Geometria Básica - Volume 2

Geometria Básica - Volume 2

(Parte 1 de 10)

Objetivos • Determinar a area de um cırculo.

Pre-requisitos • Conceito de area.

• Polıgonos regulares e suas propriedades.

• Cırculos e suas propriedades.

• Semelhanca de triangulos.

Introducao

Nesta aula vamos determinar a area de um cırculo. Para isso, vamos aproximar o cırculo por polıgonos regulares inscritos e circunscritos.

Observe na figura 1 alguns polıgonos regulares inscritos em cırculos.

Note que quanto maior eon umero de lados do polıgono regular, maior ea regiao de dentro do cırculo coberta por ele.

Figura 1: Polıgonos inscritos.

Curiosidade

O problema de calcular a area de uma figura plana cuja fronteira nao ef ormada por segmentos de reta ea lgo mais complicado. Esse problema ocupou parte da mente de varios matematicos gregos; entre eles, podemos citar Eudoxio e Arquimedes. Ambos construıram um metodo para calcular areas de figuras planas, que consiste na aproximacao por polıgonos. A ideia de aproximacao nao fornece um valor exato, a menos que usemos uma “sequencia infinita de aproximacoes”. Essa e a primeira ideia do chamado “Calculo integral”.

Do mesmo modo, observe na figura 2 alguns polıgonos regulares circunscritos a uma cırculo. Note que, neste caso, quanto maior o numero de lados do polıgono regular, menor ea regiao coberta por ele e nao coberta pelo cırculo.

Figura 2: Polıgonos circunscritos.

Vamos designar por Γr um cırculo de raio r,p or Pn um polıgono regular inscrito de n lados e por Qn um polıgono regular circunscrito de n lados. Por simplicidade, denotaremos por A(F)a area de uma figura F.C omo Pn

Area do cırculo esta propriamente contido em Γr eΓ r esta propriamente contido em Qn, segue que para todo inteiro positivo n.A proxima proposicao diz que A(Pn)e A(Qn) podem ficar tao proximas quanto desejarmos. Como consequencia, a area de um cırculo pode ser obtida por aproximacao tanto por areas de polıgonos regulares inscritos como por areas de polıgonos regulares circunscritos.

Proposicao 1

A(Qn) − A(Pn) pode tornar-se tao pequeno quanto se queira. Mais precisamente, dado qualquer numero real positivo α, existe um inteiro positivo n

Sejam Pn = A1An e Qn = B1 ... Bn.P odemos supor que Pn e Qn

estao dispostos de modo que B1, A1 e O (o centro de Γr) sejam colineares e

A1 esteja entre B1 e O. Assim, os outros vertices de Pn e Qn estarao tambem alinhados, como representado na figura 3.

Como os triangulos OA1A2, OA2A3,, OAnA1 sao congruentes dois

Figura 3: Polıgonos Pn e Qn. a dois, segue que

Da mesma forma, como os triangulos OB1B2, OB2B3,, OBnB1 sao

congruentes dois a dois, segue que

Desse modo, basta descobrir a relacao que existe entre as areas dos triangulos OA1A2 e OB1B2 para comparar as areas dos polıgonos Pn e Qn.

Para estudar essa relacao, tracemos a bissetriz do angulo A1 OA2.S ejam M e N os pontos em que essa bissetriz corta, respectivamente, os segmentos

Figura 4: Proposicao1.

Os triangulos OMA2 e ONB2 sao semelhantes (por que?) e, assim,

obtemos m(OM)

De (3), tem-se

Subtraindo membro a membro as expressoes (5) e (6), segue que

Area do cırculo

Substituindo em (7), concluımos que

Eudoxio de Cnido. 408 - 355 a.C. Eudoxio viajou para Tarento (agora na Italia) onde ele estudou com Architas, um seguidor de Pitagoras. A duplicacao do cubo foi um dos problemas de interesse de Architas e, tambem, de Eudoxio. Ele tambem foi ensinado por Architas sobre teoria dos numeros e teoria da musica. Eudoxio estudou Medicina e Astronomia. Eudoxio teve uma contribuicao importante na teoria das proporcoes, onde ele criou uma definicao permitindo a comparacao entre segmentos de comprimentos irracionais de uma forma similar a que tratamos hoje em dia (“multiplicacao em cruz”). Consulte: http://w-groups.dcs. st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/Heron.html

Observando que nm(B1B2)e igual ao perımetro de (Qn), tem-se entao que para todo inteiro positivo n. O exercıcio 15 desta aula tem como objetivo ap rova de queo perımetro de qualquer polıgono regular circunscrito a um cırculo de raio r em enor que8 r. Logo, para todo inteiro positivo n.C omo m(A1A2)s et orna tao pequeno quanto se queira, bastando para isso tornar n bastante grande, entaoom esmo ocorre para a diferenca A(Qn) − A(Pn). Q.E.D.

A(Qn) − A(Pn), segue da proposicao1q ue A(Pn)e A(Qn)p odem ficar tao proximas de A(Γn) quanto desejarmos.

Consideremos agora dois cırculos concentricos, Γ e Γ′,c om raios r e r′, respectivamente. Como vimos na aula 14, se P eu m polıgono regular inscrito (ou circunscrito) em Γ e P′ e sua projecao radial em Γ′, vale a seguinte relacao entre suas areas:

Como as areas de Γ e Γ′ podem ser aproximadas pela area de polıgonos regulares inscritos em Γ e Γ′, respectivamente, e natural esperar que exista uma formula parecida para as areas dos cırculos Γ e Γ′. Esse eo conteudo da proxima proposicao.

Proposicao 2 As areas de dois cırculos Γ e Γ′,c om raios r e r′, respectivamente, satisfazem af ormula

Prova:

Como cırculos de mesmo raio sao congruentes, tendo portanto a mesma area, vamos fazer a prova para o caso em que Γ e Γ′ sao concentricos. Seja P um polıgono regular inscrito em Γ e Q um polıgono regular circunscrito aΓ . Sejam P′ e Q′ as projecoes radiais de P e Q, respectivamente, em Γ′. Sabemos que

Matematico e inventor grego, que escreveu importantes obras sobre Geometria plana e espacial, Aritmetica e Mecanica. Enunciou a Lei da Hidrostatica, o Princıpio de Arquimedes. Nasceu em Siracusa, Sicılia, e se educou em Alexandria, Egito. No campo da Matematica pura, antecipou-se a muitos dos descobrimentos da Ciencia Moderna, comooc alculo integral, com seus estudos de areas de figuras planas. Entre os trabalhos mais famosos de Arquimedes se encontra Am edida do cırculo,n o quale ncontra-se oc alculo do valor exato da medida do cırculo (o metodo consiste em inscrever e circunscrever cırculos em polıgonos regulares). Consulte: http: //w.aldeaeducativa.com/ http://www.nethistoria. com/bios/100/bios36.shtml e, entao,

Provamos assim que o numero real

)2 A(Γ′)e maior que a area de qualquer polıgono regular inscrito em Γ e menor que a area de qualquer polıgono regular circunscrito a Γ. Em particular, tem-se que

para todo inteiro positivo n, onde Pn e Qn sao os polıgonos regulares de n lados respectivamente inscrito e circunscrito em Γ. Mas (8) diz que o numero

A(Γ) et ambem maior que A(Pn) e menor que A(Qn), ∀n ∈ N.S egue que

Como A(Qn)−A(Pn) pode tornar-se tao pequeno quanto se queira pela

proposicao 1, conclui-se que | A(Γ) − ( r r′

Portanto

Q.E.D. Em vista da ultima proposicao, podemos estimar a area de qualquer cırculo tomando como base um cırculo de mesmo centro com raio igual a 1. Assim, se o raio de Γ e r, a proposicao nos diz que a area de Γ

Area do cırculo vale r2 vezes a area de um cırculo de raio 1. Ora, todos os cırculos de raio 1 tem a mesma area, que eu mn umero real que chamaremos pela letra grega π (le-se pi). Obtemos assim a formula da area de um cırculo Γr de raio r:

Veremos na proximaa ulaq ue o numero π tambem representa a razao entre o comprimento do cırculo e o dobro de seu raio.

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