Geometria Básica - Volume 2

Geometria Básica - Volume 2

(Parte 4 de 10)

Ap roposicao6d a aula1 4 diz quea area de P e dada por A(P)= l(P)a onde a eoa potema de P. Substituindo na desigualdade acima, temos

Comprimento do cırculo

Comooa potema de um polıgono regular inscrito em enor que o raio r, conclui-se que l(P) >l (Γ), o que contradiz a desigualdade (9). Da mesma forma, supondo l(Γ) > 2πr,p oderıamos escolher um polıgono regular Q circunscrito a Γ tal que l(Q)a

Mas o apotema a de Q e igual a r.E ntao l(Q) <l (Γ), o que contradiz a definicao de comprimento de cırculo. Como nao podemos ter l(Γ) < 2πr nem l(Γ) > 2πr,e ntao l(Γ) = 2πr.

Segue da proposicao acima o seguinte resultado:

l(Γ)/2r = π, ou seja, o comprimento de um cırculo dividido pelo seu diametro nao depende do cırculo, e esse valor constante e precisamente a area de um cırculo de raio 1.

Vamos obter uma estimativa para o valor de π, usando um quadrado inscrito e um quadrado circunscrito a um cırculo Γ de raio 1. Provaremos que 2 <π < 4.

Com efeito, seja Γ um cırculo de raio 1. Por definicao, π = A(Γ). Considere os quadrados inscrito e circunscrito como na figura 27.

Figura 27: Proposicao 5.

O quadrado inscrito tem lado medindo √ 2, pelo teorema de Pitagoras.

Entao sua area vale 2. O quadrado circunscrito tem lado medindo 2, portanto sua area vale 4. Como a area de Γ e maior que a area do quadrado inscrito em enor que a area do quadrado circunscrito, conclui-se que 2 <π < 4.

Podemos obter estimativas melhores para π utilizando outros polıgonos regulares. Por exemplo, usando aproximacoes por hexagonos regulares inscrito e circunscrito, pode-se provar que

(veja exercıcio 8 desta aula).

Resumo

Nesta aula voce aprendeu...

• O que significa comprimento de um cırculo. • Que o comprimento de um cırculo de raio r e2 πr.

Exercıcios

1. A figura 28 mostra duas roldanas e uma correia que transmite o movimento de rotacao de uma roldana para a outra.

Se os raios das roldanas valem 30cm e8 cm ead istancia entre seus centros e igual a 44cm, determine o comprimento da correia.

2. A figura 29 mostra dois cırculos com centro em O.

Se m(A′)= 12cm eo sa rcos AB e A′B′ medem, respectivamente,

10πcm e6 πcm, determine a medida do angulo A OB.

Comprimento do cırculo

3. Na figura 30, AB el adod oh exagono regular inscrito, CD el adod o triangulo equilatero inscrito e AB//CD.

Se or aiod o cırculo e6 cm, determine o comprimento do menor arco determinado pelos pontos B e D.

4. (V. UNIF. RS - 1980) A razao entre os comprimentos das cırculos circunscrito e inscrito a um quadrado e:

(a) 1

5. (FATEC-1988) Um hexagono regular, de lado 3cm,e stai nscrito em um cırculo. Nesse cırculo, um arco de medida 100o tem comprimento:

(a) 3

6 πc m (c) πc m (d) 5

6. (U.C.PR - 1982) Quando o comprimento de um cırculo aumenta de 10m para 15m, o raio aumenta:

(a) 5

7. Seja Γ um cırculo centrado em O es ejam P e Q polıgonos inscrito e circunscrito, respectivamente. Se A e B sao vertices consecutivos de P, prove que m(AB)em enor queo pedaco de Q contido no angulo A OB.

8. Aproximando a area de um cırculo por hexagonos regulares inscrito e

circunscrito, prove que

9. Prove que π> 3. CEDER J 28

10. Na figura 31, ABCD e um quadrado de 20cm de lado e os arcos estao centrados nos pontos A,B,C e D. Calcule o comprimento da fronteira da regiao hachurada.

1. (UFF, 1997) A figura 32 representa dois cırculos C e C′ de mesmo raio r.

Se MN e o lado comum de hexagonos regulares inscritos em C e C′, entao o perımetro da regiao sombreada e:

(a) 10πr

3 (b) πr

3 (c) 2πr

3 (d) 4πr (e) 2πr

Informacoes sobre a proxima aula

Na proxima aula, comecaremos o estudo do ramo da Matematica que trata das relacoes entre os lados e angulos de um triangulo: a Trigonometria.

Introducao a trigonometria MODULO 2 - AULA 16

Aula 16–I ntroducao a trigonometria

Objetivos • Introduzir os conceitos basicos de trigonometria.

• Apresentar as principais relacoes trigonometricas.

Pre-requisitos • Angulos.

(Parte 4 de 10)

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