Geometria Básica - Volume 2

Geometria Básica - Volume 2

(Parte 9 de 10)

No caso em que a medida de A OC e zero ou π

pode ser usada para definir senA OC e cosA OC.

Funcoes trigonometricas MODULO 2 - AULA 17

Obtemos,

Quandoam edida de A OC e πr ad(180o), a formula (I) pode ser usada para definir senA OC e cosA OC.O btemos,

Definimos

Note que tg A OC nao esta definida quando A OC e reto, pois, nesse caso, cosA OC =0 .

Observe que essas definicoes nao dependem dam edida dor aiod os emicırculo considerado. Alem disso, como dois angulos congruentes tem a mesma medida, e o valor de cada funcao trigonometrica e o mesmop arao s dois (verifique!) usamos a notacao sen(θr ad), cos(θr ad)e tg(θr ad) quando nos referirmos ao seno, cosseno e tangete de um angulo cuja medida e θr ad.

Por exemplo, se A OC mede π

2 ,p ois

Ar elacao fundamental foi provada no caso em que θ e agudo (veja aula 16). Essa relacao tambem ev alida quando θ e obtuso (verifique!).

Funcoes trigonometricas

Seno, cosseno e tangente do angulo suplementar

Nesta secao obteremos a relacao entre o seno, o cosseno e a tangente de um angulo e o seno, o cosseno e a tangente de seu suplementar. Para isso, considere um angulo agudo A OC de medida α, como na figura 58.

Figura 58: A OC ea gudo e A OC′ eo btuso.

Seja C′ op onto do semicırculo de modo que ←−→C′C seja paralela a

Os angulos A OC e B OC′ sao congruentes (verifique!). Logo, a medida de

A OC1e m radianos e π − α.S eja F ai ntersecao entre C′ e −−→ OD es ejam E e E′ os pes das perpendiculares a ←→ AB baixadas de C e C′, respectivamente

(veja figura 59).

Figura 59: A OC ea gudo e B OC′ sao congruentes. Como OCE ≡ OC′E′,t emos

Temos, tambem,

Segue que

Funcoes trigonometricas MODULO 2 - AULA 17

Relacao entre Musica e Trigonometria

Se tomarmos uma corda de violao, de 60 cm de comprimento, distendida ao maximo, e a deslocarmos de sua posicao inicial, um som, num determinado tom, serae mitido.

Ot om e a medida do grau de elevacao ou abaixamento do som de um instrumento.

Suponhamos, agora, que soam etaded ac orda (30c m) vibre. Um novo tom sera ouvido uma oitava harmonica acima do primeiro. Quando so2 /3 da corda vibrarem (isto e, 40 cm), o tom sera uma quinta harmonica acima do primeiro. (O nome quinta harmonica e devido aof atod e que an ota representativa desse tom sea chaa2e spacos e tres linhas acima, na pauta musical, do tom inicial, perfazendo um total de cinco espacos-linhas. No caso da oitava acima, temos que a sua nota representativa se encontra a 8 espacos-linhas da nota original.)

Se tomarmos uma corda cujo comprimento e o dobro da primeira (isto e, 120 cm) e a fizermos vibrar, o tom emitido sera uma oitava harmonica abaixo do inicial.

Embora, certamente, nao tenham sido os pitagoricos os primeiros a observar que a vibracao de uma corda tensionada e capaz de produzir variados sons, a eles devemos a primeira teoria sobre o relacionamento entre a Musica eaM atematica.

A descoberta do fato de que ep ossıvel abaixar ou aumentar um tom inicial, aumentando ou diminuindo o comprimento da corda vibrante, ed evida aP itagoras.

A importancia desses fatos, para Pitagoras, residia em que os novos tons eram relacionados com o original por meio de fracoes, confirmandose, assim, a sua teoria de que tudo no Universo estaria relacionado com os numeros naturais.

Pitagoras elaborou sua teoria musical indicando as notas por meio dessas relacoes. Assim, para os pitagoricos, a fracao 1/2 indicava um tom uma oitava acima do primeiro. Se o tom inicial ed o, a nota indicada por 2/3s era sol, ou seja, a quinta nota acima do do nae scalam usical. Do mesmo modo, 6/5 de uma corda que produza o do produziraan ota la( uma oitavaa baixo).

Sabemos, atualmente, que tais razoes sao relacoes entre frequencias.

Af requencia de uma corda vibrante corresponde ao numero de vibracoes que ela emite por segundo, medidas em Hertz.

Funcoes trigonometricas

O tom mais baixo perceptıvel pelo ouvido humano ed e1 6o scilacoes por segundo, isto e, tem uma frequencia de 16 Hz. Os mais altos variam entre 14000 e 16000 Hz.

Hoje sabemos que a frequencia de um som fundamental e inversamente proporcional ao comprimento da corda vibrante. Essa lei, chamada de lei fundamental das cordas vibrantes, foi estabelecida por Galileu Galilei e Marin Mersenne, no inıcio do seculo XVII.

Vimos, entao, que quando uma corda vibra emite um som cuja frequencia (tom) depende do comprimento da corda. Mas, como ep ossıvel explicar a diferenca na qualidade do som existente entre a mesma nota emitida por instrumentos distintos?

No inıcio do seculo XVIII, o geometra e fısico frances Joseph Sauver (1653-1716) notou que uma corda, quando vibra, emite nao apenas o som fundamental, mas tambem toda uma serie de harmonicos.

Chamam-se harmonicos de um determinado som aqueles cujas frequencias sao multiplas desse som. Por exemplo, se considerarmos como som fundamental o do (261 Hz), seus harmonicos terao as seguintes frequencias: 522, 783, 1044 etc.

A introducao dos harmonicos tornou possıvel explicar a qualidade do som, denominada timbre. O timbre e devido aos harmonicos do som fundamental.

No caso de um instrumento que emite uma nota, obtem-se, geralmente, um som melodioso quando o fundamental e suficientemente intenso para destaca-la e os harmonicos, fracos.

Quando os harmonicos sao suficientemente intensos, podem mascarar o efeito do som fundamental: e o que denominamos de som metalico (o de uma clarineta, por exemplo).

Podemos obter a imagem de um som usando um aparelho denominado osciloscopio de raios catodicos. Esse aparelho converte as ondas de compressao produzidas no ar pelo som em impulsos eletricos que sao ampliados e transformados em pontos luminosos projetados numa tela. O conjunto desses pontos constituem a imagem da onda.

Um som fundamental puro e emitido por diapasao e corresponde a uma onda senoidal nao perturbada. O som acompanhado de seus harmonicos corresponde a uma onda perturbada.

Funcoes trigonometricas MODULO 2 - AULA 17

sen(3x),Os sons compostos (o som puro acompanhado de seus harmoni-

Os sons puros correspondem, graficamente, a sen(x),sen(2x), cos) correspondem as oma de varias dessas funcoes senoidais multiplicadas por fatores de amplitude, que determinam a audibilidade dos varios componentes puros, que ocorrem quando um som composto e emitido. Assim, uma expressao do tipo

a1sen(x)+ a2sen(2x)+ a3sen(3x)+

corresponde a um som composto.

A diferenca entre o som correspondente a um do central emitido por um piano e por um orgao, por exemplo, ed evida a diferenca entre os coeficientes

Considere a expressao y =4 sen(3x)+ 0,2sen(5x) . Essa funcao corresponde a um som puro ou composto?

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