria plana, chamados axiomas de incidencia:

Axiomas de incidencia:

• Existem in nitos pontos no plano.

Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes) passa uma unica reta.

Dada uma reta, existem in nitos pontos pertencentes a ela, e in nitos pontos fora dela.

E correto a rmar que o plano e constitu do de pontos e que as retas s~ao subconjuntos de pontos do plano.

Axioma

Chama-se axioma ou postulado toda a rma c~ao aceita sem demonstra c~ao.

Usando a forma de representar utilizada na gura 3, podemos representar esses axiomas no papel. E claro que n~ao podemos desenhar in nitos pontos, mas, ao buscar colocar as id eias no papel, desenvolvemos nossa vis~ao geom etrica.

Para indicar que um ponto est a em uma reta, plano, etc., usaremos o s mbolo 2 (pertence). Assim a express~ao A 2 r signi ca que o ponto A pertence a reta r, ou est a na reta r. Nesse caso, diz-se tamb em que r passa pelo ponto A. A reta que passa pelos pontos A e B ser a denotada por ! AB.

Para indicar que uma reta est a contida em um plano, usaremos o s mbolo . Assim a express~ao r signi ca que a reta r est a contida no plano .

Fig. 6: A, B e C s~ao pontos n~ao-colineares.

O segundo axioma acima diz que, dados dois pontos distintos A e B, sempre existe uma ( unica) reta que passa pelos dois. Se forem dados tres pontos, ao inv es de dois, pode ser que n~ao exista uma reta que passe pelos tres, como e o caso dos pontos A, B e C na gura 6. Pontos A, B, C como tais s~ao chamados de pontos n~ao-colineares.

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