Geometria Básica - Volume 2

Geometria Básica - Volume 2

(Parte 3 de 10)

Sejam A′ e B′ os pontos de tangencia entre os cırculos e A1A2 e B1B2, respectivamente (figura 2).

B' 180

Bn O' n

n A′ OA2.U se o exercıcio 19 para concluir que

m(A′A2). Agora prove que o perımetro de B1B2Bn e

Informacoes sobre a proxima aula Na proxima aula, calcularemos o comprimento do cırculo.

Aula 15 – Comprimento do cırculo Objetivos

• Definir e determinar o comprimento do cırculo.

Pre-requisitos

• Cırculos e suas propriedades. • Polıgonos regulares inscritos e circunscritos a cırculos.

Introducao

Oc alculo do comprimento do cırculo foi um dos problemas que mais intrigaram os matematicos da Antiguidade. Alguns deles dedicaram toda a vida a produzir estimativas para o valor de π,q ue esta, como veremos, intimamente relacionado ao problema.

Nosso objetivo nesta aula e definir e calcular o comprimento do cırculo.

Note que e preciso definir o que seja comprimento para um cırculo, uma vez que so temos definido comprimento para segmentos de reta (atraves de comparacao comu ms egmento padrao). A ideia intuitiva e que o comprimento do cırculo e o do segmento que obterıamos se pudessemos “cortar” o cırculo num ponto qualquer e “desentorta-lo”. Nosso metodo, porem, sera outro. Vamos seguir um caminho parecido com o da ultima aula, tentando aproximar o comprimento do cırculo pelo perımetro de polıgonos regulares inscritos e circunscritos a ele. Para isso, vamos comecar por provar a proposicao a seguir, que relaciona o perımetro de polıgonos inscritos e circunscritos ao mesmo cırculo.

Proposicao 3 Op erımetro de qualquer polıgonoi nscrito emu mc ırculo Γ em enor que o perımetro de qualquer polıgono circunscrito a Γ.

Prova:

Sejam P um polıgono inscrito e Q um polıgono circunscrito ao cırculo Γ.

Nosso objetivo ep rovar que l(P) <l (Q), onde l(P)e l(Q)s ao os perımetros de P e Q, respectivamente. Note que os polıgonos P e Q nao sao supostos regulares, ou seja, devemos considerar que seus lados e angulos podem nao ser todos congruentes. Em particular, nao podemos assumir que o centro O de Γ seja um ponto do interior de P.P orem, basta provar a proposicao no caso em que O e um ponto interior de P. 21 CEDER J

Comprimento do cırculo

De fato, se O nao for um ponto interior de P, tomamos o polıgono inscrito P1 obtido de P acrescentando um novo vertice, como na figura 23.

Figura 23: Op olıgono A1A2A3A4 tem perımetro maior que P.

Na figura 23, o lado A1A2 do polıgono P e substituıdo por A1M e maior que o de P.D aı, se fizermos a prova de que l(P1) <l (Q), fica provado tambem que l(P) <l (Q).

Levando em conta esse fato, podemos assumir que O e um ponto interior de P (para evitar usar o nome P1).

Seja AB um lado qualquer de P es ejam A′ = −→OA∩Q e B′ =

como na figura 24.

Figura 24: Proposicao 3.

Como m(AB) ≤ m(A′B′)e m(A′B′)e menor ou igual que o trecho do polıgono Q contidon oangulo AOB,s egue que m(AB)e menor ou igual que o trecho de Q contido em AOB.

De fato, pode-se provar que m(AB)e menor que o trcho de Q contido em A OB (veja o exercıcio 7). Fazendo isso com cada lado de P,c oncluımos que l(P) <l (Q).

Q.E.D. CEDER J 2

Na prova da Proposicao 3, vimos que o perımetro de um polıgono inscrito aumenta quando acrescentamos a ele novos vertices. Para polıgonos circunscritos, ocorre o contrario: ao acrescentarmos novos vertices a um polıgono circunscrito, seu perımetro diminui. Para provar essa afirmacao, seja Q um polıgono circunscrito a um cırculo Γ e sejam AB e BC lados consecutivos de Q.

Sejam R = AB ∩Γe S = BC ∩Γ. Tracemos uma tangente a Γ em um ponto X qualquer do arco RS, no semiplano relativo a ←→ RS que contem B.

Sejam Y e Z os pontos em que essa tangente intersecta respectivamente AB e BC, como na figura 25.

R Figura 25: Acrescentando vertices ao polıgono Q.

Como m(YZ ) <m (YB )+ m(BZ), vemos que o perımetro do polıgono circunscrito obtido a partir de Q trocando-se os lados AB e BC por AY , YZ e ZC em enor que o perımetro de Q.

Definindo o comprimento de um cırculo

Nos cursos de Calculo, aprendemos a definir e a calcular o comprimento de curvas. Noc asop articulare mq ue ac urva eu m cırculo, podemos definir e calcular o comprimento de modo intuitivo, que descreveremos a seguir.

Seja Γ um cırculo e sejam P e Q polıgonos respectivamente inscrito e circunscrito em Γ. Se AB e um lado qualquer de P, nossa intuicao diz que m(AB)e menor que o comprimento do arco AB (figura 26).

Comprimento do cırculo

Assim, intuitivamente, l(P) <l (Γ). Ainda intuitivamente, se R e S sao pontos consecutivos de tangencia entre Q eΓ ,t emos que m(RB)+ m(BS) e maior que o comprimento do arco RS, donde l(Q) >l (Γ). Juntando esses dois fatos podemos dizer que, intuitivamente, para qualquer polıgono P inscrito em Γ, e para qualquer polıgono Q circunscrito a Γ. Mostraremos a seguir que a diferenca entre o perımetro de um polıgono circunscrito e o perımetro de um polıgono inscrito em Γ pode ser muito pequena, tao pequena quanto se deseje, bastando para isso tomar polıgonos com o numero de lados bastante grande. Como consequencia disso, existe um unico numero real que e maior que o perımetro de qualquer polıgono inscrito e menor que o perımetro de qualquer polıgono circunscrito a Γ (a prova desse fato foge do objetivo desse curso). Esse numero ed efinido como o comprimento de Γ. Vamos fazer essa prova usando polıgonos regulares inscritos e circunscritos.

Proposicao 4

Sejam Pn e Qn polıgonos regulares de n lados, respectivamente inscrito e circunscrito ao cırculo Γ de raio r e centro O.E ntao, am edida que n aumenta, a diferenca entre os perımetros de Qn e Pn diminui, podendo tornar-se tao pequena quanto se deseje.

Prova:

Sejam Pn = A1A2An e Qn = B1B2 ... Bn. Sabemos que l(Qn)=

nm(B1B2)e l(Pn)= nm(A1A2). De acordo com a equacao 4d a ula1 5, r , onde M eop ontom edio de A1A2. Dessas igualdades concluımos que

Comoop erımetro de Qn em enor que 8r (veja ultimo exercıcio da aula anterior), segue que

Note que a medida do lado A1A2 do polıgono inscrito Pn et ao menor quanto maior for o numero n de lados de Pn. Tomando n bastante grande, am edida de A1A2 (e dos outros lados de Pn) pode tornar-se tao pequena quanto se deseje. O mesmo ocorre, entao, para a diferenca l(Qn) − l(Pn), como querıamos demonstrar.

De acordo com a proposicao acima, vemos que o comprimento de um cırculo pode ser aproximado tanto pelo perımetro de polıgonos regulares Pn nele inscritos como pelo perımetro de polıgonos regulares Qn a ele circunscritos. De fato, como l(Pn) <l (Γ) <l (Qn), tem-se l(Γ)−l(Pn) <l (Qn)−l(Pn) e l(Qn) − l(Γ) <l (Qn) − l(Pn). Logo, l(Γ) − l(Pn)e l(Qn) − l(Γ) (que sao numeros positivos) podem se tornar tao pequenos quanto se deseje.

mundo das ideiasSeguindo o raciocınio anterior, porem, seremos capazes

Atea qui estivemos definindo o que vem a ser o comprimento de um cırculo. Note que da forma que tınhamos definido comprimento, por comparacao com um segmento padrao, podıamos apenas calcula-lo para segmentos de reta. O processo de “cortar” o cırculo e “desentorta-lo” para transforma-lo em um segmento passıvel de medicao nao funciona bem no de calcular o comprimento do cırculo, que ed adon a proposicao a seguir.

Proposicao 5 O comprimento de um cırculo de raio r e2 πr.

Prova:

Queremos mostrar que l(Γ) = 2πr. Suponha que l(Γ) < 2πr. Mostraremos que isso nos leva a uma contradicao. De l(Γ) < 2πr temos l(Γ)r

Mas a proposicao 7 daa ula1 5 implica que aarea de um cırculo pode ser aproximadap elaarea de polıgonos regulares inscritos, ou seja, existe um polıgono regular P inscrito em Γ tal que

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