Geometria Básica - Volume 2

Geometria Básica - Volume 2

(Parte 8 de 10)

23. (UFF,1995) O trapezio MNP Q da figura 41 esta inscrito emu mcırculo de raio1e MQ contem o centro O.

b c

As ua area vale:

Informacoes sobre a proxima aula

Na proxima aula definiremos as extensoes das funcoes trigonometricas para outros tipos de angulo, como o reto e o obtuso. As Leis dos Senos e do Cosseno poderao ser entao estendidas para quaisquer triangulos. Veremos tambem uma outra unidade de medida de arcos e angulos: o radiano.

Funcoes trigonometricas MODULO 2 - AULA 17

Aula 17 – Funcoes trigonometricas

Objetivos

• Definir o radiano. • Estender as funcoes trigonometricas para angulos obtusos

Pre-requisitos

• Definicoes das funcoes trigonometricas usando o triangulo retangulo. • Teorema de Pitagoras.

Introducao

Na aula 15, vimos que o comprimento de um cırculo de raio r e2 πr, onde π e aproximadamente 3,14159265. Intuitivamente isso significa que, se quisessemos medir o comprimento do cırculo usando como unidade de medida seu raio, obterıamos 2π como resultado da medida. Essa interpretacao leva a ideia natural de medir arcos de cırculo usando como unidade de medida seus raios. Por exemplo, um arco de cırculo subentendido por um angulo central raso (um semicırculo) mede π vezes seu raio, enquanto um arco subentendido por um angulo central reto mede π/2 vezes seu raio, pois representa um quarto do total. Motivados por essas observacoes, vamos definir uma unidade de medida de arcos e angulos que sera bastante utilizada: o radiano.

Or adiano

Considere um cırculo de centro O er aio r.S eja A OB um angulo central que subentende o arco AB , como mostra a figura 53.

B o

Figura 53: A OB eu m angulo central. 47 CEDER J

Funcoes trigonometricas

Dizemos que o angulo A OB mede 1 radiano (indicado por 1rad) quando o comprimento do arco A OB e igual ao raio, isto e, a razao entre o compri- mento do arco AB e o comprimento do cırculo e1 .

Observe que ao considerarmos um outro cırculo, tambem de centro O, er aio r′ (veja figura54), podemos provar que a razao entre o comprimento do arco A′B′ e r′ e igual ar azao entre o comprimento do arco AB e r e, portanto, igual a 1.

B o

Isso mostra que a definicao de radiano nao depende do raio do cırculo considerado.

Dizemos tambem que o arco AB mede 1 rad.

Para transformar em graus, uma medida dada em radianos, ou viceversa, construımos a seguinte regra de tres:

Medida do arco em Medida do arco em rad graus π ←→ 180 x ←→ θ

1) Transforme π

3 rad em graus

Solucao:

Construımos a regra de tres:

Medida do arco em Medida do arco em rad graus π ←→ 180

Funcoes trigonometricas MODULO 2 - AULA 17

2) Transforme 45graus em radianos

Solucao:

Construımos a regra de tres:

Medida do arco em Medida do arco em rad graus π ←→ 180 x ←→ 45

3) Transforme 1rad em graus

Solucao:

Construımos a regra de tres:

Medida do arco em Medida do arco em rad graus π ←→ 180 1 ←→ θ

Na Bıblia, em I Reis 7:23, temos o seguinte versıculo: “Fez tambem o mar de fundicao, redondo, de dez covados de uma borda atea outra borda, e de cinco de altura; e um fio de trinta covados eraam edidad es ua circunferencia.” Om esmo versıculo pode ser encontrado em I Cronicas 4:2. Eles se referem a uma das especificacoes do templo de Salomao, construıdo por volta do ano 950 a.C. Podemos observar nesses versos que o valor de π foi considerado igual a 3. Esse valor esta longe do valor que temos hoje em dia. Para os egıpcios e mesopotamios, o valor de π eraa lgop roximo de 25/8= 3,125. Op rimeiro calculo teorico parece ter sido feito por Arquimedes. Ele obteve a aproximacao 23/71 <π < 2/7. http: //w-groups.dcs.st-and. ac.uk/~history/HistTopics

Extensoes das funcoes trigonometricas

Como foram definidas na aula 16, as funcoes trigonometricas seno, cosseno e tangente sao calculadas para angulos agudos, ou seja, com medida entre 0o e9 0o. Considerando os angulos medidos em radianos, podemos dizer que a cada medida de angulo entre 0 e π/2 corresponde um valor de seno, um valor de cosseno e um valor de tangente. Nesta secao, vamos estender essas funcoes para angulos entre 0 e π radianos, pois, queremos aplicar a Trigonometria para resolver problemas envolvendo tambem angulos obtusos.

Considere um semicırculo de centro O ed iametro AB.A cada ponto C do semicırculo corresponde o angulo A OC, cuja medida varia entre O e πr ad. COnsidere no mesmo semiplano que contem o semicırculo, a semi-reta−−→ OD perpendicular a AB (veja figura 5).

Funcoes trigonometricas

Figura 5: A cada ponto C corresponde o angulo A OC.

Sejam E e F os pes das perpendiculares baixadas de C as retas ←→

AB e←→ OD, respectivamente (veja figura 56).

Figura 56: E e F sao os pes das perpendiculares baixadas de C. Quando A OC e agudo,

Quando A OC e obtuso, o ponto E esta entre O e B (veja figura 57).

Figura 57: Seno e cosseno de angulo obtuso. Nesse caso, definimos

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