Geometria Básica - Volume 2

Geometria Básica - Volume 2

(Parte 6 de 10)

Como o seno, o cosseno e a tangente de um angulo agudo sao numeros positivos, as duas equacoes acima nos dizem que se um desses valores for conhecido para um angulo θ, podemos determinar os outros dois sem precisar para isso saber exatamente o valor do angulo θ. Por exemplo, se tivermos senθ =1 /2, a segunda equacao (a relacao fundamental) nos daq ue cos2θ =

Introducao a trigonometria

Decorre da definicao de seno e cosseno que, se um dado triangulo retangulo tem um angulo agudo θ e sua hipotenusa mede a,e ntao o cateto oposto a θ mede asenθ e o cateto adjacente a θ mede acosθ.V eja a figura 38.

asen acos

Figura 38: Determinacao dos catetos, dados um angulo agudo e a hipotenusa.

Se chamarmos α ao outro angulo agudo do triangulo, teremos que α + θ =9 0o, o cateto oposto a α (que e adjacente a θ)m ede asenα e o cateto adjacente a α (que eo posto a θ)m ede acosα.D aı tiramos as relacoes cosα = senθ e senα = cosθ. Chamemos de complementares dois angulos agudos cuja soma e9 0o. Enunciamos entao a seguinte proposicao, que contem esses fatos:

Proposicao 6 Se dois angulos α e θ sao complementares, entao senα = cosθ e vice-versa.

Passaremos agora ao calculo do seno, cosseno e tangente para alguns angulos. Faremos em primeiro lugar o caso do angulo de 45o.

Considere um triangulo retangulo ABC,i sosceles, de catetos AB e AC, ambos com medida 1, como na figura 39.

Como Hipparchos construiu uma tabela de valores da funcao corda?

Sua tabela fornecia valores para a corda, variando de 7,5o em 7,5o, desde zero graus ate 180 graus. Para conseguir isso, ele baseou-se em resultados equivalentes as formulas dos enod em eio angulo ed os enod as oma de dois angulos. Com isso ele calculou sucessivamente corda(60o), corda(30o), corda(15o), corda(7, 5o)e assim por diante, atec riar a tabela inteira.

Consulte: http: //w.educ.fc.ul.pt/icm/ icm2000/icm26/indice.htm

Figura 39: Seno, cosseno e tangente do angulo de 45o. CEDER J 36

Introducao a trigonometria MODULO 2 - AULA 16

Como ABC ei sosceles e A er eto, temos que B = C =4 5o.A lem disso, pelo Teorema de Pitagoras, m(BC)= √ 2. Daıc oncluımos que

Passamos agora ao caso dos angulos de 30o e6 0o: para isso considere um triangulo equilatero ABC com medidas dos lados iguais a 1. Como ABC tambem e quiangulo, temos que seus angulos internos tem medida igual a 60o. Como na figura 40, tracemos a altura AD (que tambem em ediana, e tambem divide ao meio o angulo A,p ois ABC e equilatero).

Figura 40: Seno, cosseno e tangente dos angulos de 30o e 60o.

Lei dos Senos e Lei do Cosseno

Enunciaremos e provaremos nesta secao dois importantes resultados, muito uteis em Geometria. Sao teoremas que falam das relacoes entre as medidas dos angulos e dos lados de um triangulo qualquer. Veremos por enquanto a Lei dos Senos apenas para o caso dos triangulos acutangulos e a Lei do Cosseno para um angulo agudo. Faremos depois a generalizacao para triangulos quaisquer (ver exercıcios da aula 17).

Introducao a trigonometria

Proposicao 7 (Lei dos Senos) Seja ABC um triangulo acutangulo, com m(AC)= b, m(AB)= c e m(BC)= a.E ntao tem-se sen A sen B sen C

Prova:

Consideremos um triangulo acutangulo ABC como no enunciado, e seja

Γo cırculo que contem os seus vertices, cujos centro e raio chamaremos de O e r, respectivamente. Como na figura 41, tracemos os segmentos OB e OC, formando o triangulo BOC.N ote que BOC ei sosceles de base BC,e que B OC =2 B AC,p ois B OC e central, B AC e inscrito, e ambos subentendem o mesmo arco. Tracemos tambem a altura OD relativa ao lado BC do triangulo BOC.

b c

Figura 41: Lei dos Senos.

Voce sabia que...

Claudius Ptolemaios 85-165 d.C.

Um dos mais influentes astronomos e geografos gregos do seu tempo,

Ptolemaios propos a teoria geocentrica na forma que prevaleceu por 1400 anos. Ptolomaios (ou Ptolomeu) usou modelos geometricos para prever as posicoes do sol, da lua, dos planetas, usando combinacoes de movimentos circulares conhecidos como epiciclos.

Ele introduziu metodos trigonometricos baseados na funcao corda Crd e, usando formulas analogas as formulas para o seno da soma, seno da diferenca e seno da metade do angulo, criou uma tabela para funcao corda em intervalos de 1/2g rau.

Consulte: http://w-groups.dcs. st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/Ptolemy. html

Usando os triangulos BOA e AOC, da mesma maneira concluımos que b sen B

=2 r e c sen C =2 r, e, portanto, as tres razoes sao iguais.

Proposicao 8 (Lei do Cosseno) Seja ABC um triangulo onde A e C sao agudos, com m(AC)= b, m(AB)= c e m(BC)= a.E ntao tem-se

Introducao a trigonometria MODULO 2 - AULA 16

Prova:

Consideremos um triangulo ABC como no enunciado. Tracemos BD, a altura relativa ao lado AC, e suponhamos que sua medida seja h.V eja a figura 42.

a b

Figura 42: Lei do Cosseno.

Observe, com o auxılio da figura, que valem as seguintes igualdades: h = csen A, m(AD)= ccos A e m(CD)= b − ccos A. Usando o Teorema de Pitagoras no triangulo retangulo DBC,o btemos

pela relacao fundamental. Q.E.D.

A tabela mais exata de Ptolemaios C., 150 d.C. Essa tabela mostra os valores da corda (dada por Hipparchos) de meio em meio grau, desde zero ate 180 graus. Sua estrategia de calculo e, tambem, um aperfeicoamento da de Hipparchos: usando o hexagono e o pentagono, Ptolemaios C. obteve a corda de 60 e 72 graus. Usandoae xpressao da corda da diferenca, obteve a corda de 72o − 60o =1 2o e, trabalhando como Hipparchos, obteve sucessivamente: corda(6o),c orda(3o),c orda(1, 5o) e corda(0, 75o). Consulte: http: //w.educ.fc.ul.pt/icm/ icm2000/icm26/indice.htm

Resumo

Nesta aula voce aprendeu... • As definicoes de seno, cosseno e tangente para angulos agudos.

• Ar elacao fundamental da Trigonometria.

• A Lei do Cosseno para um angulo agudo.

• A Lei dos Senos para triangulos acutangulos.

Exercıcios

1. Sabendo que θ eu mangulo agudo que satisfaz senθ = 3

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