Geometria Básica - Volume 2

Geometria Básica - Volume 2

(Parte 5 de 10)

• Cırculos.

• Semelhanca de triangulos.

Introducao

Trigonometria e o ramo da Matematica que trata das relacoes entre os lados e angulos de um triangulo. A Trigonometria plana lida com figuras geometricas pertencentes a um unico plano, e a Trigonometria esferica trata dos triangulos que sao uma secao da superfıcie de uma esfera. A Trigonometria comecou como uma Matematica eminentemente pratica, para determinar distancias que nao podiam ser medidas diretamente. Serviu a navegacao, a agrimensura e a astronomia. Ao lidar com a determinacao de pontos e distancias em tres dimensoes, a Trigonometria esferica ampliou sua aplicacao aFısica, aQ uımica e a quase todos os ramos da Engenharia, em especial ao estudo de fenomenos periodicos como a vibracao do som e o fluxo de corrente alternada. A Trigonometria comecou com as civilizacoes babilonica e gıpcia e desenvolveu-se na Antiguidade gracas aos gregos e indianos. A partir do seculo VIII d.C., astronomos islamicos aperfeicoaram as descobertas gregas e indianas, notadamente em relacao as funcoes trigonometricas. A Trigonometria moderna comecou com o trabalho de matematicos no Ocidente a partir do seculo XV. A invencao dos logaritmos pelo escoces John Napier e do calculo diferencial e integral por Isaac Newton e Leibniz auxiliou os calculos trigonometricos.

Consulte: http://educar.sc.usp.br/ licenciatura/1999

Introducao a trigonometria

Seno, cosseno e tangente de um angulo agudo Consideremos um angulo agudo A OB, como na figura 3.

Figura 3: Angulo A OB

Escolhamos na semi-reta −−→

OB pontos B1 e B2.S ejam A1 e A2 pontos da

OA de forma que os triangulos OB1A1 e OB2A2 sejam retangulos, com angulos retos em B1 e B2, como na figura 34.

0 A B

Como por construcao OA1B1 e OA2B2 sao triangulos semelhantes, po- demos deduzir que

Ai deia genial de Hipparchos

Os problemas de triangulos mais comuns e importantes sao aqueles em que, a partir de alguns lados e angulos conhecidos, queremos achar os demais lados e angulos. Esses problemas trazem o inconveniente de que as relacoes entre esses elementos usualmente nao sao algebricas. Por exemplo, no caso de um triangulo qualquer a relacao entre os lados do mesmo nao e algebrica, a nao ser no caso especial de triangulos retangulos (para os quais vale o Teorema de

Pitagoras). Contudo, introduzindo a funcao trigonometrica cosseno, podemos facilmente achar relacoes algebricas entre os lados e os senos dos angulos do triangulo, conforme nos diz a lei dos cossenos. Com a introducao de funcoes trigonometricas, Hipparchos nao so viabilizou achar relacoes entre lados e angulos de triangulos, mas tornou algebricas essas relacoes. Esse artifıcio de calculo temu mp reco: e preciso construir tabelas das funcoes trigonometricas.

Consulte: http: //w.educ.fc.ul.pt/icm/ icm2000/icm26/indice.htm

Escolhendo qualquer outro par de pontos A3 e B3 pelo mesmo processo, ep ossıvel verificar que

De fato, a razao entre essas medidas depende apenas do angulo A OB, ed o fato de que OA1B1, OA2B2 e OA3B3 sao triangulos semelhantes.

Introducao a trigonometria MODULO 2 - AULA 16

Chamamos seno do angulo A OB (indicado por senA OB)ar azao m(A1B1) m(OA1) .T ambem definimos o cosseno do angulo A OB (indicado por cosA OB)e a tangente do angulo A OB (indicado por tg A OB)c omo segue:

Em geral, em um triangulo retangulo ABC com angulo reto no vertice

B, cada um dos angulos restantes (agudos) tem seno igual ar azao entre o cateto oposto a ele e a hipotenusa, o cosseno igual ar azao entre o cateto adjacente e a hipotenusa, e a tangente igual ar azao entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Veja a figura 35.

Note que dois angulos congruentes tem o mesmo seno, o mesmo cosseno e a mesma tangente (verifique!). Em vista disso, como angulos congruentes tem a mesma medida, a cada medida de um angulo, associamos um valor para o seno, um valor para o cosseno e um valor para a tangente.

O seno, o cosseno e a tangente assim definidos sao conhecidos pelos gregos desde alguns seculos antes de Cristo e sao chamados funcoes trigonometricas do angulo agudo. Atraves dessas funcoes, ep ossıvel realizar medicoes de distancias imensas, como o diametro da Terra, ou a distancia entre a Terra e a Lua. Por exemplo, vamos descrever um processo conhecido desde os gregos de antes de Cristo para medir o raio R da Terra usando o conceito de seno.

Imaginemos que o centro da Terra eu mp onto quec hamaremos de O. Do ponto B no alto de uma torre de altura h conhecida, mede-se o angulo

Introducao a trigonometria θ que a semi-reta vertical −−→ BO faz com a semi-reta −−→ BC, onde C eu m ponto na linha do horizonte. Se a regiao onde se encontra a torre for uma planıcie, sem montanhas no horizonte, entao qualquer ponto C assim descrito levara ao mesmo resultado. Note que, por C estar na linha do horizonte, a semi-reta−−→ BC e tangente a terra, e podemos tracar um esquema como na figura 36.

h (alturadatorre)

terra

Figura 36: Calculo do raio da Terra.

Como vemos na figura 36, OC et ambem um raio, e e, portanto, perpen- dicular a semi-reta −−→ BC. Temos entao que o triangulo BOC assim construıdo er etangulo, com angulo reto no vertice C.D aı,

donde concluımos que Rsenθ + hsenθ = R,o u seja, que

R= hsenθ

Ora, a altura h da torre e conhecida, e o seno do angulo θ pode ser calculado utilizando-se um triangulo retangulo qualquer com um dos angulos igual a θ (lembre-se de que o valor de senθ nao depende das medidas dos lados do triangulo retangulo, mas apenas da razao entre elas). Construindo um triangulo assim, com lados menores e passıveis de serem medidos, obtemos umae stimativad or aio da Terra. E claro que essas medicoes envolvem erros, e os valores obtidos sao apenas aproximados, mas o metodo e simples de ser executado.

Veremos na secao de exercıcios algumas outras aplicacoes das funcoes trigonometricas dos angulos agudos.

Hipparchos introduziu, na verdade, uma unica funcao trigonometrica: a funcao corda. Dado um cırculo de raio R, a funcao corda associaac adaangulo α de vertice no centro do cırculo o valor da medida da respectiva corda geometrica:

Podemos observar que essa funcao e muito parecida com a funcao seno. Com efeito, e imediato vermos que:

corda(α)= 2Rsen

Consulte: http: //w.educ.fc.ul.pt/icm/ icm2000/icm26/indice.htm

Introducao a trigonometria MODULO 2 - AULA 16

Relacoes entre as funcoes trigonometricas dos angulos agudos

A partir das definicoes dadas na secao anterior, podemos obter facilmente relacoes envolvendo as funcoes trigonometricas, assim como determinar os seus valores para alguns angulos. Para determinar algumas relacoes, considere um triangulo retangulo ABC,c om angulo reto em B, cujas medidas estao indicadas na figura 37.

a b

Figura 37: Relacoes trigonometricas no triangulo retangulo.

Nesse caso, podemos observar que senθ cosθ = b/a

c = tgθ

onde usamos o Teorema de Pitagoras para concluir que a2 = b2 + c2.

Daı tiramos duas relacoes muito importantes entre as funcoes seno, cosseno e tangente:

tgθ = senθ cosθ e

Esta ultima e chamada relacao fundamental da Trigonometria.

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